一、平面图形的面积二、体积
§ 6.2 定积分在几何学上的应用三、平面曲线的弧长上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页
[f上 (x)?f下 (x)]dx,
它也就是面积元素,
一、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线
y?f上 (x)与 y?f下 (x)及左右两条直线
x?a与 x?b所围成,
因此平面图形的面积为在点 x处面积增量的近似值为
1.直角坐标情形
dxxfxfS ba )]()([ 下上,
下页上页 下页 铃结束返回首页讨论：
由左右两条曲线 x?j左 (y)与 x?j右 (y)
及上下两条直线 y?d与 y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？
提示：
面积为面积元素为 [j右 (y)?j左 (y)]dy,
dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
下页
dxxfxfS ba )]()([ 下上, dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
上页 下页 铃结束返回首页
( 3 ) 确定上下曲线 2)(,)( xxfxxf 下上,
例 1 计算抛物线 y2?x与 y?x2所围成的图形的面积,
解
(2)确定在 x轴上的投影区间
(4)计算积分
[0,1];
dxxfxfS ba )]()([ 下上, dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
(1)画图 ;
( 3 ) 确定上下曲线 2)(,)( xfxxf 下上,
10 2 )( dxxxS
3
1]
3
1
3
2[ 10323 xx,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2 计算抛物线 y2?2x与直线 y?x?4所围成的图形的面积,
(2)确定在 y轴上的投影区间?
(4)计算积分
(3)确定左右曲线?
[?2,4].
dxxfxfS ba )]()([ 下上, dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
解 (1)画图 ;
4)(,21)( 2 yyyy 右左 jj,
4 2 2 )214( dyyyS
18]61421[ 4 232yyy,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 3 求椭圆 12222 byax 所围成的图形的面积,
例 3
因为椭圆的参数方程为
x?acost,y?bsint,
所以解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍,
a y d xS 04,
于是
a y d xS 04 0
2
)c o s(s in4? tatdb
ydx,?椭圆在第一象限部分的面积元素为
0 2
2
s in4? td tab 20 )2c o s1(2
dttab
abab 22,
a y xS 04 0
2
)c o s(s in4? tatdb
0 2
2
s in4? td tab 20 )2c o s1(2
dttab
下页上页 下页 铃结束返回首页
曲边扇形
曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线j(?)及射线,所 围成的图形,
曲边扇形的面积
2.极坐标情形
j ddS 2)]([21?,
j dS 2)]([21,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4 计算阿基米德螺线a?(a>0)上相应于?从 0变到 2?
的一段弧与极轴所围成的图形的面积,
解解20 2)(21 daS 322032 34]31[21 aa,解20 2)(21 daS 32032 ]31[21a?,解20 2)(21 daS 22032 34]31[21 aa,
例 5 计算心形线a(1?cos?)(a>0)所围成的图形的面积,
解解0 2]c o s1([212 daS
02 )2c o s21c o s221( da
202 23]2s i n41s i n223[ aa,
首页曲边扇形的面积：
j dS 2)]([21 ) ),((j,
上页 下页 铃结束返回首页二、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这直线叫做旋转轴,
下页
1.旋转体的体积上页 下页 铃结束返回首页旋转体都可以看作是由连续曲线 y?f(x)、直线 x?a,a?b
及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,
下页二、体积
1.旋转体的体积
旋转体的体积元素考虑旋转体内点 x处垂直于 x轴的厚度为 dx的切片,
用圆柱体的体积?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,
旋转体的体积于是 体积元素为 dV[f(x)]2dx.
