§ 8.1 多元函数的基本概念一、平面点集 n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页提示：
一、平面点集 n维空间下页
1.平面点集坐标平面上具有某种性质 P的点的集合?称为平面点集?
记作
E?{(x?y)| (x?y)具有性质 P}?
集合 R2?R?R?{(x?y)|x?y?R}表示坐标平面?
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页一、平面点集 n维空间下页
1.平面点集坐标平面上具有某种性质 P的点的集合?称为平面点集?
记作
E?{(x?y)| (x?y)具有性质 P}?
例如? 平面上以原点为中心,r为半径的圆内所有点的集合是
C?{(x?y)| x2?y2<r2}?或 C?{P| |OP|?r}?
其中 P表示坐标为 (x?y)的点?|OP|表示点 P到原点 O的距离?
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页注：
设 P0(x0? y0)是 xOy平面上的一个点是某一正数? 点 P0的?
邻域记为 U(P0)?它是如下点集?
邻域
}|| |{),( 00 PPPPU?
或 } )()( |),{(),( 20200 yyxxyxPU?
点 P 0 的去心? 邻域? 记作 ),( 0?PU 即
}||0 |{),( 00 PPPPU
如果不需要强调邻域的半径则用 U(P0)表示点 P0的某个邻域?点 P0的某个去心邻域记作 )(
0PU
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页任意一点 P?R2与任意一个点集 E?R2之间必有以下三种关系中的一种?
点与点集之间的关系
内点? 如果存在点 P的某一邻域 U(P)?
使得 U(P)?E?则称 P为 E的内点?
外点? 如果存在点 P的某个邻域 U(P)?
使得 U(P)?E则称 P为 E的外点?
边界点? 如果点 P的任一邻域内既有属于 E的点? 也有不属于 E的点? 则称 P点为
E的边点?
边界点内点外点提问? E的内点,外点,边界点是否都必属于 E？
E的边界点的全体?称为 E的边界?记作?E?
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聚点如果对于任意给定的 0? 点 P 的去心邻域 ),(?PU? 内总有 E中的点?则称 P是 E的聚点?
点集 E的聚点 P本身?可以属于 E?也可能不属于 E?
例如?设平面点集
E?{(x?y)|1?x2?y2?2}?
满足 1?x2?y2?2的一切点 (x?y)都是 E的内点?
满足 x2?y2?1的一切点 (x?y)都是 E的边界点?它们都不属于 E?
满足 x2?y2?2的一切点 (x?y)也是 E的边界点?它们都属于 E?
点集 E以及它的界边?E上的一切点都是 E的聚点?
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开集如果点集 E的点都是内点?则称 E为开集?
下页
闭集如果点集的余集 Ec为开集?则称 E为闭集?
举例?
点集 E?{(x?y)|1<x2?y2<2}是开集也是开区域?
点集 E?{(x?y)|1?x2?y2?2}是闭集也是闭区域?
点集 E?{(x?y)|1?x2?y2?2}既非开集?也非闭集?
区域 (或开区域 )
连通的开集称为区域或开区域?
闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域?
>>>连通性上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
有界集对于平面点集 E?如果存在某一正数 r?使得
E?U(O?r)?
其中 O是坐标原点?则称 E为有界点集?
无界集一个集合如果不是有界集?就称这集合为无界集?
点集 {(x?y)| x?y?1}是无界闭区域?
点集 {(x?y)| x?y?1}是无界开区域?
举例?
点集 {(x?y)|1?x2?y2?4}是有界闭区域?
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页我们把 n元有序实数组 (x1? x2 xn)的全体所构成的集合记为 Rn?即
Rn?R?RR?{(x1?x2 xn)| xi?R?i?1? 2n}?
2.n维空间
x?(x1?x2 xn)称为 Rn中的一个点或一个 n维向量?
xi称为点 x的第 i个坐标或 n维向量 x的第 i个分量?
0?(0? 0 0)称为 Rn中的原点或 n维零向量?
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页我们把 n元有序实数组 (x1? x2 xn)的全体所构成的集合记为 Rn?即
Rn?R?RR?{(x1?x2 xn)| xi?R?i?1? 2n}?
线性运算设 x?(x1? x2 xn)? y?(y1? y2 yn)为 Rn中任意两个元素R?规定
x?y?(x1?y1?x2?y2xn?yn)?
x?(?x1x2xn)?
这样定义了线性运算的集合 Rn称为 n维空间?
