一、曲面的面积二、质心三、转动惯量四、引力
§ 9.4 重积分的应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页提示?
一、曲面的面积下页元素法因为点 M处的法向量为 n?(?fxfy? 1)?
设 dA为曲面上点 M处的面积元素?
dA在 xOy平面上的投影为小闭区域 d
点 M在 xOy平面上的投影为点 P(x? y)?
因为 M处的切平面与 xOy面的夹角为 (n?^k)?所以
dA?cos(n?^k)?d
所以 dA?|n|dcos(n?^k)?|n|?1?又因为 n?k?|n|cos(n?^k)?1?
曲面的面积元素设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在区域 D上具有连续偏导数?
所以上页 下页 铃结束返回首页
dyxfyxfddA yx ),(),(1|| 22 n?
一、曲面的面积
曲面的面积元素设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在区域 D上具有连续偏导数?
设 dA为曲面上点 M处的面积元素?
dA在 xOy平面上的投影为小闭区域 d
点 M在 xOy平面上的投影为点 P(x? y)?
因为点 M处的法向量为 n?(?fxfy? 1)?
所以下页
dyxfyxfddA yx ),(),(1|| 22 n?
上页 下页 铃结束返回首页 下页一、曲面的面积
dyxfyxfdA yx ),(),(1 22
曲面的面积设曲面 S的方程为 z?f(x? y)? f(x? y)在区域 D上具有连续偏导数?则曲面 S的面积为
dyxfyxfA yx
D
),(),(1 22
或 d x d yyzxzA
D
22 )()(1
曲面的面积元素设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在区域 D上具有连续偏导数?则曲面的面积元素为上页 下页 铃结束返回首页曲面的面积公式?
讨论?
(1)曲面 x?g(y?z)的面积如何求？
(2)曲面 y?h(z?x)的面积如何求？
提示?
下页或 d x d yyzxzA
D
22 )()(1
( 1 ) d y d z
z
x
y
xA
yzD
22 )()(1?
其中 Dyz是曲面在 yOz面上的投影区域?
( 2 ) d z d x
x
y
z
yA
zxD
22 )()(1?
其中 Dzx是曲面在 zOx面上的投影区域?
上页 下页 铃结束返回首页球面的面积 A为上半球面面积的两倍?解例 1 求半径为 R的球的表面积?
222 yxR
x
x
z
222 yxR
y
y
z
222 yxR
x
x
z
222 yxR
y
y
z
所 以 22 )()(12
222 y
z
x
zA
Ryx?
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
20 0 222 R R ddR d x d yyxR R
Ryx
222
222
2
20 0 222 R R ddR
球 心 在 原 点 的 上 半 球 面 的 方 程 为 222 yxRz 而提示?
此积分的被积函数是无界的?因此这是一种反常积分?
下页上页 下页 铃结束返回首页球面的面积 A为上半球面面积的两倍?解例 1 求半径为 R的球的表面积?
222 yxR
x
x
z
222 yxR
y
y
z
222 yxR
x
x
z
222 yxR
y
y
z
所 以 22 )()(12
222 y
z
x
zA
Ryx?
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
20 0 222 R R ddR
2
0
22 4 4 RRR R
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
20 0 222 R R ddR
2
0
22 4 4 RRR R
球 心 在 原 点 的 上 半 球 面 的 方 程 为 222 yxRz 而首页上页 下页 铃结束返回首页分析?
在 点 P(x? y)处取一直径很小的小薄片?其面积 (面积元素 )为 d 其 质量认为集中于点 P?其值近似为?(x? y)d
P点对 y轴的静矩为 dMy?x?(x?y)d
分析
P点对 y轴的静矩为 dMy?x?(x?y)d
设质心的横坐标为?x?薄片的质量为 M?
则?x?M?My?
薄片对 y轴的静矩为
D
y dyxxM ),(?
二、质心
d?
P(x,y)
下页设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数?则该平面薄片的质心坐标 为
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
上页 下页 铃结束返回首页分析?
P点对 x轴的静矩为 dMx?y?(x?y)d
设质心的横坐标为?y?薄片的质量为 M?
则?y?M?Mx?
薄片对 x轴的静矩为二、质心
d?
P(x,y)
下页设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数?则该平面薄片的质心坐标 为
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
D
x dyxyM ),(?
上页 下页 铃结束返回首页二、质心设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数?则该平面薄片的质心坐标 为
D
D
d
xd
x
D
D
d
yd
y
讨论? 设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 是常数?如何求该平面薄片的质心 (称为形心 )？
提示?