dxxfV ba 2)]([,
上页 下页 铃结束返回首页例 6 连接坐标原点 O及点 P(h,r)的直线,直线 x?h及 x轴围成一个直角三角形,将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r,高为 h的圆锥体,计算这圆锥体的体积,
旋转体的体积：
解下页
dxxfV ba 2)]([,
解 直角三角形斜边的直线方程为 xhry?,
dxxhrV h 20 )(
hx
h
r
032
2 ]
3
1[ 2
3
1 hr,hx
h
r
032
2 ]
3
1[
3
1 hr,
上页 下页 铃结束返回首页
a aa a dxxaabdxyV )( 22222
解解 旋转椭球体 可以看作是由半个椭圆 22 xaaby 及 x
轴围成的图形绕 x轴旋转而成的立体,
旋转椭球体的体积为下页旋转体的体积：
dxxfV ba 2)]([,
例 7 计算由椭圆 所成的图形绕 x轴旋转而成的旋转体 (旋转椭球体 )的体积,
12222 byax
a axxa
a
b
]3
1[ 32
2
2? 2
3
4 ab,
a aa a dxxaabdxyV )( 2222
a axxa
a
b
]3
1[ 32
2
2? 2
3
4 ab,
上页 下页 铃结束返回首页例 8 计算由摆线 x?a(t?sint),?y?a(1?cost)的一拱,直线 y?0
所围成的图形分别绕 x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,
解 所给图形绕 x轴旋转而成的旋转体的体积为下页
ax dxyV20 2 20 22 )c o s1()c o s1( dttata
322
0
323 5)c o sc o s3c o s31( adtttta,
ax dxyV20 2 20 22 )c o s1()c o s( dttata
322
0
323 5)c osc os3c os31( adtttta,
上页 下页 铃结束返回首页例 8 计算由摆线 x?a(t?sint),?y?a(1?cost)的一拱,直线 y?0
所围成的图形分别绕 x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,
解下页设曲线左半边为 x?x1(y),?右半边为 x?x2(y).
所给图形绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为
aay dyyxdyyxV 20 2120 22 )()(
0 222 22 s i n)s i n(s i n)s i n( td tattatd tatta
20 23 s i n)s i n( td ttta
6?3a3,
aa dyyxdyyxV 20 2120 22 )()(
上页 下页 铃结束返回首页设立体在 x轴上的投影区间为 [a,b],立体内垂直于 x轴的截面面积为 A(x).
立体的体积元素为立体的体积为下页
2.平行截面面积为已知的立体的体积
dxxAV ba )(,
A(x)dx.
A(x)
上页 下页 铃结束返回首页截面面积为 A(x)的立体体积：
例 9 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角?.计算这平面截圆柱所得立体的体积,
建立坐标系如图,?则 底圆的方程为 x2?y2?R2.
所求立体的体积为
dxxAV ba )(,
解
ta n)(21)( 22 xRxA,
dxxRV R R?ta n)(21 22
R RxxR ]
3
1[ta n
2
1 32t a n
3
2 3R?,R
RxxR ]3
1[ta n
2
1 32t a n
3
2 3R?,
下页立体中过点 x且垂直于 x轴的截面为直角三角形,?其 面积为上页 下页 铃结束返回首页例 10求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为 h的正劈锥体的体积,
建立坐标系如图,则底圆的方程为 x2?y2?R2.
于是所求正劈锥体的体积为截面面积为 A(x)的立体体积：
dxxAV ba )(,
解
22)( xRhyhxA,
R R dxxRhV 22
hRdhR 220 22 21c o s2,hRdhR 220 22 21o s2,
首页立体中过点 x且垂直于 x轴的截面面积为上页 下页 铃结束返回首页三、平面曲线的弧长设曲线弧由直角坐标方程
y?f(x) (a?x?b)
给出,其中 f(x)在区间 [a,b]上具有一阶连续导数,现在来计算这曲线弧的长度,
在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为这也就是弧长元素,?
因此,?曲线弧的长度为下页
dxyds 21,
ba dxys 21,
直角坐标情形上页 下页 铃结束返回首页例 1? 计算曲线 2332 xy? 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的例 11
长度,?
