一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分
§ 5.4 反常积分上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页
dxxfdxxf ba
ba
)(lim)(
一、无穷限的 反常 积分
无穷限的反常积分的定义在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛,否则 称此反常积分发散?
连续函数 f(x)在区间 [a,)上的反常积分定义为下页类似地,连续函数 f(x)在区间 (,b]上和在区间 (,)
的反常积分定义为
dxxfdxxfdxxf b
baa
)(lim)(lim)( 00
dxxfdxxf ba
a
b )(lim)(
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dxxfdxxf ba
ba
)(lim)(
一、无穷限的 反常 积分
无穷限的反常积分的定义连续函数 f(x)在区间 [a,)上的反常积分定义为
反常积分的计算如果 F(x)是 f(x)的原函数,则有
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa
b
ab
b
aba xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(
)()(lim)()(lim aFxFaFbF
xb
可采用如下简记形式：
b
ab
b
aba xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(
)()(lim)()(lim aFxFaFbF
xb
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dxxfdxxf ba
ba
)(lim)(
一、无穷限的 反常 积分
无穷限的反常积分的定义连续函数 f(x)在区间 [a,)上的反常积分定义为
反常积分的计算如果 F(x)是 f(x)的原函数,则有
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf
xaa
类似地,有
)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
x
bb
,
)(lim)(lim)]([)( xFxFxFdxxf
xx
下页上页 下页 铃结束返回首页解例 1 计算反常积分 dxx 21 1
例 1
下页
)(lim)(lim)]([)( xFxFxFdxxf xx
)2 (2?
解 ][ a r c ta n1 1 2 xdxx
xx
xx
a r c ta nlima r c ta nlim
解 ][ a r c t a n1 1 2 xdxx
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0]
11[ dte
ptep
ptpt
解 000 ]1[][ ptptpt td epdttedtte
提示：
例 2 计算反常积分 dtte pt0 ( p 是常数,且 p > 0 )?
例 2
下页
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa
02 ]
11[ ptpt e
ptep
222
11]11[lim
ppeptep
ptpt
t
解
222
11]11[lim
ppeptep
ptpt
t
01limlimlim
pttptt
pt
t pee
tte? 01limlimlim
pttptt
pt
t pee
tte? 01limlim
pttptt
pt
t pee
t?
解 000 ]1[][ ptptpt t d epdttedtte 解 000 ]1[][ ptptpt t d eptedtte
上页 下页 铃结束返回首页解例 3 讨论反常积分 dxx pa 1 ( a > 0 ) 的敛散性?
例 3
解 当 p? 1 时, ][ ln11 aapa xdxxdxx? 解 当 p? 1 时, ][ ln11 aapa xdxxdxx?
当 p <1 时, 1 ]1 1[1 appa xpdxx? 当 p <1 时, 1 ]1 1[1 appa xpdxx?
当 p >1 时,1]1 1[1 1 1 paxpdxx pappa?
当 p?1时,此反常积分发散?
解 当 p?1 时, ][ln11 aapa xdxxdxx? 解 当 p?1 时, ][ln11 aapa xdxxx?
当 p <1 时, 1 ]1 1[1 appa xpdxx? 当 p<1 时, 1 ]1 1[1 appa xpdxx?
当 p >1 时,1]1 1[1 1 1 paxpdxx pappa? 当 p >1 时,1]1 1[1 1 paxpdxx pappa? 当 p>1 时,1]1 1[ 1 1 paxdxx pappa?
因此,当 p >1 时,此反常积分收敛,其值为 11pa p?
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)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa
上页 下页 铃结束返回首页二、无界函数的 反常 积分注：
如果函数 f(x)在点 x0的任一邻域内都无界,那么点 x0称为函数 f(x)的 瑕点 (也称为无界间断点 )?
无界函数的反常积分又称为 瑕积分?
无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
btatba dxxfdxxf )(lim)(?
下页在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛?否则 称此反常积分发散?
上页 下页 铃结束返回首页函数 f(x)在 [a,c)?(c,b]上 (c为瑕点 )的反常积分定义为二、无界函数的 反常 积分类似地,函数 f(x)在 [a,b)上 (b为瑕点 )的反常积分定义为
dxxfdxxf tabtba )(lim)(
btcttactba dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(?
下页
无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
btatba dxxfdxxf )(lim)(?
上页 下页 铃结束返回首页二、无界函数的 反常 积分
无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
btatba dxxfdxxf )(lim)(?
反常积分的计算如果 F(x)为 f(x)的原函数,
b
tat
b
tat
b
a xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(
)(lim)()(lim)( xFbFtFbF
axat
)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
ax
b
a
b
a
可采用简记形式?
b
tat
b
tat
b
a xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(
(lim)()(lim)( xFbFtFbF
axat
则 f(x)在 (a,b]上的反常积分为下页上页 下页 铃结束返回首页
)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
ax
b
a
b
a
二、无界函数的 反常 积分
无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
btatba dxxfdxxf )(lim)(?