2.n维空间下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页注：
Rn中点 x?(x1?x2 xn)和点 y?(y1?y2 yn)间的距离?
记作?(x?y)?规定
两点间的距离
2222211 )( )()(),( nn yxyxyxyx
Rn中元素 x?(x1?x2xn)与零元 0之间的距离?(x?0)记作
||x||? 即在 R1,R2,R3中? 通常将 ||x||记作 |x|?
22221 |||| nxxxx?
),()( )()(|||| 2222211 yxyx nn yxyxyx?
显然下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页设 x?(x1?x2xn)?a?(a1?a2 an)?Rn?如果
||x?a||?0?
则称变元 x在 Rn中趋于固定元 a?记作 x?a?
显然?
x?a? x1?a1?x2?a2xn?an?
Rn中变元的极限
平面点集中各种概念的推广平面点集的一系列概念? 可以方便地引入到 n(n?3)维空间中来?例如?
设 a?Rn是某一正数?则 n维空间内的点集
U(a)?{x| x?Rn(x? a)}
就定义为 Rn中点 a的?邻域?
首页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页注：
二、多元函数概念下页举例
二元函数的定义设 D是 R2的一个非空子集?称映射 f? D?R为定义在 D上的二元函数?通常记为
z?f(x?y)? (x?y)?D (或 z?f(P)?P?D)
其中 D称为该函数的定义域?x?y称为自变量?z称为因变量?
函数值? 与自变量 x,y的一对值 (x? y)相对应的因变量 z的值称为 f 在点 (x?y)处的函数值?记作 f(x?y)?即 z?f(x?y)?
值域? f(D)?{z| z?f(x?y)? (x?y)?D}?
函数也可以用其它符号?如 z?z(x?y)?z?g(x?y)等?
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页把上述定义中的平面点集 D换成 n维空间 Rn内的点集 D?
映射 f?D?R就称为定义在 D上的 n元函数?通常记为
u?f(x1?x2 xn)?(x1?x2 xn)?D?
或 u?f(x)?x?(x1?x2 xn)?D?
或 u?f(P)?P(x1? x2xn)?D?
二、多元函数概念
二元函数的定义设 D是 R2的一个非空子集?称映射 f? D?R为定义在 D上的二元函数?通常记为
z?f(x?y)? (x?y)?D (或 z?f(P)?P?D)
其中 D称为该函数的定义域?x?y称为自变量?z称为因变量?
n元函数下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页在一般地讨论用算式表达的多元函数 u?f(x)时?以使这个算式有意义的变元 x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域?对这类函数?它的定义域不再特别标出?
多元函数的定义域函数 z?ln(x?y)的定义域为
{(x?y)|x?y>0}?
函数 z?arcsin(x2?y2)的定义域为
{(x?y)|x2?y2?1}?
举例?
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
222222 yxazyxaz 和? z?ax?by?c
二元函数的图形点集 {(x? y? z)|z?f(x? y)? (x? y)?D}称为二元函数 z?f(x?y)的图形?
二元函数的图形是一张曲面?
z?ax?by?c表示一张平面?
举例?
方程 x2?y2?z2?a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面? 其定义域均为 D?{(x? y)|x2?y2?a2}?
首页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页三、多元函数的极限
二重极限的定义下页设二元函数 f(P)?f(x?y)的定义域为 D? P0(x0? y0)是 D的聚点?
如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e总存在正数 使得当
),(),( 0?PUDyxP 时? 都有
|f(P)?A|?|f(x? y)?A|?e
成立?则称常数 A为函数 f(x?y)当 (x?y)?(x0?y0)时的极限?记为
Ayxf
yxyx
),(lim
),(),( 00
或 f ( x? y )? A ( ( x? y )? ( x 0? y 0 ))?
APf
PP
)(l im
0
或 f ( P )? A ( P? P 0 )?
也记作注? 上述定义的极限也称为二重极限?
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页二重极限概念可以推广到多元函数的极限?
三、多元函数的极限
二重极限的定义设二元函数 f(P)?f(x?y)的定义域为 D? P0(x0? y0)是 D的聚点?
如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e总存在正数 使得当
),(),( 0?PUDyxP 时? 都有
|f(P)?A|?|f(x? y)?A|?e
成立?则称常数 A为函数 f(x?y)当 (x?y)?(x0?y0)时的极限?记为
Ayxf
yxyx
),(lim
),(),( 00
或 f ( x? y )? A ( ( x? y )? ( x 0? y 0 ))?
