一、二重积分的概念二、二重积分的性质
§ 9.1 二重积分的概念与性质上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一,二重积分的概念下页
1?曲顶柱体的体积设一立体的底是 xOy面上的闭区域 D? 它的侧面是以 D
的边界曲线为准线而母线平行于 z轴的柱面? 它的顶是曲面
z?f(x? y)? 这里 f(x? y)?0且在 D上连续? 这种立体叫做曲顶柱体?
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iii
n
i
fV
),(lim
10
iii
n
i
fV
),(
1
提示? 相应地把曲顶柱体分成了 n个小曲顶柱体?提示 其中?为各小区域直径的最大值?
用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积 Vi?
V?f(?ii)i?
用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积?
将分割加细?取极限?求得曲顶柱体体积的精确值?
i
(?ii)
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1?曲顶柱体的体积
用曲线网把 D分成小区域?
12n?
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2?平面薄片的质量下页一,二重积分的概念设有一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D?它在点 (x?y)处的面密度为?(x?y)?这里?(x? y)?0且在 D上连续?
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iii
n
i
M
),(lim
10
iii
n
i
M
),(
1
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量?
(? ii)i?
把各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值?
将分割 加细? 取极限? 得到 平面薄片质量的精确值?
i
(?ii)
提示?其中?为各小区域直径的最大值?
一,二重积分的概念
2?平面薄片的质量
用曲线网把 D分成小区域?
12n?
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iii
n
i
f
),(
1
二重积分的定义设 f(x? y)是有界闭区域 D上的有界函数?
将闭区域 D任意分成 n个小闭区域
12n?
其中i表示第 i个小闭区域?也表示它的面积?
在每个小闭区域i上任取一点 (?ii)?作和设?为各小闭区域的直径中的最大值?如果当0时这和式的极限总存在?则称此极限为函数 f(x?y)在闭区域 D上的二重积分? 记为
dyxf
D
),(?
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iii
n
iD
fdyxf
),(lim),(
10
——— 积分号?
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二重积分的定义
积分中各部分的名称?
f(x? y)—— 被积函数?
f(x? y)d?—被积表达式?
d? ———面积元素?
x? y ———积分变量?
D————积分区域?
iii
n
i
f
),(
1
——积分和?
上页 下页 铃结束返回首页提示?
在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D? 则除边界上的小区域外?内部 小区域都是矩形区域?
设矩形区域i的边长为?xi和?yi?则ixi?yi?
因此在直角坐标系中?面积元素 d?记作 dxdy?
d x d yyxf
D
),(
直角坐标系中的二重积分下页
iii
n
iD
fdyxf
),(lim),(
10
二重积分的定义其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素?
上页 下页 铃结束返回首页说明?
二重积分的存在性? 当 f(x? y)在闭区域 D上连续时? 积分和的极限是存在的? 也就是说函数 f(x? y)在 D上的二重积分必定存在? 我们总假定函数 f(x? y)在闭区域 D上连续? 所以 f(x? y)在 D
上的二重积分都是存在的?
d x d yyxf
D
),(
直角坐标系中的二重积分
iii
n
iD
fdyxf
),(lim),(
10
二重积分的定义其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素?
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二重积分的几何意义
d x d yyxf
D
),(
直角坐标系中的二重积分
iii
n
iD
fdyxf
),(lim),(
10
二重积分的定义其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素?
如果 f(x? y)?0? 则二重积分在几何上表示以闭区域 D为底?
以曲面 z?f(x?y)为顶的曲顶柱体的体积?
如果 f(x? y)?0? 则二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积?但二重积分的值是负的?
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性质 1 设 c1,c2为常数? 则
dyxgcdyxfcdyxgcyxfc
DDD
),(),()],(),([ 2121?
性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
dyxfdyxfdyxf
DDD
21
),(),(),(?
上页 下页 铃结束返回首页注?
二、二重积分的性质下页
性质 1 设 c1,c2为常数? 则
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DDD
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如果闭区域 D被有限条曲线分为有限个部分闭区域?则在 D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和?