因此,所求弧长为解曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
下页
ba dxys 21,
解? 21xy,从而弧长元素
dxxdxyds 11 2,
bab
a xdxxs ])1(3
2[1 23 ])1()1[(
3
2 2323 ab,b
a
b
a xdxxs ])1(3
2[1 23 ])1()1[(
3
2 2323 ab,b
a
b
a xdxxs )1(3
2[1 23 ])1()1[(
3
2 2323 ab,
上页 下页 铃结束返回首页解因此,所求弧长为曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
例 12
弧的长度,
例 2 计算悬链线 cxcy ch? 上介于 x b 与 x? b 之间一段解 cxy sh,从而弧长元素为
dxcxdxcxds chsh1 2,
bb b dxcxdxcxs 0 ch2ch
c
bc
c
xc b sh2]sh[2
0,
bbb dxcxdxcxs 0 ch2ch
c
bc
c
xc b sh2]sh[2
0,
下页上页 下页 铃结束返回首页设曲线弧由参数方程 x?j(t),y(t)(t)给出,其中
j(t),?(t)在 [?,?]上具有连续导数,
于是曲线弧的长为下页曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
参数方程情形因为 )( )( ttdxdy j,dx? j? ( t ) d t,所以弧长元素为
dtttdttttds )()()()( )(1 222
2
jjj,
j dttts )()( 22,
dtttdttttds )()()()( )(1 222
2
jjj,
因为 )( )(ttdxdy j,dx? j?( t ) d t,所以弧长元素为上页 下页 铃结束返回首页曲线 x?j(t),y(t)(t)的弧长：
例 13求摆线 x?a(sin?),y?a(1?cos?)的一拱 (02?)的长度,
解于是所求弧长为曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
j dttts )()( 22,
弧长元素为
daads 2222 s i n)c o s1( da 2s i n2?,
20 2s in2 das
2
0]2c o s2[2 a? 8 a,
daads 2222 s in)c o s1( da 2s in2?,
2
0]2cos2[2 a?8a,
下页上页 下页 铃结束返回首页
ds )()( 22,
dyxds )()( 22 d)()( 22,
设曲线弧由极坐标方程(?)()给出,其中?(?)在
[?,?]上具有连续导数,
因为 x(?)cos?,y(?)sin(),
所以弧长元素为曲线弧的长为下页
极坐标情形曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
j dttts )()( 22,
曲线 x?j(t),y(t)(t)的弧长：
dyxds )()( 22 d)()( 22,
上页 下页 铃结束返回首页
ds )()( 22,
曲线(?)()的弧长：
例 14求阿基米德螺线a? (a>0)相应于?从 0到 2?一段的弧长,
解于是所求弧长为结束弧长元素为
dadaads 2222 1,
20 21 das )]412ln (412[2 22 a,
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
j dttts )()( 22,
曲线 x?j(t),y(t)(t)的弧长：
20 21 das )]412l n (412[2 22 a,
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[f上 (x)?f下 (x)]dx,
它也就是面积元素,
一、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线
y?f上 (x)与 y?f下 (x)及左右两条直线
x?a与 x?b所围成,
因此平面图形的面积为在点 x处面积增量的近似值为
1.直角坐标情形
dxxfxfS ba )]()([ 下上,
下页上页 下页 铃结束返回首页讨论：
由左右两条曲线 x?j左 (y)与 x?j右 (y)
及上下两条直线 y?d与 y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？
提示：
面积为面积元素为 [j右 (y)?j左 (y)]dy,
dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
下页
dxxfxfS ba )]()([ 下上, dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
上页 下页 铃结束返回首页
( 3 ) 确定上下曲线 2)(,)( xxfxxf 下上,
例 1 计算抛物线 y2?x与 y?x2所围成的图形的面积,
解
(2)确定在 x轴上的投影区间
(4)计算积分
[0,1];
dxxfxfS ba )]()([ 下上, dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
(1)画图 ;
( 3 ) 确定上下曲线 2)(,)( xfxxf 下上,
10 2 )( dxxxS
3
1]
3
1
3
2[ 10323 xx,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2 计算抛物线 y2?2x与直线 y?x?4所围成的图形的面积,
(2)确定在 y轴上的投影区间?
(4)计算积分
(3)确定左右曲线?
[?2,4].
dxxfxfS ba )]()([ 下上, dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
解 (1)画图 ;
4)(,21)( 2 yyyy 右左 jj,
4 2 2 )214( dyyyS
18]61421[ 4 232yyy,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 3 求椭圆 12222 byax 所围成的图形的面积,
例 3
因为椭圆的参数方程为
x?acost,y?bsint,
所以解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍,
a y d xS 04,
于是
a y d xS 04 0
2
)c o s(s in4? tatdb
ydx,?椭圆在第一象限部分的面积元素为
0 2
2
s in4? td tab 20 )2c o s1(2
dttab
abab 22,
a y xS 04 0
2
)c o s(s in4? tatdb
0 2
2
s in4? td tab 20 )2c o s1(2
dttab
下页上页 下页 铃结束返回首页
曲边扇形
曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线j(?)及射线,所 围成的图形,
曲边扇形的面积
2.极坐标情形
j ddS 2)]([21?,
j dS 2)]([21,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4 计算阿基米德螺线a?(a>0)上相应于?从 0变到 2?