反常积分的计算如果 F(x)为 f(x)的原函数,则 f(x)在 (a,b]上的反常积分为提问：
f(x)在 [a,b)上和在 [a,c)?(c,b]上的反常积分如何计算？
如何判断反常积分的敛散性？
下页上页 下页 铃结束返回首页解 因为
22
1lim
xaax
,
所以点 a为被积函数的瑕点?
解例 4 计算 反常 积分 dx
xa
a
220
1
例 4
下页
aa
a
xdx
xa
0 0 22 ][ a r c s in
1?
20a r c s inlim
a
x
ax
aa
a
xdx
xa
0 0 22 ][ i
1?
20arcsinlim
a
x
ax
当 a 为 瑕 点 时,)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf axbaba
当 b 为 瑕 点 时,)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf bxbaba
上页 下页 铃结束返回首页由于
1)1(lim]1[1
0
0
1
0
1 2 xxdxx x,
解例 5
例 5 讨论反常积分1 1 21 dxx 的收敛性?
解 在区间 [? 1,1] 上 x? 0 为 函数 21x 的 瑕 点?
即反常积分0 1 21 dxx 发散,所以反常积分1 1 21 dxx 发散? 即反常积分0 1 21 dxx 发散,所以反常积分1 1 21 dxx 发散?
下页当 c (a?c?b)为瑕点时,
)](lim)([)]()(lim[)()()( xFbFaFxFdxxfdxxfdxxf
cxcx
b
c
c
a
b
a
由于
1)1(lim]1[1
0
0
1
0
1 2 xxdxx x,由于 1)
1(lim]1[1
0
0
1
0
1 2 xxdxx x,由于 )
1(lim]1[1
0
0 0
1 2 xxdxx x,
上页 下页 铃结束返回首页当 q? 1 时,qbaqba q abqaxqax dx 1 1 )(1 1])(1 1[)(?
当 q? 1 时, baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)(?
解例 6
例 6 讨论反常积分ba qax dx )( 的敛散性?
解 当 q? 1 时, bababa q axaxdxax dx )][ ln ()(?
因此,当 q <1 时,此反常积分收敛,其值为 qabq 1)(1 1?
当 q?1时,此反常积分发散?
解 当 q? 1 时, bababa q axxdxax dx )][ ln ()(? 解 当 q?1 时, bababa q aaxdxax dx )][ln()(? 解 当 q? 1 时, bababa q axaxdxax )][ ln ()(? 解 当 q? 1 时, bababa q axaxdxax dx )][ ln ()(?
当 q? 时, baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)(? 当 q? 1 时, baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)(? 当 q? 1 时, baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)(?
当 q? 时,qbaqba q bqaxqax dx 1 1 )(1 1])(1 1[)(? 当 q? 1 时,qbaqba q abqaxqax dx 1 1 )(1 1])(1 1[)(? 当 q? 1 时,qbaqba q abqaxqax dx 1 1 )(1 1])(1 1[)(?
结束
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dxxfdxxf ba
ba
)(lim)(
一、无穷限的 反常 积分
无穷限的反常积分的定义在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛,否则 称此反常积分发散?
连续函数 f(x)在区间 [a,)上的反常积分定义为下页类似地,连续函数 f(x)在区间 (,b]上和在区间 (,)
的反常积分定义为
dxxfdxxfdxxf b
baa
)(lim)(lim)( 00
dxxfdxxf ba
a
b )(lim)(
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dxxfdxxf ba
ba
)(lim)(
一、无穷限的 反常 积分
无穷限的反常积分的定义连续函数 f(x)在区间 [a,)上的反常积分定义为
反常积分的计算如果 F(x)是 f(x)的原函数,则有
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa
b
ab
b
aba xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(
)()(lim)()(lim aFxFaFbF
xb
可采用如下简记形式：
b
ab
b
aba xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(
)()(lim)()(lim aFxFaFbF
xb
上页 下页 铃结束返回首页
dxxfdxxf ba
ba
)(lim)(
一、无穷限的 反常 积分
无穷限的反常积分的定义连续函数 f(x)在区间 [a,)上的反常积分定义为
反常积分的计算如果 F(x)是 f(x)的原函数,则有
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf
xaa
类似地,有
)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
x
bb
,
)(lim)(lim)]([)( xFxFxFdxxf
xx
下页上页 下页 铃结束返回首页解例 1 计算反常积分 dxx 21 1
例 1
下页
)(lim)(lim)]([)( xFxFxFdxxf xx
)2 (2?
解 ][ a r c ta n1 1 2 xdxx
xx
xx
a r c ta nlima r c ta nlim
解 ][ a r c t a n1 1 2 xdxx
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0]
11[ dte
ptep
ptpt
解 000 ]1[][ ptptpt td epdttedtte
提示：
例 2 计算反常积分 dtte pt0 ( p 是常数,且 p > 0 )?
例 2
下页
)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa
02 ]
11[ ptpt e
ptep
222
11]11[lim
ppeptep
ptpt
t
解
222
11]11[lim
ppeptep
ptpt
t
01limlimlim
pttptt
pt
t pee
tte? 01limlimlim
pttptt
pt
t pee
tte? 01limlim
pttptt
pt
t pee
t?