APf
PP
)(l im
0
或 f ( P )? A ( P? P 0 )?
也记作下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页证明 因为下页例 1
例 4 设 2222 1s i n)(),( yxyxyxf 求证 0),(lim
)0,0(),(
yxf
yx
22
22
22 |01s i n)(||0),(| yx
yxyxyxf
可见? e > 0? 取 e 则当
22 )0()0(0 yx?
即 ),(),(?OUDyxP 时? 总有
|f(x?y)?0|?e?
所 以 0),(lim
)0,0(),(
yxf
yx
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
必须注意
(1)二重极限存在? 是指 P以任何方式趋于 P0时? 函数都无限接近于 A?
(2)如果当 P以两种不同方式趋于 P0时? 函数趋于不同的值?
则函数的极限不存在?
提示
讨论下页函数
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在点 (0? 0) 有无极限？
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似?
解首页例 2
例 5 求 xxy
yx
)s in (lim
)2,0(),(?
yxyxyxxy
yxyx
)s in (lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
221lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
yxy xy
yxyx
yxy xyxxy
yxyx
)s (lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
221lim)sin(lim
)2,0(),()2,0(),(
yxyxy
yxx
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
),(),(lim 00
),(),( 00
yxfyxf
yxyx
四、多元函数的连续性
二元函数连续性定义二元函数的连续性概念可相应地推广到 n元函数 f(P)上去?
下页设二元函数 f(P)?f (x?y)的定义域为 D?P0(x0? y0)为 D的聚点?且 P0?D? 如果则称函数 f (x?y)在点 P0(x0?y0)连续?
如果函数 f (x?y)在 D的每一点都连续? 那么就称函数 f (x?y)
在 D上连续?或者称 f (x?y)是 D上的连续函数?
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页所以 f(x?y)?sin x在点 P0(x0?y0)连续?
由 P0的任意性知? sin x作为 x?y的二元函数在 R2上连续?
例 3 设 f(x,y)?sin x?证明 f(x?y)是 R2上的连续函数?
证 对于任意的 P0(x0?y0)?R2?因为类似的讨论可知? 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时?它们在各自的定义域内都是连续的?
),(s i ns i nlim),(lim 000
),(),(),(),( 0000
yxfxxyxf
yxyxyxyx
例 3 下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页有洞曲面缝设函数 f(x? y)的定义域为 D? P0(x0? y0)
是 D的聚点? 如果函数 f(x? y)在点 P0不连续?则称 P0为函数 f(x?y)的间断点?
函数的间断点间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点?
函数
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 的 间 断 点 为 O (0? 0)?
函数 11s i n 22 yxz 的 间 断 点 为 曲 线 x 2? y 2? 1 上 的 点?
间断点举例?
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页提示?
多元连续函数的和,差,积仍为连续函数? 连续函数的商在分母不为零处仍连续? 多元连续函数的复合函数也是连续函数?
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的?
多元初等函数的连续性多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数? 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的?
提示定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域?
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
根据连续性求极限如果 f(P)是初等函数?且 P0是 f(P)的定义域的内点?则
)()(lim 0
0
PfPf
PP
例 7 求 xy yx
yx
)2,1(),(
lim?
例 4
解 函数 xy yxyxf),( 是初等函数? 它的定义域为解因为 P0(1? 2)为 D的内点?所以
D?{(x?y)|x?0?y?0}?
2
3)2,1(),(lim
)2,1(),(
fyxf
yx
23)2,1(),(lim
)2,1(),(
fyxf
yx
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
根据连续性求极限如果 f(P)是初等函数?且 P0是 f(P)的定义域的内点?则
)()(lim 0
0
PfPf
PP
例 8 求 xyxy
yx
11lim
)0,0(),(
例 5
解
)11(
)11)(11(lim11lim
)0,0(),()0,0(),(
xyxy
xyxy
xy
xy
yxyx
2
1
11
1lim
)0,0(),(
xyyx
)11(
)11)(1(lim11lim
)0,0(),()0,0(),(
xy
xyxy
xy
xy
yxyx
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页注?
性质 1(有界性与最大值最小值定理 )
在有界闭区域 D上的多元连续函数? 必定在 D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?
多元连续函数的性质根据性质 1? 若 f(P)在有界闭区域 D上连续? 则必定存在常数 M?0?使得对一切 P?D?有 |f(P)|?M? 且存在 P1,P2?D? 使得
f(P1)?max{f(P)|P?D}? f(P2)?min{f(P)|P?D}?