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
下页上页 下页 铃结束返回首页 下页二、质心类似地? 设一物体占有空间闭区域其密度?(x? y?z)是闭区域?上的连续函数?则该 物体的质心坐标为
dvzyx
dvzyxx
x
),,(
),,(
dvzyx
dvzyxy
y
),,(
),,(
dvzyx
dvzyxz
z
),,(
),,(
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数?则该平面薄片的质心坐标 为
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 2 求两圆2sin?和4sin?之间的均匀薄片的质心?
解 由 对 称 性? 所以 形 心 ),( yxC 位于 y 轴上? 于是 0?x?
312 22d
D
解 由 对 称 性? 所以 形 心 ),( yxC 位于 y 轴上? 于是 0?x?
312 22 d
D
因为
7s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ddddyd
DD
因为
s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ddddyd
DD
因为
7s ins in i n4
i n2
2
0
2 ddddyd
DD
因为
7sinsin sin4
sin2
2
0
2 ddyd
DD
所以 3737y?
因 此 所求形心是 )37,0(C?
上页 下页 铃结束返回首页提示?
取半球体的对称轴为 z轴? 原点取在球心上?解例 3 求半径为 a的均匀半球体的质心?
显然? 质心在 z 轴上? 故 0 yx?
半球体所占空间闭区可表示为
{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2?z?0}?
因 为
dv
z d v
dv
dvz
z
8
3 a
因 为
dv
zdv
dv
dvz
z
8
3a
因 为
dv
zdv
dv
dvz
z
8
3a
a drrrdddvz
0
22
0
2
0
s i nc o s
422
1 4a
a drrrdddvz
0
22
0
2
0
s inc o s
422
1 4a
提示
0? r? a? 20 0 2
a drrdddv 0 22020 s in
3
2 3a
a drrddv
0
22
0
2
0
sin
3
2 3a
下页上页 下页 铃结束返回首页取半球体的对称轴为 z轴? 原点取在球心上?解例 3 求半径为 a的均匀半球体的质心?
显然? 质心在 z 轴上? 故 0 yx?
半球体所占空间闭区可表示为
{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2?z?0}?
因 为
dv
z d v
dv
dvz
z
8
3 a
因 为
dv
zdv
dv
dvz
z
8
3a
因 为
dv
zdv
dv
dvz
z
8
3a
所 以 质心为 )83,0,0( a?
首页上页 下页 铃结束返回首页转动惯量元素?
在 点 P(x? y)处取一直径很小的小薄片?其面积 (面积元素 )为 d 其 质量认为集中于点 P?其值近似为?(x? y)d
P点对 x轴和对 y轴的转动惯量为
dIx?y2?(x?y)ddIy?x2?(x?y)d
三、转动惯量下页
d?
P(x,y)
dyxyI
D
x ),(2 dyxxI
D
y ),(2
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是 D上的连续函数? 则该平面薄片对 x,y轴的转动惯量为上页 下页 铃结束返回首页三、转动惯量类似地? 设一物体占有空间闭区域 其密度?(x? y? z)是?
上的连续函数?则该 物体对于 x,y,z轴的转动惯量为设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是 D上的连续函数?
dvzyxzyI x ),,()( 22
dvzyxxzI y ),,()( 22
dvzyxyxI z ),,()( 22
则该平面薄片对 x,y轴的转动惯量为
dyxyI
D
x ),(2 dyxxI
D
y ),(2
下页上页 下页 铃结束返回首页 下页所求转动惯量即半圆薄片对于 x轴的转动惯量 Ix?
例 5 求半径为 a的均匀半圆薄片 (面密度为常量?)对于其直径边的转动惯量?
解 取坐标系如图?
薄片所占闭区域 D可表示为
D?{(x?y)| x2?y2?a2?y?0}?
DD
x dddyI 222 s in
0 0 32 s in a dd 24 41241 Maa
其中 221 aM? 为半圆薄片的质量?
DD
x dddyI 222 s in
0 0 32 sin a dd 24 41241 Maa 0 0 32 sin a dd 24 41241 Maa
上页 下页 铃结束返回首页例 6 求密度为?的均匀球体对于过球心的一条轴 l的转动惯量?
取球心为坐标原点?z轴与轴 l重合?又设球的半径为 a?
解球体所占空间闭区域可表示为
{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2}?
