§ 4.4 有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、有理函数的积分
有理函数的形式当 n<m时,称这有理函数是真分式 ; 而当 n?m时,称这有理函数是假分式,
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数,
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式,
例如
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
=
1
1
10
1
1
10
)(
)(,
下页
1
1
1
1)1(
1
1
22
2
2
3
=?
=
xxx
xx
x
xx,
1
1
1
1)1(
1
1
22
2
2
3
=?
=
xxx
xx
x
xx,
1
1
1
1)(
1
1
22
2
2
3
=?
=
xxx
xx
x
x,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
= dxxdxx 2536 = 6 ln |x? 3|? 5 ln |x? 2|? C,
求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分,
解例 1
例 1 求 dxxx x 65 32,
解 dxxx x 65 32= dxxx x )3)(2( 3= dxxx )2536( 解 dxxx x 65 32= dxxx )3)(2( 3= dxxx )2536( 解 dxxx x 65 32= dxxx x )3)(2( 3= dxxx )536(
分母可因式分解的真分式的不定积分下页
= dxxdxx 2536 = 6 ln |x? 3|? 5 ln |x 2|? C,
A?B=1,?2A?3B=3,
)3)(2(
)32()(
23)3)(2(
3
=
=
xx
BAxBA
x
B
x
A
xx
x,
A=6,B=?5.
)3)(2(
)32()(
23)3)(2(
3
=
=
xx
BAxBA
x
B
x
A
xx
x,
)3)(2(
)32()(
23)3)(2(
3
=
=
xx
BAxBAB
x
A
xx
x,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
解例 2
例 3 求 dxxx 2)1( 1,
解=? dxxxxdxxx ])1( 1111[)1( 1 22 解=? dxxxxdxxx ])1( 111[)1( 1 22
下页求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分,
分母可因式分解的真分式的不定积分
222 )1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
=?
=
xxxxx
xx
xx
22 )1(
1
1
11
)1(
1
)1(
1
=
=
xxxxxx
xx,
= dxxdxxdxx 2)1( 1111 Cxxx= 11|1|ln||ln,= dxxdxxdxx 2)1( 1111 Cxxx= 11|1|ln||ln,
222 )1(
1
)1()1(
1
)1(
1
=?
=
xxxxx
xx
xx 222 )1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
=
xxxxx
x
xx
22 )1(
1
1
11
)1(
1
)1(
1
=
=
xxxxxx
xx,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
解例 3
例 2 求 dxxx x 32 22,
解 dxxx x 32 22 dxxxxx x )321332 2221( 22=?
dxxxdxxx x= 321332 2221 22
= 222
2
)2()1(
)1(3
32
)32(
2
1
x
xd
xx
xxd
Cxxx= 2 1a r c t a n23)32l n (21 2,
解 dxxx x 32 22 dxxxxx x )321332 2221( 22=?
分母是二次质因式的真分式的不定积分首页
32
13
32
2
2
1
32
3)22(21
32
2
2222
=
= xxxx xxx
x
xx
x,
32
13
32
2
2
1
32
3)22(21
32
2
2222
=
= xxxx xx
x
xx
x,
32
13
32
2
2
1
32
3)2(21
32
2
2222
=
= xxxx xxx
x
xx
x,
上页 下页 铃结束返回首页二、可化为有理函数的积分举例三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数,
用于三角函数有理式积分的变量代换
三角函数有理式的积分设 2ta n xu =,则 有下页
222 1
2
2
t a n1
2
t a n2
2
s e c
2
t a n2
2
c o s
2
s in2s in
u
u
x
x
x
x
xxx
=
===,2
22 1
2
2
tan1
2
tan2
2
sec
2
tan2
2
c os
2
sin2sin
u
u
x
x
x
x
xxx
=
==,2
22 1
2
2
ta n1
2
ta n2
2
s e c
2
ta n2
2
c o s
2
s ins in
u
u
x
x
x
x
xxx
=
==,2
22 1
2
2
tan1
2
tan2
2
se
2
t n2
2
c os
2
sin2sin
u
u
x
x
x
x
xxx
=
===,
2
2
2
2
22
1
1
2
s e c
2
t a n1
2
s in
2
c o sc o s
u
u
x
x
xxx
=?=?=,
2
2
2
2
22
1
1
2
s e c
2
ta n1
2
s in
2
c o sc o s
u
u
x
x
xxx
=?=?=,
2
2
2
2
22
1
1
2
sec
2
tan1
2
in
2
c osc os
u
u
x
x
xxx
=?=?=,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
