§ 5.1 定积分概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、定积分问题举例
曲边梯形设函数 y=f(x)在区间 [a,b]上非负、连续,由直线 x=a,x=b、
y=0及曲线 y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边,
1.曲边梯形的面积下页上页 下页 铃结束返回首页
观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?
怎样求曲边梯形的面积？
动画演示 下页上页 下页 铃结束返回首页
=?
=
n
i
ii xfA
10
)(lim?
,
求曲边梯形的面积
(1)分割,a=x0<x1< x2<<xn?1< xn=b,?xi=xi?xi?1;
小曲边梯形的面积近似为 f(?i)?xi (xi?1<?i<xi); (2)近似代替,
(4)取极限,设?=max{?x1,?x2,,?xn},曲边梯形的面积为
(3)求和,曲边梯形的面积近似为 ;
=?
=
n
i
ii xfA
10
)(lim?
,
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2.变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度 v=v(t)是时间 t 的连续函数,且
v(t)?0,计算物体在时间段 [T1,T2]内所经过的路程 S.
(1)分割,T1=t0<t1<t2<<tn?1<tn=T2,?ti=ti?ti?1;
(2)近似代替,物体在时间段 [ti?1,ti]内所经过的路程近似为
Si?v(?i)?ti ( ti?1<?i<ti );
物体在时间段 [T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和,
(4)取极限,记?=max{?t1,?t2,,?tn},物体所经过的路程为
=
n
i
ii tvS
1
)(? ;
=?
=
n
i
ii tvS
10
)(lim?
,
首页上页 下页 铃结束返回首页二、定积分定义
定积分的定义
在小区间 [xi?1,xi]上任取一点?i (i=1,2,,n),
=
n
i
ii xf
1
)(? ;
作和
=max{?x1,?x2,,?xn};记?xi=xi?xi?1 (i=1,2,,n),
a=x0<x1<x2<<xn?1<xn=b;?在区间 [a,b]内插入分点,
设函数 f(x)在区间 [a,b]上有界,
如果当0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间 [a,b]
的分法 和?i的取法无关,则称此极限为函数 f(x)在区间 [a,b]上
ba dxxf )(,
的定积分,记为
=?
= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)(,
即下页上页 下页 铃结束返回首页
定积分各部分的名称
———— 积分 符号,
f(x) ——— 被积函数,
f(x)dx —— 被积表达式,
x ———— 积分变量,
a ———— 积分下限,
b ———— 积分上限,
[a,b]——— 积分区间,
定积分的定义
=?
= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)(,
二、定积分定义
=
n
i
ii xf
1
)(?
——— 积分和,
下页上页 下页 铃结束返回首页
定积分的定义
=?
= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)(,
二、定积分定义根据定积分的定义,曲边梯形的面积为?= ba dxxfA )(,
变速直线运动的路程为 dttvS TT )(2
1?
=,
== bababa duufdttfdxxf )()()(,
说明：
定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即下页上页 下页 铃结束返回首页
函数的可积性如果函数 f(x)在区间 [a,b]上的定积分存在,则称 f(x)在区间 [a,b]上可积,
定理 1
如果函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,则函数 f(x)在区间 [a,b]
上可积,
定理 2
如果函数 f(x)在区间 [a,b]上有界,且只有有限个间断点,
则函数 f(x)在区间 [a,b]上可积,
定积分的定义
=?
= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)(,
二、定积分定义下页上页 下页 铃结束返回首页
定积分的几何意义当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示由曲线 y=f(x)、直线 x=a,x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积,
当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示曲边梯形面积的负值,
这是因为
==?=
=?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010,==?= =?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010,==?= =?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 110,==?= =?
b
a
n
i
ii
i
i
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010,
下页上页 下页 铃结束返回首页一般地,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示介于 x轴、曲线 y=f(x)
及直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和,
定积分的几何意义当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示由曲线 y=f(x)、直线 x=a,x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积,
当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示曲边梯形面积的负值,
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利用定义计算定积分解 把区间 [0,1]分成 n等份,分点和小区间长度分别为
nix i = ( i = 1,2,,n? 1),nx i 1=? ( i = 1,2,,n ),
取 nii =? ( i = 1,2,,n ),作积分和
===
=?=?