所求转动惯量即球体对于 z轴的转动惯量 Iz?
dvyxI z )( 22 dd r dr 34 s in
drrdd a 20 0 0 43 s in 5158 a? Ma 252
其中 334 aM? 为球体的质量?
dvyxI z )( 22 dd r dr 34 s in
drrdd a 2 0 0 43 sin 5158 a? Ma 252 drrdd a 0 0 0 43 sin 5158 a? Ma 25
首页上页 下页 铃结束返回首页四、引力下页设物体占有空间有界闭区域 其密度?(x? y? z)为?上的连续函数? 求 物体对于物体外一点 P0(x0? y0? z0)处的单位质量的质点的引力?
设在?内点 P(x? y? z)处的体积元素为 dv? 则点 P对位于点
P0处的单位质量的质点的引力近似为其方向为 r?(x?x0?y?y0?z?z0)?r?|r|?
dF?(dFx?dFy?dFz)?
)))(,,(,))(,,(,))(,,(( 3 03 03 0 dvr zzzyxGdvr yyzyxGdvr xxzyxG
将 dFx,dFy,dFz在?上分别积分?即可得 Fx,Fy,Fz? 从而得 F?(Fx,Fy,Fz)?
上页 下页 铃结束返回首页 结束例 7 设半径为 R的匀质球占有空间闭区域
{(x?y?z)|x2?y2?z2?R2)?
求它对于位于点 M(0?0?a)(a>R)处的单位质量的质点的引力?
解 设球的密度为?0? 由球体的对称性及质量分布的均匀性知 Fx?Fy?0? 因此只需求引力沿 z轴的分量?
dvazyx azGF z 2/32220 ])([
R
R
zRyx azyx
d x dydzazG
2222
2/32220 ])([)(?
22
0 2/322
2
00 ])([
)( zRR
R az
dddzazG
220
3 1
3
4
a
MG
a
RG ( 其中
0
3
3
4 RM? 为球的质量 )?
220
3 1
3
4
a
MG
a
RG ( 其中
0
3
3
4 RM? 为球的质量 )?
§ 9.4 重积分的应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页提示?
一、曲面的面积下页元素法因为点 M处的法向量为 n?(?fxfy? 1)?
设 dA为曲面上点 M处的面积元素?
dA在 xOy平面上的投影为小闭区域 d
点 M在 xOy平面上的投影为点 P(x? y)?
因为 M处的切平面与 xOy面的夹角为 (n?^k)?所以
dA?cos(n?^k)?d
所以 dA?|n|dcos(n?^k)?|n|?1?又因为 n?k?|n|cos(n?^k)?1?
曲面的面积元素设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在区域 D上具有连续偏导数?
所以上页 下页 铃结束返回首页
dyxfyxfddA yx ),(),(1|| 22 n?
一、曲面的面积
曲面的面积元素设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在区域 D上具有连续偏导数?
设 dA为曲面上点 M处的面积元素?
dA在 xOy平面上的投影为小闭区域 d
点 M在 xOy平面上的投影为点 P(x? y)?
因为点 M处的法向量为 n?(?fxfy? 1)?
所以下页
dyxfyxfddA yx ),(),(1|| 22 n?
上页 下页 铃结束返回首页 下页一、曲面的面积
dyxfyxfdA yx ),(),(1 22
曲面的面积设曲面 S的方程为 z?f(x? y)? f(x? y)在区域 D上具有连续偏导数?则曲面 S的面积为
dyxfyxfA yx
D
),(),(1 22
或 d x d yyzxzA
D
22 )()(1
曲面的面积元素设曲面 S的方程为 z?f(x?y)?f(x?y)在区域 D上具有连续偏导数?则曲面的面积元素为上页 下页 铃结束返回首页曲面的面积公式?
讨论?
(1)曲面 x?g(y?z)的面积如何求？
(2)曲面 y?h(z?x)的面积如何求？
提示?
下页或 d x d yyzxzA
D
22 )()(1
( 1 ) d y d z
z
x
y
xA
yzD
22 )()(1?
其中 Dyz是曲面在 yOz面上的投影区域?
( 2 ) d z d x
x
y
z
yA
zxD
22 )()(1?
其中 Dzx是曲面在 zOx面上的投影区域?
上页 下页 铃结束返回首页球面的面积 A为上半球面面积的两倍?解例 1 求半径为 R的球的表面积?