解令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux?=,2211c o s uux=,
例 4
例 4 求 dxxx x )c o s1(s i n s i n1,
解 令 2ta n xu =,则
ux a r c t a n2=,duudx 21 2?=,
=
du
u
u
u
u
u
u
u
dx
xx
x
2
2
2
2
2
1
2
)
1
11(
1
2
)
1
21(
)c o s1(s in
s in1
Cuuuduuu==? |)|ln22(21)12(21 2
ur t a n,duudx 21 2?=,
=
du
u
u
u
u
u
u
u
dx
xx
x
2
2
2
2
2
1
2
)
1
11(
1
2
)
1
2(
)c o s1(s i n
s i n1
Cuuuduuu==? |)|ln22(21)12(21 2
下页上页 下页 铃结束返回首页解令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux?=,2211c o s uux=,
例 4
例 4 求 dxxx x )c o s1(s i n s i n1,
解 令 2ta n xu =,则
=
du
u
u
u
u
u
u
u
dx
xx
x
2
2
2
2
2
1
2
)
1
11(
1
2
)
1
21(
)c o s1(s in
s in1
Cuuuduuu==? |)|ln22(21)12(21 2
=
du
u
u
u
u
u
u
u
dx
x
x
2
2
2
2
2
1
2
)
1
11(
1
2
)
1
21(
)c o s1(s i n
s i n1
Cuuuduuu==? |)|ln22(21)12(21 2
Cxxx= |2ta n|ln212ta n2ta n41 2,
下页上页 下页 铃结束返回首页说明：
并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分,因为这种代换不一定是最简捷的代换,
请看如下积分,
令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux?=,2211c o s uux=,
==? Cxxdxdxxx )s in1ln ()s in1(s in1 1s in1 c o s,==? Cxxdxdxxx )s in1ln ()s in1(s in1 1s in1 c o s,==? Cxxdxdxxx )s in1ln ()s in1(s in1s in1 c o s,
下页上页 下页 铃结束返回首页无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
解
简单无理函数的积分例 5
例 5 求 dxxx 1,
解 设 ux =? 1,即 12?= ux,则
duuuuduu udxxx==? 12211 2 22
Cuuduu==? )a r c ta n(2)1 11(2 2
Cxx= )1a r c t a n1(2,
解 设 ux =? 1,即 12?= ux,则
duu uu d uu udxxx==? 12211 2 22 duu d uu udxxx==? 12211 22
Cuuduu==? )a r c n(2)1 11(2 2
下页上页 下页 铃结束返回首页
duuuduuuxdx== 1 11331 121 223
解无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
简单无理函数的积分例 6
例 6 求 3 21 xdx,
Cuuuduuu==? |)1|ln2(3)1 11(3 2
Cxxx= |21|ln23)2(23 333 2,
Cuuuduuu==? |)1|ln2(3)1 11(3 2
下页
ux =?3 2设,即 x=u
3?2,则
duuuduuuxdx== 1 11331 121 223 duuuduuxdx==? 1 11321 223
上页 下页 铃结束返回首页解无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
简单无理函数的积分例 7
例 7 求 xxdx )1( 3,
设 x=t6,于是 dx=6t5dt,从而
dtttdttttxxdx=?=? 223253 16)1( 6)1(
Cttdtt==? )a r c ta n(6)1 11(6 2
Cxx= )a r c ta n(6 66,
dtttdttttxxdx=?=? 223253 16)1( 6)1( dttdttttxdx=?=? 3253 16)1( 6)1(
Cttdtt==? )r c ta n(6)1 11(6 2
下页上页 下页 铃结束返回首页解无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
简单无理函数的积分例 8
例 8 求 dxx xx 11,
解 设 tx x =?1,即 112?= tx,于是 解 设 tx x =?1,即 112?= tx,于是 解 设 txx=?1,即 112?=tx,于是
dtt tdtt tttdxx xx==? 12)1( 2)1(11 2 2222
Ctttdtt==? |11|ln2)111(2 2
Cxx xxx x= 11ln12,
dtt tdtt tttdxxx==? 12)1( 2)1(11 2 2222 dtt tdtt tttdxx xx==? 12)1( 2)1(1 2 222
Ctttdtt==? |11|ln2)111(2 2
结束
有理函数的形式当 n<m时,称这有理函数是真分式 ; 而当 n?m时,称这有理函数是假分式,
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数,
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式,
例如
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
=
1
1
10
1
1
10
)(
)(,
下页
1
1
1
1)1(
1
1
22
2
2
3
=?