n
i
i
n
i
ii
n
i
i nn
ixxf
1
2
1
2
1
1)()( )12)(11(
6
1
nn=,
31)12)(11(61lim)(lim
10
21
0 ==?== nnxfdxx n
n
i
ii,
因为 n1=?,当 0 时,n,所以例 1
例 1 利用定义计算定积分? 10 2 dxx,
nix i = ( i = 1,2,,n? 1),nx i 1=? ( i = 1,2,,n ),
===
=?=?
n
i
i
n
i
ii
n
i
i n
ixxf
11
2
1
1()( )12)(11(
6
1
nn=, ===?=?=?
n
i
i
n
i
i
n
i
i n
ixxf
1
2
1
2
1
1)()( )12)(1(
6
1
n?=, ====?
n
i
i
n
i
ii
n
i
i nn
ixf
1
2
1
2
1
1)()( )12)(11(
6
1
nn=,
因为 n1=?,当 时,n,所以
31)12)(11(61lim)(lim
10
21
0 ==?== nnxfdxx n
n
i
ii,3
1)12)(11(
6
1lim)(lim
10
21
0 ==?== nnxfdxx n
n
i
ii,
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利用几何意义求定积分解 函数 y=1?x在区间 [0,1]上的定积分是 以 y=1?x为曲边,
以区间 [0,1]为底的曲边梯形的面积,
因为以 y=1?x为曲边,以区间 [0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为 1,所以例 2
例 2 用定积分的几何意义求10 )1( dxx,
2
111
2
1)1(1
0 == dxx,2
111
2
1)1(1
0 == dxx,2
111)1(1
0 = dxx,
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( 1 ) 当 a = b 时,0)( =? ba dxxf ;
三、定积分的性质
两点规定
( 2 ) 当 a > b 时,= abba dxxfdxxf )()(,
下页上页 下页 铃结束返回首页
ba dxxgxf )]()([?
=?
=
n
i
iii xgf
10
)]()([lim
=?=?
=
n
i
ii
n
i
ii xgxf
1010
)(l i m)(l i m
= baba dxxgdxxf )()(,
这是因为
ba dxxgxf )])([?
=?
=
n
i
iii xgf
10
)]()([lim
=?=?
=
n
i
ii
n
i
ii xgxf
1010
)(lim)(lim
= baba dxxgdxxf )()(,
三、定积分的性质性质 1=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
性质 1
下页上页 下页 铃结束返回首页三、定积分的性质性质 1=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
性质 1
性质 2
性质 2 = baba dxxfkdxxkf )()(,
>>>
性质 3
性质 3= bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(,
>>>
注,值得注意的是不论 a,b,c的相对位置如何上式总成立,
下页上页 下页 铃结束返回首页三、定积分的性质性质 1=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
性质 1
性质 2
性质 2 = baba dxxfkdxxkf )()(,
性质 3
性质 4
性质 4 abdxdx baba?== 1,
性质 3= bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(,
下页上页 下页 铃结束返回首页
ba dxxf 0)( ( a < b ),
推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
这是因为 g(x)?f(x)?0,从而
=? ba baba dxxfxgdxxfdxxg 0)]()([)()(,
ba ba dxxgdxxf )()(,
所以如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
下页上页 下页 铃结束返回首页即ba ba dxxfdxxf |)(||)(|,
这是因为?|f(x)|?f(x)?|f(x)|,所以
ba dxxf 0)( ( a < b ),
推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
ba ba dxxfdxxf |)(||)(| ( a < b ),
推论 2
baba ba dxxfdxxfdxxf |)(|)(|)(|,
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 6证明
ba dxxf 0)( ( a < b ),
推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
ba ba dxxfdxxf |)(||)(| ( a < b ),
推论 2
性质 6设 M及 m分别是函数 f(x)在区间 [a,b]上的最大值及最小值,则
ba abMdxxfabm )()()( ( a < b ),
下页上页 下页 铃结束返回首页如果函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续,
则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点?,使下式成立,
这是因为,由性质 6
性质 7(定积分中值定理 )
=ba abfdxxf ))(()(?,
—— 积分中值公式,
ba abMdxxfabm )()()(,
即 ba Mdxxfabm )(1,
由介值定理,至少存在一点[a,b],使
= ba dxxfabf )(1)(?,
两端乘以 b?a即得积分中值公式,
结束
曲边梯形设函数 y=f(x)在区间 [a,b]上非负、连续,由直线 x=a,x=b、
y=0及曲线 y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边,
1.曲边梯形的面积下页上页 下页 铃结束返回首页
观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?