性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
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性质 1 设 c1,c2为常数? 则
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性质 3
DD
dd1 (? 为 D 的面积 )?
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性质 4 如果在 D上? f(x? y)?g(x?y)?则有不等式
dyxgdyxf
DD
),(),(?
特殊地有
dyxfdyxf
DD
|),(||),(|?
性质 5 设 M,m分别是 f(x? y)在闭区域 D上的最大值和最小值为 D的面积?则有
Mdyxfm
D
),(?
性质 6(二重积分的中值定理 ) 设函数 f(x? y)在闭区域 D上连续为 D的面积?则在 D上至少存在一点 ()使得
),(),( fdyxf
D
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1?曲顶柱体的体积设一立体的底是 xOy面上的闭区域 D? 它的侧面是以 D
的边界曲线为准线而母线平行于 z轴的柱面? 它的顶是曲面
z?f(x? y)? 这里 f(x? y)?0且在 D上连续? 这种立体叫做曲顶柱体?
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1
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用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积 Vi?
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用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积?
将分割加细?取极限?求得曲顶柱体体积的精确值?
i
(?ii)
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1?曲顶柱体的体积
用曲线网把 D分成小区域?
12n?
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2?平面薄片的质量下页一,二重积分的概念设有一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D?它在点 (x?y)处的面密度为?(x?y)?这里?(x? y)?0且在 D上连续?
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n
i
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10
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1
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量?
(? ii)i?
把各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值?
将分割 加细? 取极限? 得到 平面薄片质量的精确值?
i
(?ii)
提示?其中?为各小区域直径的最大值?
一,二重积分的概念
2?平面薄片的质量
用曲线网把 D分成小区域?
12n?
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n
i
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二重积分的定义设 f(x? y)是有界闭区域 D上的有界函数?
将闭区域 D任意分成 n个小闭区域
12n?
其中i表示第 i个小闭区域?也表示它的面积?
在每个小闭区域i上任取一点 (?ii)?作和设?为各小闭区域的直径中的最大值?如果当0时这和式的极限总存在?则称此极限为函数 f(x?y)在闭区域 D上的二重积分? 记为
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——— 积分号?
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二重积分的定义
积分中各部分的名称?
f(x? y)—— 被积函数?
f(x? y)d?—被积表达式?
d? ———面积元素?
x? y ———积分变量?
D————积分区域?
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n
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1
——积分和?
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在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D? 则除边界上的小区域外?内部 小区域都是矩形区域?
设矩形区域i的边长为?xi和?yi?则ixi?yi?
因此在直角坐标系中?面积元素 d?记作 dxdy?
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直角坐标系中的二重积分下页
iii
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二重积分的定义其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素?
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二重积分的存在性? 当 f(x? y)在闭区域 D上连续时? 积分和的极限是存在的? 也就是说函数 f(x? y)在 D上的二重积分必定存在? 我们总假定函数 f(x? y)在闭区域 D上连续? 所以 f(x? y)在 D
上的二重积分都是存在的?
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直角坐标系中的二重积分
iii
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二重积分的定义其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素?
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二重积分的几何意义
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D
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直角坐标系中的二重积分
iii
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二重积分的定义其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素?
如果 f(x? y)?0? 则二重积分在几何上表示以闭区域 D为底?
以曲面 z?f(x?y)为顶的曲顶柱体的体积?
如果 f(x? y)?0? 则二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积?但二重积分的值是负的?
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性质 1 设 c1,c2为常数? 则
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性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
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性质 1 设 c1,c2为常数? 则
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DDD
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如果闭区域 D被有限条曲线分为有限个部分闭区域?则在 D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和?
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性质 1 设 c1,c2为常数? 则
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性质 2 如果闭区域 D被一条曲线分为两个闭区域 D1与 D2?则
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性质 4 如果在 D上? f(x? y)?g(x?y)?则有不等式
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特殊地有
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性质 5 设 M,m分别是 f(x? y)在闭区域 D上的最大值和最小值为 D的面积?则有
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D
