一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线
§ 8?6 多元函数微分学的几何应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、空间曲线的切线与法平面下页设空间曲线?的参数方程为
x(t),y(t),z(t),
这里假定?(t),?(t),?(t)都在 [?,?]上可导?
设 t?t0和 t?t0t分别对应于曲线上的点 M0(x0,y0,z0)和 M(x0+?x,y0+?y,z0+?z)?
当 M?M0,即?t?0时,
)()()( 0
0
0
0
0
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t
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t
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z
zz
y
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000
,或
t
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yy
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作曲线的割线 MM0,其方程为得曲线在点 M0处的切线方程为
z
zz
y
yy
x
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,或
t
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t
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上页 下页 铃结束返回首页设空间曲线?的参数方程为
x(t),y(t),z(t),
这里假定?(t),?(t),?(t)都在 [?,?]上可导?
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过曲线?上 t?t0所对应的点 M0切线方程为向量 T?((t0),(t0),(t0))称为曲线?在点 M0的切向量?
通过点 M0而与切线垂直的平面称为曲线?在点 M0处的法平面,其法平面方程为
(t0)(x?x0)(t0)(y?y0)(t0)(z?z0)?0?
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1
2
1
1
1 zyx,
解
xt1,
点 (1,1,1)所对应的参数 t?1?
因为 zt3t2,yt2t,
于是,切线方程为所以切向量为 T?(1,2,3)?
法平面方程为即 x?2y?3z?6? (x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0,
下页例 1 求曲线 x?t,y?t2,z?t3在点 (1,1,1)处的切线及法平面方程?
曲线 x(t),y(t),z(t)在 t?t0所对应的点 M0的切向量为 T?((t0),(t0),(t0))?
上页 下页 铃结束返回首页讨论,
1? 若曲线的方程为 y(x),z(x),则 切向量 T
提示,
1? 曲线的参数方程可视为,x?x,y(x),z(x),
切向量为 T?(1,(x),(x))?
下页曲线 x(t),y(t),z(t)在 t?t0所对应的点 M0的切向量为 T?((t0),(t0),(t0))?
2?若曲线的方程为 F(x,y,z)?0,G(x,y,z)?0,则 切向量 T
2? 两方程可确定两个隐函数,y(x),z(x)?
切向量为 T?(1,(x),(x)),而(x),(x)要通过解方程组得到? >>>
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01
0222
dx
dz
dx
dy
dx
dz
z
dx
dy
yx
例 2 求曲线 x2?y2?z2?6,x?y?z?0在点 (1,?2,1)处的切线及法平面方程?
解方程组在点 (1,?2,1)处化为为求切向量,将所给方程的两边对 x求导数,得所求切线方程为从而 T?{1,0,?1}?
法平面方程为
(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0,
即 x?z?0?
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zyx,


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dx
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dx
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dx
dz
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解方程组得 0?dxdy,1dxdz?
上页 下页 铃结束返回首页二、曲面的切平面与法线因为曲线?在曲面?上,所以有
F[?(t),?(t),?(t)]?0?
向量 n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))与曲线?上 点
M0处的切向量 T?((t0),(t0),(t0))是垂直的?
Fx(x0,y0,z0)(t0)?Fy(x0,y0,z0)(t0)?Fz(x0,y0,z0)(t0)?0?
等式的两边在 t?t0点求全导数得下页设 M0(x0,y0,z0)是曲面?,F(x,y,z)?0上的一点,?是 曲面?
上过点 M0的任意一条曲线,
x(t),y(t),z(t),
t?t0对应于点 M0(x0,y0,z0)?
其参数方程为上页 下页 铃结束返回首页二、曲面的切平面与法线向量 n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))与曲线?上 点
M0处的切向量 T?((t0),(t0),(t0))是垂直的?
设 M0(x0,y0,z0)是曲面?,F(x,y,z)?0上的一点,?是 曲面?
上过点 M0的任意一条曲线,
x(t),y(t),z(t),
t?t0对应于点 M0(x0,y0,z0)?
其参数方程为曲面上通过点 M0的一切曲线在点 M0的切线都在同一个平面上,这个平面称为曲面?在点 M0的 切平面 ; 通过点 M0而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的 法线?
曲面的切平面与法线下页上页 下页 铃结束返回首页
曲面的切平面方程曲面?在点 M0(x0,y0,z0)的切平面方程为
Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?
曲面的法线方程曲面?通过点 M0(x0,y0,z0)的法线方程为
曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量? 向量
n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))
是曲面?在点 M0(x0,y0,z0)处的一个法向量?
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),,(),,(),,( 000
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0
zyxF
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zyxF
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zyx

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3
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1 zyx?
例 3 求球面 x2?y2?z2?14在点 (1,2,3)处的切平面及法线方程?
F(x,y,z)?x2?y2?z2?14,解 Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z,
Fx(1,2,3)?2,Fy(1,2,3)?4,Fz(1,2,3)?6?
法向量为 n?(2,4,6),
法线方程为或 n?(1,2,3)?
下页曲面?,F(x,y,z)?0在点 M0(x0,y0,z0)处的法向量为
n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))?
即 x?2y?3z?14?0? (x?1)?2(y?2)?3(z?3)?0,
所求切平面方程为上页 下页 铃结束返回首页讨论,
若曲面方程为 z?f(x,y),问曲面的切平面及法线方程式是什么形式?
提示,
此时曲面方程可写为 f(x,y)?z?0,
F(x,y,z)?f(x,y)?z,
切向量为
n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)?
下页曲面?,F(x,y,z)?0在点 M0(x0,y0,z0)处的法向量为
n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))?
上页 下页 铃结束返回首页例 4 求旋转抛物面 z?x2?y2?1在点 (2,1,4)处的切平面及法线方程?
解 f(x,y)?x2?y2?1,
n?(fx,fy,?1)|(2,1,4)?(2x,2y,?1)|(2,1,4)?(4,2,?1)?
结束法线方程为即 4x?2y?z?6?0? 4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0,
所以在点 (2,1,4)处的切平面方程为
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zyx?
曲面?,z?f(x,y)在点 M0(x0,y0,z0)处的法向量为
n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)?