一、全微分的定义二 *、全微分在近似计算中的应用
§ 8.3 全微分及其应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、全微分的定义
———— 函数 f(x,y)对 x的偏微分
—— 函数 f(x,y)对 y的偏增量
———— 函数 f(x,y)对 y的偏微分
全增量
z?f(xx,yy)?f(x,y).
偏增量与偏微分
f(xx,y)?f(x,y)?fx(x,y)?x,
f(x,yy)?f(x,y)?fy(x,y)?y,
—— 函数 f(x,y)对 x的偏增量下页根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有
f(xx,y)?f(x,y)
f(x,yy)?f(x,y)
fx(x,y)?x
fy(x,y)?y
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全微分的定义其中 A,B不依赖于?x,?y而仅与 x,y有关,则称函数 z?f(x,y)
在点 (x,y)可微分,而 A?x?B?y称为函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的全微分,记作 dz,即
dz?A?x?B?y.
如果函数在区域 D内各点处都可微分,那么称这函数在 D
内可微分,
下页如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的全增量
z?f(xx,yy)?f(x,y)
可表示为
) )()(( )( 22 yxoyBxAz,
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可微分与连续偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
这是因为,如果 z?f(x,y)在点 (x,y)可微,则
z?f(xx,yy)?f(x,y)?A?x?B?y?o(?),
因此函数 z?f(x,y)在点 (x,y)处连续,
下页
0lim 0 z?,
于是
),(]),([lim),(lim 0)0,0(),( yxfzyxfyyxxfyx,
从而
),(]),([lim),(lim 0)0,0(),( yxfzyxfyyxxfyx,),(]),([lim),(lim 0)0,0(,( yxfzyxfyyxxfyx,
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可微分的必要条件
>>>
应注意的问题
>>>
下页
可微分与连续偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)可微分,则函数在该点的偏导数 xz,yz 必定存在,且函数 z? f ( x,y ) 在点 ( x,y ) 的全微分为
yyzxxzdz,
偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件,
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可微分的充分条件以上结论可推广到三元及三元以上函数,
下页
可微分的必要条件
可微分与连续偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)可微分,则函数在该点的偏导数 xz,yz 必定存在,且函数 z? f ( x,y ) 在点 ( x,y ) 的全微分为
yyzxxzdz,
则函数在该点可微分,
如果函数 z? f ( x,y ) 的偏导数 xz,yz 在点 ( x,y ) 连续,
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叠加原理按着习惯,?x,?y分别记作 dx,dy,并分别称为自变量的微分,这样函数 z?f(x,y)的全微分可写作二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,
叠加原理也适用于二元以上的函数,例如 u?f(x,y,z)的全微分为下页
dyyzdxxzdz,
dzzudyyudxxudu,
上页 下页 铃结束返回首页例 1 计算函数 z?x2y?y2的全微分,
解所以例 2 计算函数 z?exy在点 (2,1)处的全微分,
解所以
dz?2xydx?(x2?2y)dy,
dz?e2dx?2e2dy.
下页设 z? f ( x,y ),则 dyyzdxxzdz,
解 因为 xyxz 2,yxyz 22,解 因为 xyxz,yxyz 22,
因为因为
xyyexz,xyxeyz,xyyexz,xyxeyz,
2
1
2 exz
y
x
,2
1
2 2 ey
z
y
x
,212x
z
y
x
,2
1
2 2 ey
z
y
x
,
上页 下页 铃结束返回首页解首页设 u? f ( x,y,z ),则 dzzudyyudxxudu,
例 3
例 3 计算函数 yzeyxu 2s i n 的全微分,
因为 1xu,yzzeyyu 2cos21,yzyezu,
因为因为 1 xu,yzzeyyu 2c o s21,yzyezu,因为 1 xu,yzzeyyu 2c o s21,yzyezu,
所以 dzyedyzeydxdu yzyz )2c o s21(,
所以上页 下页 铃结束返回首页二 *、全微分在近似计算中的应用当函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的两个偏导数 fx(x,y),fy(x,y)连续,
并且 |?x|,|?y|都较小时,有近似等式
z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
即 f(xx,yy)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4 有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由 20cm增大到 20,05cm,高度由 100cu减少到 99cm,求此圆柱体体积变化的近似值,
解 设圆柱体的半径,高和体积依次为 r,h和 V,
则有 V r2h.
即此圆柱体在受压后体积约减少了 200?cm3,
220?100?0.05202?(?1)
V?dV?2?rh?rr2?h
200?(cm3),
Vr?r?Vh?h
下页
f(xx,yy)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
已知 r?20,h?100,?r?0,05,?h1,根据近似公式,有上页 下页 铃结束返回首页例 5 计算 (1.04)2.02的近似值,
(1.04)2.02 所以
x y?yx y?1?x?x yln x?y,
f(xx,yy)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y
1.08,?12?2?12?1?0.04?12?ln1?0.02
解 设函数 f(x,y)?x y,显然,要计算的值就是函数在
x?1.04,y?2.02时的函数值 f(1.04,2.02).
结束
f(xx,yy)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
因为取 x?1,y?2,?x?0.04,?y?0.02,