怎样求曲边梯形的面积？
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=?
=
n
i
ii xfA
10
)(lim?
,
求曲边梯形的面积
(1)分割,a=x0<x1< x2<<xn?1< xn=b,?xi=xi?xi?1;
小曲边梯形的面积近似为 f(?i)?xi (xi?1<?i<xi); (2)近似代替,
(4)取极限,设?=max{?x1,?x2,,?xn},曲边梯形的面积为
(3)求和,曲边梯形的面积近似为 ;
=?
=
n
i
ii xfA
10
)(lim?
,
下页上页 下页 铃结束返回首页
2.变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度 v=v(t)是时间 t 的连续函数,且
v(t)?0,计算物体在时间段 [T1,T2]内所经过的路程 S.
(1)分割,T1=t0<t1<t2<<tn?1<tn=T2,?ti=ti?ti?1;
(2)近似代替,物体在时间段 [ti?1,ti]内所经过的路程近似为
Si?v(?i)?ti ( ti?1<?i<ti );
物体在时间段 [T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和,
(4)取极限,记?=max{?t1,?t2,,?tn},物体所经过的路程为
=
n
i
ii tvS
1
)(? ;
=?
=
n
i
ii tvS
10
)(lim?
,
首页上页 下页 铃结束返回首页二、定积分定义
定积分的定义
在小区间 [xi?1,xi]上任取一点?i (i=1,2,,n),
=
n
i
ii xf
1
)(? ;
作和
=max{?x1,?x2,,?xn};记?xi=xi?xi?1 (i=1,2,,n),
a=x0<x1<x2<<xn?1<xn=b;?在区间 [a,b]内插入分点,
设函数 f(x)在区间 [a,b]上有界,
如果当0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间 [a,b]
的分法 和?i的取法无关,则称此极限为函数 f(x)在区间 [a,b]上
ba dxxf )(,
的定积分,记为
=?
= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)(,
即下页上页 下页 铃结束返回首页
定积分各部分的名称
———— 积分 符号,
f(x) ——— 被积函数,
f(x)dx —— 被积表达式,
x ———— 积分变量,
a ———— 积分下限,
b ———— 积分上限,
[a,b]——— 积分区间,
定积分的定义
=?
= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)(,
二、定积分定义
=
n
i
ii xf
1
)(?
——— 积分和,
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定积分的定义
=?
= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)(,
二、定积分定义根据定积分的定义,曲边梯形的面积为?= ba dxxfA )(,
变速直线运动的路程为 dttvS TT )(2
1?
=,
== bababa duufdttfdxxf )()()(,
说明：
定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即下页上页 下页 铃结束返回首页
函数的可积性如果函数 f(x)在区间 [a,b]上的定积分存在,则称 f(x)在区间 [a,b]上可积,
定理 1
如果函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,则函数 f(x)在区间 [a,b]
上可积,
定理 2
如果函数 f(x)在区间 [a,b]上有界,且只有有限个间断点,
则函数 f(x)在区间 [a,b]上可积,
定积分的定义
=?
= n
i
ii
b
a xfdxxf 10 )(lim)(,
二、定积分定义下页上页 下页 铃结束返回首页
定积分的几何意义当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示由曲线 y=f(x)、直线 x=a,x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积,
当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示曲边梯形面积的负值,
这是因为
==?=
=?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010,==?= =?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010,==?= =?=?
b
a
n
i
ii
n
i
ii
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 110,==?= =?
b
a
n
i
ii
i
i
b
a dxxfxfxfdxxf )]([)]([lim)(lim)( 1010,
下页上页 下页 铃结束返回首页一般地,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示介于 x轴、曲线 y=f(x)
及直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和,
定积分的几何意义当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示由曲线 y=f(x)、直线 x=a,x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积,
当 f(x)?0时,f(x)在 [a,b]上 的定 积分表示曲边梯形面积的负值,
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利用定义计算定积分解 把区间 [0,1]分成 n等份,分点和小区间长度分别为
nix i = ( i = 1,2,,n? 1),nx i 1=? ( i = 1,2,,n ),
取 nii =? ( i = 1,2,,n ),作积分和
===
=?=?