=
xxx
xx
x
xx,
1
1
1
1)1(
1
1
22
2
2
3
=?
=
xxx
xx
x
xx,
1
1
1
1)(
1
1
22
2
2
3
=?
=
xxx
xx
x
x,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
= dxxdxx 2536 = 6 ln |x? 3|? 5 ln |x? 2|? C,
求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分,
解例 1
例 1 求 dxxx x 65 32,
解 dxxx x 65 32= dxxx x )3)(2( 3= dxxx )2536( 解 dxxx x 65 32= dxxx )3)(2( 3= dxxx )2536( 解 dxxx x 65 32= dxxx x )3)(2( 3= dxxx )536(
分母可因式分解的真分式的不定积分下页
= dxxdxx 2536 = 6 ln |x? 3|? 5 ln |x 2|? C,
A?B=1,?2A?3B=3,
)3)(2(
)32()(
23)3)(2(
3
=
=
xx
BAxBA
x
B
x
A
xx
x,
A=6,B=?5.
)3)(2(
)32()(
23)3)(2(
3
=
=
xx
BAxBA
x
B
x
A
xx
x,
)3)(2(
)32()(
23)3)(2(
3
=
=
xx
BAxBAB
x
A
xx
x,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
解例 2
例 3 求 dxxx 2)1( 1,
解=? dxxxxdxxx ])1( 1111[)1( 1 22 解=? dxxxxdxxx ])1( 111[)1( 1 22
下页求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分,
分母可因式分解的真分式的不定积分
222 )1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
=?
=
xxxxx
xx
xx
22 )1(
1
1
11
)1(
1
)1(
1
=
=
xxxxxx
xx,
= dxxdxxdxx 2)1( 1111 Cxxx= 11|1|ln||ln,= dxxdxxdxx 2)1( 1111 Cxxx= 11|1|ln||ln,
222 )1(
1
)1()1(
1
)1(
1
=?
=
xxxxx
xx
xx 222 )1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
=
xxxxx
x
xx
22 )1(
1
1
11
)1(
1
)1(
1
=
=
xxxxxx
xx,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
解例 3
例 2 求 dxxx x 32 22,
解 dxxx x 32 22 dxxxxx x )321332 2221( 22=?
dxxxdxxx x= 321332 2221 22
= 222
2
)2()1(
)1(3
32
)32(
2
1
x
xd
xx
xxd
Cxxx= 2 1a r c t a n23)32l n (21 2,
解 dxxx x 32 22 dxxxxx x )321332 2221( 22=?
分母是二次质因式的真分式的不定积分首页
32
13
32
2
2
1
32
3)22(21
32
2
2222
=
= xxxx xxx
x
xx
x,
32
13
32
2
2
1
32
3)22(21
32
2
2222
=
= xxxx xx
x
xx
x,
32
13
32
2
2
1
32
3)2(21
32
2
2222
=
= xxxx xxx
x
xx
x,
上页 下页 铃结束返回首页二、可化为有理函数的积分举例三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数,
用于三角函数有理式积分的变量代换
三角函数有理式的积分设 2ta n xu =,则 有下页
222 1
2
2
t a n1
2
t a n2
2
s e c
2
t a n2
2
c o s
2
s in2s in
u
u
x
x
x
x
xxx
=
===,2
22 1
2
2
tan1
2
tan2
2
sec
2
tan2
2
c os
2
sin2sin
u
u
x
x
x
x
xxx
=
==,2
22 1
2
2
ta n1
2
ta n2
2
s e c
2
ta n2
2
c o s
2
s ins in
u
u
x
x
x
x
xxx
=
==,2
22 1
2
2
tan1
2
tan2
2
se
2
t n2
2
c os
2
sin2sin
u
u
x
x
x
x
xxx
=
===,
2
2
2
2
22
1
1
2
s e c
2
t a n1
2
s in
2
c o sc o s
u
u
x
x
xxx
=?=?=,
2
2
2
2
22
1
1
2
s e c
2
ta n1
2
s in
2
c o sc o s
u
u
x
x
xxx
=?=?=,
2
2
2
2
22
1
1
2
sec
2
tan1
2
in
2
c osc os
u
u
x
x
xxx
=?=?=,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