222 yxR
x
x
z
222 yxR
y
y
z
222 yxR
x
x
z
222 yxR
y
y
z
所 以 22 )()(12
222 y
z
x
zA
Ryx?
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
20 0 222 R R ddR d x d yyxR R
Ryx
222
222
2
20 0 222 R R ddR
球 心 在 原 点 的 上 半 球 面 的 方 程 为 222 yxRz 而提示?
此积分的被积函数是无界的?因此这是一种反常积分?
下页上页 下页 铃结束返回首页球面的面积 A为上半球面面积的两倍?解例 1 求半径为 R的球的表面积?
222 yxR
x
x
z
222 yxR
y
y
z
222 yxR
x
x
z
222 yxR
y
y
z
所 以 22 )()(12
222 y
z
x
zA
Ryx?
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
20 0 222 R R ddR
2
0
22 4 4 RRR R
d x d y
yxR
R
Ryx
222
222
2
20 0 222 R R ddR
2
0
22 4 4 RRR R
球 心 在 原 点 的 上 半 球 面 的 方 程 为 222 yxRz 而首页上页 下页 铃结束返回首页分析?
在 点 P(x? y)处取一直径很小的小薄片?其面积 (面积元素 )为 d 其 质量认为集中于点 P?其值近似为?(x? y)d
P点对 y轴的静矩为 dMy?x?(x?y)d
分析
P点对 y轴的静矩为 dMy?x?(x?y)d
设质心的横坐标为?x?薄片的质量为 M?
则?x?M?My?
薄片对 y轴的静矩为
D
y dyxxM ),(?
二、质心
d?
P(x,y)
下页设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数?则该平面薄片的质心坐标 为
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
上页 下页 铃结束返回首页分析?
P点对 x轴的静矩为 dMx?y?(x?y)d
设质心的横坐标为?y?薄片的质量为 M?
则?y?M?Mx?
薄片对 x轴的静矩为二、质心
d?
P(x,y)
下页设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数?则该平面薄片的质心坐标 为
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
D
x dyxyM ),(?
上页 下页 铃结束返回首页二、质心设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数?则该平面薄片的质心坐标 为
D
D
d
xd
x
D
D
d
yd
y
讨论? 设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度 是常数?如何求该平面薄片的质心 (称为形心 )？
提示?
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
下页上页 下页 铃结束返回首页 下页二、质心类似地? 设一物体占有空间闭区域其密度?(x? y?z)是闭区域?上的连续函数?则该 物体的质心坐标为
dvzyx
dvzyxx
x
),,(
),,(
dvzyx
dvzyxy
y
),,(
),,(
dvzyx
dvzyxz
z
),,(
),,(
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是闭区域 D上的连续函数?则该平面薄片的质心坐标 为
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
D
Dy
dyx
dyxx
M
M
x
),(
),(
D
Dx
dyx
dyxy
M
M
y
),(
),(
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 2 求两圆2sin?和4sin?之间的均匀薄片的质心?
解 由 对 称 性? 所以 形 心 ),( yxC 位于 y 轴上? 于是 0?x?
312 22d
D
解 由 对 称 性? 所以 形 心 ),( yxC 位于 y 轴上? 于是 0?x?
312 22 d
D
因为
7s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ddddyd
DD
因为
s ins in s i n4
s i n2
2
0
2 ddddyd
DD
因为
7s ins in i n4
i n2
2
0
2 ddddyd
DD
因为
7sinsin sin4
sin2
2
0
2 ddyd
DD
所以 3737y?
因 此 所求形心是 )37,0(C?
上页 下页 铃结束返回首页提示?
取半球体的对称轴为 z轴? 原点取在球心上?解例 3 求半径为 a的均匀半球体的质心?
显然? 质心在 z 轴上? 故 0 yx?
半球体所占空间闭区可表示为
{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2?z?0}?
因 为
dv
z d v
dv
dvz
z
8
3 a
因 为
dv
zdv
dv
dvz
z
8
3a
因 为
dv
zdv
dv
dvz
z
8
3a
a drrrdddvz
0
22
0
2
0
s i nc o s
422
1 4a
a drrrdddvz
0
22
0
2
0
s inc o s
422
1 4a
提示
0? r? a? 20 0 2
a drrdddv 0 22020 s in
3
2 3a
a drrddv
0
22
0
2
0
sin
3
2 3a
下页上页 下页 铃结束返回首页取半球体的对称轴为 z轴? 原点取在球心上?解例 3 求半径为 a的均匀半球体的质心?