的一段弧与极轴所围成的图形的面积,
解解20 2)(21 daS 322032 34]31[21 aa,解20 2)(21 daS 32032 ]31[21a?,解20 2)(21 daS 22032 34]31[21 aa,
例 5 计算心形线a(1?cos?)(a>0)所围成的图形的面积,
解解0 2]c o s1([212 daS
02 )2c o s21c o s221( da
202 23]2s i n41s i n223[ aa,
首页曲边扇形的面积：
j dS 2)]([21 ) ),((j,
上页 下页 铃结束返回首页二、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这直线叫做旋转轴,
下页
1.旋转体的体积上页 下页 铃结束返回首页旋转体都可以看作是由连续曲线 y?f(x)、直线 x?a,a?b
及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,
下页二、体积
1.旋转体的体积
旋转体的体积元素考虑旋转体内点 x处垂直于 x轴的厚度为 dx的切片,
用圆柱体的体积?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,
旋转体的体积于是 体积元素为 dV[f(x)]2dx.
dxxfV ba 2)]([,
上页 下页 铃结束返回首页例 6 连接坐标原点 O及点 P(h,r)的直线,直线 x?h及 x轴围成一个直角三角形,将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r,高为 h的圆锥体,计算这圆锥体的体积,
旋转体的体积：
解下页
dxxfV ba 2)]([,
解 直角三角形斜边的直线方程为 xhry?,
dxxhrV h 20 )(
hx
h
r
032
2 ]
3
1[ 2
3
1 hr,hx
h
r
032
2 ]
3
1[
3
1 hr,
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a aa a dxxaabdxyV )( 22222
解解 旋转椭球体 可以看作是由半个椭圆 22 xaaby 及 x
轴围成的图形绕 x轴旋转而成的立体,
旋转椭球体的体积为下页旋转体的体积：
dxxfV ba 2)]([,
例 7 计算由椭圆 所成的图形绕 x轴旋转而成的旋转体 (旋转椭球体 )的体积,
12222 byax
a axxa
a
b
]3
1[ 32
2
2? 2
3
4 ab,
a aa a dxxaabdxyV )( 2222
a axxa
a
b
]3
1[ 32
2
2? 2
3
4 ab,
上页 下页 铃结束返回首页例 8 计算由摆线 x?a(t?sint),?y?a(1?cost)的一拱,直线 y?0
所围成的图形分别绕 x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,
解 所给图形绕 x轴旋转而成的旋转体的体积为下页
ax dxyV20 2 20 22 )c o s1()c o s1( dttata
322
0
323 5)c o sc o s3c o s31( adtttta,
ax dxyV20 2 20 22 )c o s1()c o s( dttata
322
0
323 5)c osc os3c os31( adtttta,
上页 下页 铃结束返回首页例 8 计算由摆线 x?a(t?sint),?y?a(1?cost)的一拱,直线 y?0
所围成的图形分别绕 x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,
解下页设曲线左半边为 x?x1(y),?右半边为 x?x2(y).
所给图形绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为
aay dyyxdyyxV 20 2120 22 )()(
0 222 22 s i n)s i n(s i n)s i n( td tattatd tatta
20 23 s i n)s i n( td ttta
6?3a3,
aa dyyxdyyxV 20 2120 22 )()(
上页 下页 铃结束返回首页设立体在 x轴上的投影区间为 [a,b],立体内垂直于 x轴的截面面积为 A(x).
立体的体积元素为立体的体积为下页
2.平行截面面积为已知的立体的体积
dxxAV ba )(,
A(x)dx.
A(x)
上页 下页 铃结束返回首页截面面积为 A(x)的立体体积：
例 9 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角?.计算这平面截圆柱所得立体的体积,
建立坐标系如图,?则 底圆的方程为 x2?y2?R2.