解 000 ]1[][ ptptpt t d epdttedtte 解 000 ]1[][ ptptpt t d eptedtte
上页 下页 铃结束返回首页解例 3 讨论反常积分 dxx pa 1 ( a > 0 ) 的敛散性?
例 3
解 当 p? 1 时, ][ ln11 aapa xdxxdxx? 解 当 p? 1 时, ][ ln11 aapa xdxxdxx?
当 p <1 时, 1 ]1 1[1 appa xpdxx? 当 p <1 时, 1 ]1 1[1 appa xpdxx?
当 p >1 时,1]1 1[1 1 1 paxpdxx pappa?
当 p?1时,此反常积分发散?
解 当 p?1 时, ][ln11 aapa xdxxdxx? 解 当 p?1 时, ][ln11 aapa xdxxx?
当 p <1 时, 1 ]1 1[1 appa xpdxx? 当 p<1 时, 1 ]1 1[1 appa xpdxx?
当 p >1 时,1]1 1[1 1 1 paxpdxx pappa? 当 p >1 时,1]1 1[1 1 paxpdxx pappa? 当 p>1 时,1]1 1[ 1 1 paxdxx pappa?
因此,当 p >1 时,此反常积分收敛,其值为 11pa p?
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)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf xaa
上页 下页 铃结束返回首页二、无界函数的 反常 积分注：
如果函数 f(x)在点 x0的任一邻域内都无界,那么点 x0称为函数 f(x)的 瑕点 (也称为无界间断点 )?
无界函数的反常积分又称为 瑕积分?
无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
btatba dxxfdxxf )(lim)(?
下页在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛?否则 称此反常积分发散?
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dxxfdxxf tabtba )(lim)(
btcttactba dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(?
下页
无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
btatba dxxfdxxf )(lim)(?
上页 下页 铃结束返回首页二、无界函数的 反常 积分
无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
btatba dxxfdxxf )(lim)(?
反常积分的计算如果 F(x)为 f(x)的原函数,
b
tat
b
tat
b
a xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(
)(lim)()(lim)( xFbFtFbF
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)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
ax
b
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可采用简记形式?
b
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b
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a xFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(
(lim)()(lim)( xFbFtFbF
axat
则 f(x)在 (a,b]上的反常积分为下页上页 下页 铃结束返回首页
)(lim)()]([)( xFbFxFdxxf
ax
b
a
b
a
二、无界函数的 反常 积分
无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a,b]上连续,点 a为 f(x)的瑕点? 函数 f(x)
在 (a,b]上的反常积分定义为
btatba dxxfdxxf )(lim)(?
反常积分的计算如果 F(x)为 f(x)的原函数,则 f(x)在 (a,b]上的反常积分为提问：
f(x)在 [a,b)上和在 [a,c)?(c,b]上的反常积分如何计算？
如何判断反常积分的敛散性？
下页上页 下页 铃结束返回首页解 因为
22
1lim
xaax
,
所以点 a为被积函数的瑕点?
解例 4 计算 反常 积分 dx
xa
a
220
1
例 4
下页
aa
a
xdx
xa
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1?
20a r c s inlim
a
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当 b 为 瑕 点 时,)()(lim)]([)( aFxFxFdxxf bxbaba
上页 下页 铃结束返回首页由于
1)1(lim]1[1
0
0
1
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1 2 xxdxx x,
解例 5
例 5 讨论反常积分1 1 21 dxx 的收敛性?
解 在区间 [? 1,1] 上 x? 0 为 函数 21x 的 瑕 点?
即反常积分0 1 21 dxx 发散,所以反常积分1 1 21 dxx 发散? 即反常积分0 1 21 dxx 发散,所以反常积分1 1 21 dxx 发散?
下页当 c (a?c?b)为瑕点时,
)](lim)([)]()(lim[)()()( xFbFaFxFdxxfdxxfdxxf
cxcx
b
c
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1 2 xxdxx x,
上页 下页 铃结束返回首页当 q? 1 时,qbaqba q abqaxqax dx 1 1 )(1 1])(1 1[)(?
当 q? 1 时, baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)(?
解例 6
例 6 讨论反常积分ba qax dx )( 的敛散性?
解 当 q? 1 时, bababa q axaxdxax dx )][ ln ()(?
因此,当 q <1 时,此反常积分收敛,其值为 qabq 1)(1 1?
当 q?1时,此反常积分发散?
解 当 q? 1 时, bababa q axxdxax dx )][ ln ()(? 解 当 q?1 时, bababa q aaxdxax dx )][ln()(? 解 当 q? 1 时, bababa q axaxdxax )][ ln ()(? 解 当 q? 1 时, bababa q axaxdxax dx )][ ln ()(?
当 q? 时, baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)(? 当 q? 1 时, baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)(? 当 q? 1 时, baqba q axqax dx 1 ])(1 1[)(?
当 q? 时,qbaqba q bqaxqax dx 1 1 )(1 1])(1 1[)(? 当 q? 1 时,qbaqba q abqaxqax dx 1 1 )(1 1])(1 1[)(? 当 q? 1 时,qbaqba q abqaxqax dx 1 1 )(1 1])(1 1[)(?
结束