显然? 质心在 z 轴上? 故 0 yx?
半球体所占空间闭区可表示为
{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2?z?0}?
因 为
dv
z d v
dv
dvz
z
8
3 a
因 为
dv
zdv
dv
dvz
z
8
3a
因 为
dv
zdv
dv
dvz
z
8
3a
所 以 质心为 )83,0,0( a?
首页上页 下页 铃结束返回首页转动惯量元素?
在 点 P(x? y)处取一直径很小的小薄片?其面积 (面积元素 )为 d 其 质量认为集中于点 P?其值近似为?(x? y)d
P点对 x轴和对 y轴的转动惯量为
dIx?y2?(x?y)ddIy?x2?(x?y)d
三、转动惯量下页
d?
P(x,y)
dyxyI
D
x ),(2 dyxxI
D
y ),(2
设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是 D上的连续函数? 则该平面薄片对 x,y轴的转动惯量为上页 下页 铃结束返回首页三、转动惯量类似地? 设一物体占有空间闭区域 其密度?(x? y? z)是?
上的连续函数?则该 物体对于 x,y,z轴的转动惯量为设一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D? 其面密度?(x? y)
是 D上的连续函数?
dvzyxzyI x ),,()( 22
dvzyxxzI y ),,()( 22
dvzyxyxI z ),,()( 22
则该平面薄片对 x,y轴的转动惯量为
dyxyI
D
x ),(2 dyxxI
D
y ),(2
下页上页 下页 铃结束返回首页 下页所求转动惯量即半圆薄片对于 x轴的转动惯量 Ix?
例 5 求半径为 a的均匀半圆薄片 (面密度为常量?)对于其直径边的转动惯量?
解 取坐标系如图?
薄片所占闭区域 D可表示为
D?{(x?y)| x2?y2?a2?y?0}?
DD
x dddyI 222 s in
0 0 32 s in a dd 24 41241 Maa
其中 221 aM? 为半圆薄片的质量?
DD
x dddyI 222 s in
0 0 32 sin a dd 24 41241 Maa 0 0 32 sin a dd 24 41241 Maa
上页 下页 铃结束返回首页例 6 求密度为?的均匀球体对于过球心的一条轴 l的转动惯量?
取球心为坐标原点?z轴与轴 l重合?又设球的半径为 a?
解球体所占空间闭区域可表示为
{(x?y?z)| x2?y2?z2?a2}?
所求转动惯量即球体对于 z轴的转动惯量 Iz?
dvyxI z )( 22 dd r dr 34 s in
drrdd a 20 0 0 43 s in 5158 a? Ma 252
其中 334 aM? 为球体的质量?
dvyxI z )( 22 dd r dr 34 s in
drrdd a 2 0 0 43 sin 5158 a? Ma 252 drrdd a 0 0 0 43 sin 5158 a? Ma 25
首页上页 下页 铃结束返回首页四、引力下页设物体占有空间有界闭区域 其密度?(x? y? z)为?上的连续函数? 求 物体对于物体外一点 P0(x0? y0? z0)处的单位质量的质点的引力?
设在?内点 P(x? y? z)处的体积元素为 dv? 则点 P对位于点
P0处的单位质量的质点的引力近似为其方向为 r?(x?x0?y?y0?z?z0)?r?|r|?
dF?(dFx?dFy?dFz)?
)))(,,(,))(,,(,))(,,(( 3 03 03 0 dvr zzzyxGdvr yyzyxGdvr xxzyxG
将 dFx,dFy,dFz在?上分别积分?即可得 Fx,Fy,Fz? 从而得 F?(Fx,Fy,Fz)?
上页 下页 铃结束返回首页 结束例 7 设半径为 R的匀质球占有空间闭区域
{(x?y?z)|x2?y2?z2?R2)?
求它对于位于点 M(0?0?a)(a>R)处的单位质量的质点的引力?
解 设球的密度为?0? 由球体的对称性及质量分布的均匀性知 Fx?Fy?0? 因此只需求引力沿 z轴的分量?
dvazyx azGF z 2/32220 ])([
R
R
zRyx azyx
d x dydzazG
2222
2/32220 ])([)(?
22
0 2/322
2
00 ])([
)( zRR
R az
dddzazG
220
3 1
3
4
a
MG
a
RG ( 其中
0
3
3
4 RM? 为球的质量 )?
220
3 1
3
4
a
MG
a
RG ( 其中
0
3
3
4 RM? 为球的质量 )?