所求立体的体积为
dxxAV ba )(,
解
ta n)(21)( 22 xRxA,
dxxRV R R?ta n)(21 22
R RxxR ]
3
1[ta n
2
1 32t a n
3
2 3R?,R
RxxR ]3
1[ta n
2
1 32t a n
3
2 3R?,
下页立体中过点 x且垂直于 x轴的截面为直角三角形,?其 面积为上页 下页 铃结束返回首页例 10求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为 h的正劈锥体的体积,
建立坐标系如图,则底圆的方程为 x2?y2?R2.
于是所求正劈锥体的体积为截面面积为 A(x)的立体体积：
dxxAV ba )(,
解
22)( xRhyhxA,
R R dxxRhV 22
hRdhR 220 22 21c o s2,hRdhR 220 22 21o s2,
首页立体中过点 x且垂直于 x轴的截面面积为上页 下页 铃结束返回首页三、平面曲线的弧长设曲线弧由直角坐标方程
y?f(x) (a?x?b)
给出,其中 f(x)在区间 [a,b]上具有一阶连续导数,现在来计算这曲线弧的长度,
在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为这也就是弧长元素,?
因此,?曲线弧的长度为下页
dxyds 21,
ba dxys 21,
直角坐标情形上页 下页 铃结束返回首页例 1? 计算曲线 2332 xy? 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的例 11
长度,?
因此,所求弧长为解曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
下页
ba dxys 21,
解? 21xy,从而弧长元素
dxxdxyds 11 2,
bab
a xdxxs ])1(3
2[1 23 ])1()1[(
3
2 2323 ab,b
a
b
a xdxxs ])1(3
2[1 23 ])1()1[(
3
2 2323 ab,b
a
b
a xdxxs )1(3
2[1 23 ])1()1[(
3
2 2323 ab,
上页 下页 铃结束返回首页解因此,所求弧长为曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
例 12
弧的长度,
例 2 计算悬链线 cxcy ch? 上介于 x b 与 x? b 之间一段解 cxy sh,从而弧长元素为
dxcxdxcxds chsh1 2,
bb b dxcxdxcxs 0 ch2ch
c
bc
c
xc b sh2]sh[2
0,
bbb dxcxdxcxs 0 ch2ch
c
bc
c
xc b sh2]sh[2
0,
下页上页 下页 铃结束返回首页设曲线弧由参数方程 x?j(t),y(t)(t)给出,其中
j(t),?(t)在 [?,?]上具有连续导数,
于是曲线弧的长为下页曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
参数方程情形因为 )( )( ttdxdy j,dx? j? ( t ) d t,所以弧长元素为
dtttdttttds )()()()( )(1 222
2
jjj,
j dttts )()( 22,
dtttdttttds )()()()( )(1 222
2
jjj,
因为 )( )(ttdxdy j,dx? j?( t ) d t,所以弧长元素为上页 下页 铃结束返回首页曲线 x?j(t),y(t)(t)的弧长：
例 13求摆线 x?a(sin?),y?a(1?cos?)的一拱 (02?)的长度,
解于是所求弧长为曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
j dttts )()( 22,
弧长元素为
daads 2222 s i n)c o s1( da 2s i n2?,
20 2s in2 das
2
0]2c o s2[2 a? 8 a,
daads 2222 s in)c o s1( da 2s in2?,
2
0]2cos2[2 a?8a,
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ds )()( 22,
dyxds )()( 22 d)()( 22,
设曲线弧由极坐标方程(?)()给出,其中?(?)在
[?,?]上具有连续导数,
因为 x(?)cos?,y(?)sin(),
所以弧长元素为曲线弧的长为下页
极坐标情形曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
j dttts )()( 22,
曲线 x?j(t),y(t)(t)的弧长：
dyxds )()( 22 d)()( 22,
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ds )()( 22,
曲线(?)()的弧长：
例 14求阿基米德螺线a? (a>0)相应于?从 0到 2?一段的弧长,
解于是所求弧长为结束弧长元素为
dadaads 2222 1,
20 21 das )]412ln (412[2 22 a,
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
ba dxys 21,
j dttts )()( 22,
曲线 x?j(t),y(t)(t)的弧长：
20 21 das )]412l n (412[2 22 a,
