一、一个方程的情形二、方程组的情形
§ 8.5 隐函数的求导法则上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、一个方程的情形
隐函数存在定理 1
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设函数 F(x? y)在点 P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数?
F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程 F(x? y)?0在点 (x0? y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y?f(x)? 它满足条件 y0?f(x0)?并有
y
x
F
F
dx
dy
上页 下页 铃结束返回首页例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数的一阶与二阶导数在 x?0的值?
解 设 F(x? y)?x2?y2?1?
Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
隐函数存在定理 1:
则设函数 F(x? y)在点 P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程 F(x? y)?0在点 (x0? y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
y?f(x)?它满足条件 y0?f(x0)?
由隐函数存在定理? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
上页 下页 铃结束返回首页解 设 F(x? y)?x2?y2?1?
Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
则由隐函数存在定理? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
提示,
由方程 F(x?y)?0确定的隐函数 y?f(x)的导数为
y
x
F
F
dx
dy
y
x
F
F
dx
dy
y
x 0
0
xdx
dy?
y
x
F
F
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dy
y
x 0
0
xdx
dy?
y
x
F
F
dx
dy 0
0
xdx
dy?
例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数的一阶与二阶导数在 x?0的值?
上页 下页 铃结束返回首页解 设 F(x? y)?x2?y2?1?
Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
则由隐函数存在定理? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
y
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322
2 1
yy
yxy
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yd 1
0
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322
2 1
yy
yxy
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322
2 1
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yxy
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0
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F
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dy 0
0
xdx
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例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数的一阶与二阶导数在 x?0的值?
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隐函数存在定理 2
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设函数 F(x? y? z)在点 P(x0? y0? z0)的某一邻域内具有连续的偏导数? 且 F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0? 则方程 F(x? y? z)?0在点 (x0? y0? z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z?f(x?y)?它满足条件 z0?f(x0?y0)?并有
z
x
F
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z
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上页 下页 铃结束返回首页设 F(x? y? z)?x2?y2?z2?4z? 解 则 Fx?2x? Fy?2z?4?
首页
z
x
z
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x
242
2?
3
22
222
2
)2(
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)2(
)2()2(
)2(
)2(
z
xx
z
z
xxx
z
x
zxx
x
z
由方程 F(x?y?z)?0确定的隐函数 z?f(x?y)的偏导数为
z
x
F
F
x
z
z
y
F
F
y
z
z
x
z
x
F
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xx
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z
xx
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例 2 设 04222 zzyx? 求 22x z
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例如? 方程 xu?yv?0和 yu?xv?1可以确定两个二元函数事实上?
能否根据原方程组求 u?u(x? y)? v?v(x? y)的偏导数？
22 yx
yu
22 yx
xv
2222 yx
x
yx
y
y
xv
2222 yx
x
x
y
y
xv
xu?yv?0? uyxv 1 uyxxyu? 22 yx yu xu?yv?0? uyxv 1 uyxxyu? 22 yx yu xu? yv? 0 uyxv? 1 uyxxyu? 22 yx yu xu? yv? 0? uyxv 1 uyxxyu? 22 yx yu
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偏导数
x
u
x
v
可 由方程组
.0
,0
x
v
G
x
u
GG
x
v
F
x
u
FF
vux
vux
确定?
偏导数
y
u
y
v
可 由方程组
.0
,0
y
v
G
y
u
GG
y
v
F
y
u
FF
vuy
vuy
确定?
上页 下页 铃结束返回首页解当 x2?y2?0时? 解之得两个方程两边分别对 x
求偏导? 得方程组两个方程两边分别对 y求偏导? 得方程组当 x2?y2?0时? 解之得结束例 3 设 xu? yv? 0? yu? xv? 1? 求 xu xv yu 和 yv
0
0
x
v
xv
x
u
y
x
v
y
x
u
xu
22 yx
yvxu
x
u
22 yx
xvyu
x
v
0
0
y
v
x
y
u
yu
y
v
yv
y
u
x
22 yx
yuxv
y
u
22 yx
yvxu
y
v
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例 3另解
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隐函数存在定理 1
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设函数 F(x? y)在点 P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数?
F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程 F(x? y)?0在点 (x0? y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y?f(x)? 它满足条件 y0?f(x0)?并有
y
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F
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dx
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上页 下页 铃结束返回首页例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数的一阶与二阶导数在 x?0的值?
解 设 F(x? y)?x2?y2?1?
Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
隐函数存在定理 1:
则设函数 F(x? y)在点 P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程 F(x? y)?0在点 (x0? y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
y?f(x)?它满足条件 y0?f(x0)?
由隐函数存在定理? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
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Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
则由隐函数存在定理? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
提示,
由方程 F(x?y)?0确定的隐函数 y?f(x)的导数为
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xdx
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例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数的一阶与二阶导数在 x?0的值?
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Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0?
则由隐函数存在定理? 方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)?
y
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0
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2 1
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例 1 验证方程 x2?y2?1?0在点 (0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数,当 x?0时 y?1的隐函数 y?f(x)? 并求这函数的一阶与二阶导数在 x?0的值?
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隐函数存在定理 2
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设函数 F(x? y? z)在点 P(x0? y0? z0)的某一邻域内具有连续的偏导数? 且 F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0? 则方程 F(x? y? z)?0在点 (x0? y0? z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z?f(x?y)?它满足条件 z0?f(x0?y0)?并有
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上页 下页 铃结束返回首页设 F(x? y? z)?x2?y2?z2?4z? 解 则 Fx?2x? Fy?2z?4?
首页
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由方程 F(x?y?z)?0确定的隐函数 z?f(x?y)的偏导数为
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例 2 设 04222 zzyx? 求 22x z
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例如? 方程 xu?yv?0和 yu?xv?1可以确定两个二元函数事实上?
能否根据原方程组求 u?u(x? y)? v?v(x? y)的偏导数？
22 yx
yu
22 yx
xv
2222 yx
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yx
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y
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2222 yx
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xu?yv?0? uyxv 1 uyxxyu? 22 yx yu xu?yv?0? uyxv 1 uyxxyu? 22 yx yu xu? yv? 0 uyxv? 1 uyxxyu? 22 yx yu xu? yv? 0? uyxv 1 uyxxyu? 22 yx yu
上页 下页 铃结束返回首页 下页设方程组 F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0确定一对具有连续偏导数的二元函数 u?u(x?y)?v?v(x?y)?则二、方程组的情形在一定条件下方程组 F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0能确定一对二元函数 u?u(x?y)?v?v(x?y)?
偏导数
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可 由方程组
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偏导数
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可 由方程组
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y
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vuy
vuy
确定?
上页 下页 铃结束返回首页解当 x2?y2?0时? 解之得两个方程两边分别对 x
求偏导? 得方程组两个方程两边分别对 y求偏导? 得方程组当 x2?y2?0时? 解之得结束例 3 设 xu? yv? 0? yu? xv? 1? 求 xu xv yu 和 yv
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u
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u
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yvxu
x
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22 yx
xvyu
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v
x
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y
v
yv
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u
x
22 yx
yuxv
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u
22 yx
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例 3另解