n
i
i
n
i
ii
n
i
i nn
ixxf
1
2
1
2
1
1)()( )12)(11(
6
1
nn=,
31)12)(11(61lim)(lim
10
21
0 ==?== nnxfdxx n
n
i
ii,
因为 n1=?,当 0 时,n,所以例 1
例 1 利用定义计算定积分? 10 2 dxx,
nix i = ( i = 1,2,,n? 1),nx i 1=? ( i = 1,2,,n ),
===
=?=?
n
i
i
n
i
ii
n
i
i n
ixxf
11
2
1
1()( )12)(11(
6
1
nn=, ===?=?=?
n
i
i
n
i
i
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i
i n
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1
2
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6
1
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n
i
i
n
i
ii
n
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i nn
ixf
1
2
1
2
1
1)()( )12)(11(
6
1
nn=,
因为 n1=?,当 时,n,所以
31)12)(11(61lim)(lim
10
21
0 ==?== nnxfdxx n
n
i
ii,3
1)12)(11(
6
1lim)(lim
10
21
0 ==?== nnxfdxx n
n
i
ii,
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利用几何意义求定积分解 函数 y=1?x在区间 [0,1]上的定积分是 以 y=1?x为曲边,
以区间 [0,1]为底的曲边梯形的面积,
因为以 y=1?x为曲边,以区间 [0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为 1,所以例 2
例 2 用定积分的几何意义求10 )1( dxx,
2
111
2
1)1(1
0 == dxx,2
111
2
1)1(1
0 == dxx,2
111)1(1
0 = dxx,
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( 1 ) 当 a = b 时,0)( =? ba dxxf ;
三、定积分的性质
两点规定
( 2 ) 当 a > b 时,= abba dxxfdxxf )()(,
下页上页 下页 铃结束返回首页
ba dxxgxf )]()([?
=?
=
n
i
iii xgf
10
)]()([lim
=?=?
=
n
i
ii
n
i
ii xgxf
1010
)(l i m)(l i m
= baba dxxgdxxf )()(,
这是因为
ba dxxgxf )])([?
=?
=
n
i
iii xgf
10
)]()([lim
=?=?
=
n
i
ii
n
i
ii xgxf
1010
)(lim)(lim
= baba dxxgdxxf )()(,
三、定积分的性质性质 1=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
性质 1
下页上页 下页 铃结束返回首页三、定积分的性质性质 1=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
性质 1
性质 2
性质 2 = baba dxxfkdxxkf )()(,
>>>
性质 3
性质 3= bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(,
>>>
注,值得注意的是不论 a,b,c的相对位置如何上式总成立,
下页上页 下页 铃结束返回首页三、定积分的性质性质 1=? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
性质 1
性质 2
性质 2 = baba dxxfkdxxkf )()(,
性质 3
性质 4
性质 4 abdxdx baba?== 1,
性质 3= bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(,
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ba dxxf 0)( ( a < b ),
推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
这是因为 g(x)?f(x)?0,从而
=? ba baba dxxfxgdxxfdxxg 0)]()([)()(,
ba ba dxxgdxxf )()(,
所以如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
下页上页 下页 铃结束返回首页即ba ba dxxfdxxf |)(||)(|,
这是因为?|f(x)|?f(x)?|f(x)|,所以
ba dxxf 0)( ( a < b ),
推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
ba ba dxxfdxxf |)(||)(| ( a < b ),
推论 2
baba ba dxxfdxxfdxxf |)(|)(|)(|,
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 6证明
ba dxxf 0)( ( a < b ),
推论 1 如果在区间 [a,b]上 f (x)?g(x),则
ba ba dxxgdxxf )()( ( a < b ),
如果在区间 [a,b]上 f (x)?0,则?性质 5
ba ba dxxfdxxf |)(||)(| ( a < b ),
推论 2
性质 6设 M及 m分别是函数 f(x)在区间 [a,b]上的最大值及最小值,则
ba abMdxxfabm )()()( ( a < b ),
下页上页 下页 铃结束返回首页如果函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续,
则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点?,使下式成立,
这是因为,由性质 6
性质 7(定积分中值定理 )
=ba abfdxxf ))(()(?,
—— 积分中值公式,
ba abMdxxfabm )()()(,
即 ba Mdxxfabm )(1,
由介值定理,至少存在一点[a,b],使
= ba dxxfabf )(1)(?,
两端乘以 b?a即得积分中值公式,
结束