性质 2(介值定理 )
在有界闭区域 D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值?
结束
一、平面点集 n维空间下页
1.平面点集坐标平面上具有某种性质 P的点的集合?称为平面点集?
记作
E?{(x?y)| (x?y)具有性质 P}?
集合 R2?R?R?{(x?y)|x?y?R}表示坐标平面?
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1.平面点集坐标平面上具有某种性质 P的点的集合?称为平面点集?
记作
E?{(x?y)| (x?y)具有性质 P}?
例如? 平面上以原点为中心,r为半径的圆内所有点的集合是
C?{(x?y)| x2?y2<r2}?或 C?{P| |OP|?r}?
其中 P表示坐标为 (x?y)的点?|OP|表示点 P到原点 O的距离?
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页注：
设 P0(x0? y0)是 xOy平面上的一个点是某一正数? 点 P0的?
邻域记为 U(P0)?它是如下点集?
邻域
}|| |{),( 00 PPPPU?
或 } )()( |),{(),( 20200 yyxxyxPU?
点 P 0 的去心? 邻域? 记作 ),( 0?PU 即
}||0 |{),( 00 PPPPU
如果不需要强调邻域的半径则用 U(P0)表示点 P0的某个邻域?点 P0的某个去心邻域记作 )(
0PU
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页任意一点 P?R2与任意一个点集 E?R2之间必有以下三种关系中的一种?
点与点集之间的关系
内点? 如果存在点 P的某一邻域 U(P)?
使得 U(P)?E?则称 P为 E的内点?
外点? 如果存在点 P的某个邻域 U(P)?
使得 U(P)?E则称 P为 E的外点?
边界点? 如果点 P的任一邻域内既有属于 E的点? 也有不属于 E的点? 则称 P点为
E的边点?
边界点内点外点提问? E的内点,外点,边界点是否都必属于 E？
E的边界点的全体?称为 E的边界?记作?E?
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聚点如果对于任意给定的 0? 点 P 的去心邻域 ),(?PU? 内总有 E中的点?则称 P是 E的聚点?
点集 E的聚点 P本身?可以属于 E?也可能不属于 E?
例如?设平面点集
E?{(x?y)|1?x2?y2?2}?
满足 1?x2?y2?2的一切点 (x?y)都是 E的内点?
满足 x2?y2?1的一切点 (x?y)都是 E的边界点?它们都不属于 E?
满足 x2?y2?2的一切点 (x?y)也是 E的边界点?它们都属于 E?
点集 E以及它的界边?E上的一切点都是 E的聚点?
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开集如果点集 E的点都是内点?则称 E为开集?
下页
闭集如果点集的余集 Ec为开集?则称 E为闭集?
举例?
点集 E?{(x?y)|1<x2?y2<2}是开集也是开区域?
点集 E?{(x?y)|1?x2?y2?2}是闭集也是闭区域?
点集 E?{(x?y)|1?x2?y2?2}既非开集?也非闭集?
区域 (或开区域 )
连通的开集称为区域或开区域?
闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域?
>>>连通性上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
有界集对于平面点集 E?如果存在某一正数 r?使得
E?U(O?r)?
其中 O是坐标原点?则称 E为有界点集?
无界集一个集合如果不是有界集?就称这集合为无界集?
点集 {(x?y)| x?y?1}是无界闭区域?
点集 {(x?y)| x?y?1}是无界开区域?
举例?
点集 {(x?y)|1?x2?y2?4}是有界闭区域?
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页我们把 n元有序实数组 (x1? x2 xn)的全体所构成的集合记为 Rn?即
Rn?R?RR?{(x1?x2 xn)| xi?R?i?1? 2n}?
2.n维空间
x?(x1?x2 xn)称为 Rn中的一个点或一个 n维向量?
xi称为点 x的第 i个坐标或 n维向量 x的第 i个分量?
0?(0? 0 0)称为 Rn中的原点或 n维零向量?
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Rn?R?RR?{(x1?x2 xn)| xi?R?i?1? 2n}?
线性运算设 x?(x1? x2 xn)? y?(y1? y2 yn)为 Rn中任意两个元素R?规定
x?y?(x1?y1?x2?y2xn?yn)?
x?(?x1x2xn)?
这样定义了线性运算的集合 Rn称为 n维空间?
2.n维空间下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页注：
Rn中点 x?(x1?x2 xn)和点 y?(y1?y2 yn)间的距离?