解令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux?=,2211c o s uux=,
例 4
例 4 求 dxxx x )c o s1(s i n s i n1,
解 令 2ta n xu =,则
ux a r c t a n2=,duudx 21 2?=,
=
du
u
u
u
u
u
u
u
dx
xx
x
2
2
2
2
2
1
2
)
1
11(
1
2
)
1
21(
)c o s1(s in
s in1
Cuuuduuu==? |)|ln22(21)12(21 2
ur t a n,duudx 21 2?=,
=
du
u
u
u
u
u
u
u
dx
xx
x
2
2
2
2
2
1
2
)
1
11(
1
2
)
1
2(
)c o s1(s i n
s i n1
Cuuuduuu==? |)|ln22(21)12(21 2
下页上页 下页 铃结束返回首页解令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux?=,2211c o s uux=,
例 4
例 4 求 dxxx x )c o s1(s i n s i n1,
解 令 2ta n xu =,则
=
du
u
u
u
u
u
u
u
dx
xx
x
2
2
2
2
2
1
2
)
1
11(
1
2
)
1
21(
)c o s1(s in
s in1
Cuuuduuu==? |)|ln22(21)12(21 2
=
du
u
u
u
u
u
u
u
dx
x
x
2
2
2
2
2
1
2
)
1
11(
1
2
)
1
21(
)c o s1(s i n
s i n1
Cuuuduuu==? |)|ln22(21)12(21 2
Cxxx= |2ta n|ln212ta n2ta n41 2,
下页上页 下页 铃结束返回首页说明：
并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分,因为这种代换不一定是最简捷的代换,
请看如下积分,
令 2ta n xu =,则 21 2s i n uux?=,2211c o s uux=,
==? Cxxdxdxxx )s in1ln ()s in1(s in1 1s in1 c o s,==? Cxxdxdxxx )s in1ln ()s in1(s in1 1s in1 c o s,==? Cxxdxdxxx )s in1ln ()s in1(s in1s in1 c o s,
下页上页 下页 铃结束返回首页无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
解
简单无理函数的积分例 5
例 5 求 dxxx 1,
解 设 ux =? 1,即 12?= ux,则
duuuuduu udxxx==? 12211 2 22
Cuuduu==? )a r c ta n(2)1 11(2 2
Cxx= )1a r c t a n1(2,
解 设 ux =? 1,即 12?= ux,则
duu uu d uu udxxx==? 12211 2 22 duu d uu udxxx==? 12211 22
Cuuduu==? )a r c n(2)1 11(2 2
下页上页 下页 铃结束返回首页
duuuduuuxdx== 1 11331 121 223
解无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
简单无理函数的积分例 6
例 6 求 3 21 xdx,
Cuuuduuu==? |)1|ln2(3)1 11(3 2
Cxxx= |21|ln23)2(23 333 2,
Cuuuduuu==? |)1|ln2(3)1 11(3 2
下页
ux =?3 2设,即 x=u
3?2,则
duuuduuuxdx== 1 11331 121 223 duuuduuxdx==? 1 11321 223
上页 下页 铃结束返回首页解无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
简单无理函数的积分例 7
例 7 求 xxdx )1( 3,
设 x=t6,于是 dx=6t5dt,从而
dtttdttttxxdx=?=? 223253 16)1( 6)1(
Cttdtt==? )a r c ta n(6)1 11(6 2
Cxx= )a r c ta n(6 66,
dtttdttttxxdx=?=? 223253 16)1( 6)1( dttdttttxdx=?=? 3253 16)1( 6)1(
Cttdtt==? )r c ta n(6)1 11(6 2
下页上页 下页 铃结束返回首页解无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去,
简单无理函数的积分例 8
例 8 求 dxx xx 11,
解 设 tx x =?1,即 112?= tx,于是 解 设 tx x =?1,即 112?= tx,于是 解 设 txx=?1,即 112?=tx,于是
dtt tdtt tttdxx xx==? 12)1( 2)1(11 2 2222
Ctttdtt==? |11|ln2)111(2 2
Cxx xxx x= 11ln12,
dtt tdtt tttdxxx==? 12)1( 2)1(11 2 2222 dtt tdtt tttdxx xx==? 12)1( 2)1(1 2 222
Ctttdtt==? |11|ln2)111(2 2
结束
