一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力
§ 6.3 定积分在物理学上的应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页电场力对它所作的功近似为 drrqk 2?
一、变力沿直线所作的功例 1 电量为 +q的点电荷位于 r轴的坐标原点 O处? 它所产生的电场力使 r轴上的一个单位正电荷从 r?a处移动到 r?b(a<b)
处?求电场力对单位正电荷所作的功?
解 在 r 轴上?当单位正电荷从 r 移动到 r+dr时?
提示：
根据物理学? 在电量为 +q的点电荷所产生的电场中? 距离点电荷 r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为
2r
qkF? ( k 是常数 )?
下页上页 下页 铃结束返回首页即功元素为 drrqkdW 2
于是所求的功为下页一、变力沿直线所作的功例 1 电量为 +q的点电荷位于 r轴的坐标原点 O处? 它所产生的电场力使 r轴上的一个单位正电荷从 r?a处移动到 r?b(a<b)
处?求电场力对单位正电荷所作的功?
解 在 r 轴上?当单位正电荷从 r 移动到 r+dr时?
电场力对它所作的功近似为 drrqk 2?
)11(]1[2 bakqrkqdrrkqW baba )11(]1[2 bakqrkqdrrkqW baba
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x
kS
xS
kSpF
例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体? 在等温条件下? 由于气体的膨胀? 把容器中的一个活塞从点 a处推移到点 b处?计算在移动过程中?气体压力所作的功?
解所以作用在活塞上的力为在点 x处?因为 V?xS?
x
kS
xS
kSpF
提示：
由物理学知道? 一定量的气体在等温条件下? 压强 p与体积 V的乘积是常数 k?即
p V? k 或 Vkp
下页上页 下页 铃结束返回首页于是所求的功为下页例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体? 在等温条件下? 由于气体的膨胀? 把容器中的一个活塞从点 a处推移到点 b处?计算在移动过程中?气体压力所作的功?
解 在点 x处?因为 V?xS?
x
kS
xS
kSpF
x
kS
xS
kSpF
当活塞从 x 移动到 x? dx 时? 变力所作的功近似为 dxxk?
即功元素为 dxxkdW
a
bkxkdx
x
kW b
a
b
a ln][ ln a
bkxkdx
x
kW b
a
b
a ln][ ln
所以作用在活塞上的力为上页 下页 铃结束返回首页因为这薄层水的重力为 9?832dx?
例 3 一圆柱形的贮水桶高为 5m? 底圆半径为 3m? 桶内盛满了水?试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
在区间 [0?5]上点 x处任取一薄层水,其的高度为 dx?
解 作 x轴如图?
此即功元素?
dW? 9?832?xdx
所以把这薄层水吸出桶外所需作的功近似为
88?2x?dx?
于是所求的功为首页
50 2.88 x d xW?
2
252.88]
2[2.88
5
0
2 x
( k j )?
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R dxxRxP 0 22 2?
二、水压力例 4 一个横放着的圆柱形水桶? 桶内盛有半桶水? 设桶的底半径为 R?水的比重为计算桶的一个端面上所受的压力?
解 取坐标系如图?
在水深 x处于圆片上取一窄条?其宽为 dx?
桶的一个端面上所受的压力为背景知识 首页得压力元素为 dxxRxdP 222
302322
3
2])(
3
2[ RrxR R
上页 下页 铃结束返回首页三、引力例 5 求长度为 l,线密度为?的均匀细直棒对其中垂线上距棒 a单位的质量为 m的质点 M的引力?
解 取坐标系如图?
引力在垂直方向上的分量为零?
在 y点处取长为 dy的一小段?
得水平方向上的引力元素于是引力在水平方向的分量为由对称性知?
2222 ya
a
ya
dymGdF
x?
2/322 )( ya
dyamG
2
2
2/322 )(
l
lx ya
dyamGF?
224
12
laa
lGm
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背景知识 结束
§ 6.3 定积分在物理学上的应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页电场力对它所作的功近似为 drrqk 2?
一、变力沿直线所作的功例 1 电量为 +q的点电荷位于 r轴的坐标原点 O处? 它所产生的电场力使 r轴上的一个单位正电荷从 r?a处移动到 r?b(a<b)
处?求电场力对单位正电荷所作的功?
解 在 r 轴上?当单位正电荷从 r 移动到 r+dr时?
提示：
根据物理学? 在电量为 +q的点电荷所产生的电场中? 距离点电荷 r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为
2r
qkF? ( k 是常数 )?
下页上页 下页 铃结束返回首页即功元素为 drrqkdW 2
于是所求的功为下页一、变力沿直线所作的功例 1 电量为 +q的点电荷位于 r轴的坐标原点 O处? 它所产生的电场力使 r轴上的一个单位正电荷从 r?a处移动到 r?b(a<b)
处?求电场力对单位正电荷所作的功?
解 在 r 轴上?当单位正电荷从 r 移动到 r+dr时?
电场力对它所作的功近似为 drrqk 2?
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x
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例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体? 在等温条件下? 由于气体的膨胀? 把容器中的一个活塞从点 a处推移到点 b处?计算在移动过程中?气体压力所作的功?
解所以作用在活塞上的力为在点 x处?因为 V?xS?
x
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提示：
由物理学知道? 一定量的气体在等温条件下? 压强 p与体积 V的乘积是常数 k?即
p V? k 或 Vkp
下页上页 下页 铃结束返回首页于是所求的功为下页例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体? 在等温条件下? 由于气体的膨胀? 把容器中的一个活塞从点 a处推移到点 b处?计算在移动过程中?气体压力所作的功?
解 在点 x处?因为 V?xS?
x
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当活塞从 x 移动到 x? dx 时? 变力所作的功近似为 dxxk?
即功元素为 dxxkdW
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所以作用在活塞上的力为上页 下页 铃结束返回首页因为这薄层水的重力为 9?832dx?
例 3 一圆柱形的贮水桶高为 5m? 底圆半径为 3m? 桶内盛满了水?试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
在区间 [0?5]上点 x处任取一薄层水,其的高度为 dx?
解 作 x轴如图?
此即功元素?
dW? 9?832?xdx
所以把这薄层水吸出桶外所需作的功近似为
88?2x?dx?
于是所求的功为首页
50 2.88 x d xW?
2
252.88]
2[2.88
5
0
2 x
( k j )?
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R dxxRxP 0 22 2?
二、水压力例 4 一个横放着的圆柱形水桶? 桶内盛有半桶水? 设桶的底半径为 R?水的比重为计算桶的一个端面上所受的压力?
解 取坐标系如图?
在水深 x处于圆片上取一窄条?其宽为 dx?
桶的一个端面上所受的压力为背景知识 首页得压力元素为 dxxRxdP 222
302322
3
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上页 下页 铃结束返回首页三、引力例 5 求长度为 l,线密度为?的均匀细直棒对其中垂线上距棒 a单位的质量为 m的质点 M的引力?
解 取坐标系如图?
引力在垂直方向上的分量为零?
在 y点处取长为 dy的一小段?
得水平方向上的引力元素于是引力在水平方向的分量为由对称性知?
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背景知识 结束