记作?(x?y)?规定
两点间的距离
2222211 )( )()(),( nn yxyxyxyx
Rn中元素 x?(x1?x2xn)与零元 0之间的距离?(x?0)记作
||x||? 即在 R1,R2,R3中? 通常将 ||x||记作 |x|?
22221 |||| nxxxx?
),()( )()(|||| 2222211 yxyx nn yxyxyx?
显然下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页设 x?(x1?x2xn)?a?(a1?a2 an)?Rn?如果
||x?a||?0?
则称变元 x在 Rn中趋于固定元 a?记作 x?a?
显然?
x?a? x1?a1?x2?a2xn?an?
Rn中变元的极限
平面点集中各种概念的推广平面点集的一系列概念? 可以方便地引入到 n(n?3)维空间中来?例如?
设 a?Rn是某一正数?则 n维空间内的点集
U(a)?{x| x?Rn(x? a)}
就定义为 Rn中点 a的?邻域?
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二、多元函数概念下页举例
二元函数的定义设 D是 R2的一个非空子集?称映射 f? D?R为定义在 D上的二元函数?通常记为
z?f(x?y)? (x?y)?D (或 z?f(P)?P?D)
其中 D称为该函数的定义域?x?y称为自变量?z称为因变量?
函数值? 与自变量 x,y的一对值 (x? y)相对应的因变量 z的值称为 f 在点 (x?y)处的函数值?记作 f(x?y)?即 z?f(x?y)?
值域? f(D)?{z| z?f(x?y)? (x?y)?D}?
函数也可以用其它符号?如 z?z(x?y)?z?g(x?y)等?
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映射 f?D?R就称为定义在 D上的 n元函数?通常记为
u?f(x1?x2 xn)?(x1?x2 xn)?D?
或 u?f(x)?x?(x1?x2 xn)?D?
或 u?f(P)?P(x1? x2xn)?D?
二、多元函数概念
二元函数的定义设 D是 R2的一个非空子集?称映射 f? D?R为定义在 D上的二元函数?通常记为
z?f(x?y)? (x?y)?D (或 z?f(P)?P?D)
其中 D称为该函数的定义域?x?y称为自变量?z称为因变量?
n元函数下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页在一般地讨论用算式表达的多元函数 u?f(x)时?以使这个算式有意义的变元 x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域?对这类函数?它的定义域不再特别标出?
多元函数的定义域函数 z?ln(x?y)的定义域为
{(x?y)|x?y>0}?
函数 z?arcsin(x2?y2)的定义域为
{(x?y)|x2?y2?1}?
举例?
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222222 yxazyxaz 和? z?ax?by?c
二元函数的图形点集 {(x? y? z)|z?f(x? y)? (x? y)?D}称为二元函数 z?f(x?y)的图形?
二元函数的图形是一张曲面?
z?ax?by?c表示一张平面?
举例?
方程 x2?y2?z2?a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面? 其定义域均为 D?{(x? y)|x2?y2?a2}?
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二重极限的定义下页设二元函数 f(P)?f(x?y)的定义域为 D? P0(x0? y0)是 D的聚点?
如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e总存在正数 使得当
),(),( 0?PUDyxP 时? 都有
|f(P)?A|?|f(x? y)?A|?e
成立?则称常数 A为函数 f(x?y)当 (x?y)?(x0?y0)时的极限?记为
Ayxf
yxyx
),(lim
),(),( 00
或 f ( x? y )? A ( ( x? y )? ( x 0? y 0 ))?
APf
PP
)(l im
0
或 f ( P )? A ( P? P 0 )?
也记作注? 上述定义的极限也称为二重极限?
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页二重极限概念可以推广到多元函数的极限?
三、多元函数的极限
二重极限的定义设二元函数 f(P)?f(x?y)的定义域为 D? P0(x0? y0)是 D的聚点?
如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e总存在正数 使得当
),(),( 0?PUDyxP 时? 都有
|f(P)?A|?|f(x? y)?A|?e
成立?则称常数 A为函数 f(x?y)当 (x?y)?(x0?y0)时的极限?记为
Ayxf
yxyx
),(lim
),(),( 00
或 f ( x? y )? A ( ( x? y )? ( x 0? y 0 ))?
APf
PP
)(l im
0
或 f ( P )? A ( P? P 0 )?
也记作下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页证明 因为下页例 1
例 4 设 2222 1s i n)(),( yxyxyxf 求证 0),(lim
)0,0(),(
yxf
yx
22
22
22 |01s i n)(||0),(| yx
yxyxyxf
可见? e > 0? 取 e 则当
22 )0()0(0 yx?
即 ),(),(?OUDyxP 时? 总有
|f(x?y)?0|?e?
所 以 0),(lim
)0,0(),(
yxf
yx
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必须注意
(1)二重极限存在? 是指 P以任何方式趋于 P0时? 函数都无限接近于 A?
(2)如果当 P以两种不同方式趋于 P0时? 函数趋于不同的值?
则函数的极限不存在?
提示
讨论下页函数
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在点 (0? 0) 有无极限？
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多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似?
解首页例 2
例 5 求 xxy
yx
)s in (lim
)2,0(),(?
yxyxyxxy
yxyx
)s in (lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
221lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
yxy xy
yxyx
yxy xyxxy
yxyx
)s (lim)s in (lim
)2,0(),()2,0(),(
221lim)sin(lim
)2,0(),()2,0(),(
yxyxy
yxx
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
),(),(lim 00
),(),( 00
yxfyxf
yxyx
四、多元函数的连续性
二元函数连续性定义二元函数的连续性概念可相应地推广到 n元函数 f(P)上去?
下页设二元函数 f(P)?f (x?y)的定义域为 D?P0(x0? y0)为 D的聚点?且 P0?D? 如果则称函数 f (x?y)在点 P0(x0?y0)连续?
如果函数 f (x?y)在 D的每一点都连续? 那么就称函数 f (x?y)
在 D上连续?或者称 f (x?y)是 D上的连续函数?
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页所以 f(x?y)?sin x在点 P0(x0?y0)连续?
由 P0的任意性知? sin x作为 x?y的二元函数在 R2上连续?
例 3 设 f(x,y)?sin x?证明 f(x?y)是 R2上的连续函数?
证 对于任意的 P0(x0?y0)?R2?因为类似的讨论可知? 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时?它们在各自的定义域内都是连续的?
),(s i ns i nlim),(lim 000
),(),(),(),( 0000
yxfxxyxf
yxyxyxyx
例 3 下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页有洞曲面缝设函数 f(x? y)的定义域为 D? P0(x0? y0)
是 D的聚点? 如果函数 f(x? y)在点 P0不连续?则称 P0为函数 f(x?y)的间断点?
函数的间断点间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点?
函数
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 的 间 断 点 为 O (0? 0)?
函数 11s i n 22 yxz 的 间 断 点 为 曲 线 x 2? y 2? 1 上 的 点?
间断点举例?
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页提示?
多元连续函数的和,差,积仍为连续函数? 连续函数的商在分母不为零处仍连续? 多元连续函数的复合函数也是连续函数?
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的?
多元初等函数的连续性多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数? 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的?
提示定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域?
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根据连续性求极限如果 f(P)是初等函数?且 P0是 f(P)的定义域的内点?则
)()(lim 0
0
PfPf
PP
例 7 求 xy yx
yx
)2,1(),(
lim?
例 4
解 函数 xy yxyxf),( 是初等函数? 它的定义域为解因为 P0(1? 2)为 D的内点?所以
D?{(x?y)|x?0?y?0}?
2
3)2,1(),(lim
)2,1(),(
fyxf
yx
23)2,1(),(lim
)2,1(),(
fyxf
yx
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根据连续性求极限如果 f(P)是初等函数?且 P0是 f(P)的定义域的内点?则
)()(lim 0
0
PfPf
PP
例 8 求 xyxy
yx
11lim
)0,0(),(
例 5
解
)11(
)11)(11(lim11lim
)0,0(),()0,0(),(
xyxy
xyxy
xy
xy
yxyx
2
1
11
1lim
)0,0(),(
xyyx
)11(
)11)(1(lim11lim
)0,0(),()0,0(),(
xy
xyxy
xy
xy
yxyx
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页注?
性质 1(有界性与最大值最小值定理 )
在有界闭区域 D上的多元连续函数? 必定在 D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?
多元连续函数的性质根据性质 1? 若 f(P)在有界闭区域 D上连续? 则必定存在常数 M?0?使得对一切 P?D?有 |f(P)|?M? 且存在 P1,P2?D? 使得
f(P1)?max{f(P)|P?D}? f(P2)?min{f(P)|P?D}?
性质 2(介值定理 )
在有界闭区域 D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值?
结束
