§ 3.5 函数的极值与最大值最小值上页 下页 铃结束返回首页一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题上页 下页 铃结束返回首页提问：
f(a)和 f(b)是极值吗？
函数的极值下页一、函数的极值及其求法设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义? 如果对于任意
x?U(x0)有
f(x)?f(x0) (或 f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 (或极小值 )?
。
x1 x2 x3 x4 x5
函数的极大值与极小值统称为函数的极值?使函数取得极值的点称为极值点?
观察与思考：
观察极值与切线的关系?
上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)在点 x0处可导? 且在 x0处取得极值?
那么 f?(x0)?0?
驻点使导数 f?(x)为零的点 (方程 f?(x)?0的实根 )称为函数
f(x)的驻点?
定理 1(必要条件 )
下页
>>>
讨论：
极值点是否一定是驻点？
驻点是否一定是极值点？
考察 x?0是否是函数 y?x3的驻点? 是否 是函数的极值点?
x1 x2 x3 x4 x5
上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)在点 x0处可导? 且在 x0处取得极值?
那么 f?(x0)?0?
驻点使导数 f?(x)为零的点 (方程 f?(x)?0的实根 )称为函数
f(x)的驻点?
定理 1(必要条件 )
下页观察与思考：
(1)观察曲线的升降与极值之间的关系?
(2)观察曲线的凹凸性与极值之间的关系?
x1 x2 x3 x4 x5
上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)在 x0处连续?且在 (a? x0)?(x0?b)内可导?
(1)如果在 (a? x0)内 f?(x)?0? 在 (x0? b)内 f?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极大值?
(2)如果在 (a? x0)内 f?(x)?0? 在 (x0? b)内 f?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极小值?
(3)如果在 (a? x0)及 (x0? b)内 f?(x)的符号相同? 那么函数 f(x)
在 x0处没有极值?
下页
定理 2(第一充分条件 )
x1 x2 x3 x4 x5
上页 下页 铃结束返回首页
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数 f?(x)?
(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点?
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近 f?(x)的符号?
(4)确定出函数的所有极值点和极值?
下页设函数 f(x)在 x0处连续?且在 (a? x0)?(x0?b)内可导?
(1)如果在 (a? x0)内 f?(x)?0? 在 (x0? b)内 f?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极大值?
(2)如果在 (a? x0)内 f?(x)?0? 在 (x0? b)内 f?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极小值?
(3)如果在 (a? x0)及 (x0? b)内 f?(x)的符号相同? 那么函数 f(x)
在 x0处没有极值?
定理 2(第一充分条件 )
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 1 求函数 3 2)1()4()( xxxf 的极值?
例 1
(1)f(x)在 ()内连续?除 x1外处处可导?且解
3 13
)1(5)(
x
xxf?
(3)列表判断
x1为 f(x)的不可导点?得驻点 x?1?(2)令 f?(x)?0?
343?
(1)?1 (?1?1) 1 (1)
不可导? 0?
x
f?(x)
f(x) ↗ 0 ↘ ↗
3 43?
( 4 ) 极大值为 f (? 1)? 0? 极小值为 3 43)1(f?
上页 下页 铃结束返回首页
定理 3(第二充分条件 )
设函数 f(x)在点 x0处具有二阶导数且 f?(x0)?0? f(x0)?0?
那么
(1)当 f(x0)?0时? 函数 f(x)在 x0处取得极大值?
(2)当 f(x0)?0时? 函数 f(x)在 x0处取得极小值?
应注意的问题：
如果 f?(x0)?0?f(x0)?0? 则定理 3不能应用? 但不能由此说明 f (x0)不是 f (x)的 极值。
讨论：
函数 f(x)?x4? g(x)?x3在点 x?0是否有极值？
下页
>>>
>>>
上页 下页 铃结束返回首页例 2 求函数 f(x)?(x2?1)3?1的极值?
解 f?(x)?6x(x2?1)2?
令 f?(x)?0? 求得驻点 x11? x2?0? x3?1?
f(x)?6(x2?1)(5x2?1)?
因为 f(0)?6?0? 所以 f (x)在 x?0处取得极小值?
极小值为 f(0)?0?
因为 f(?1)?f(1)?0? 所以用定理 3无法判别?
因为在?1的左右邻域内 f?(x)?0?
所以 f(x)在?1处没有极值?
同理? f(x)在 1处也没有极值?
首页上页 下页 铃结束返回首页二、最大值最小值问题观察与思考：
观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点?
怎样求函数的最大值和最小值?
x1 x2 x3 x4 x5
M
m
下页上页 下页 铃结束返回首页闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得?
函数在闭区间 [a? b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者? 其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者?
极值与最值的关系下页
x1 x2 x3 x4 x5
M
m
上页 下页 铃结束返回首页
最大值和最小值的求法
(1)求出函数 f(x)在 (a?b)内的驻点和不可导点?设这此点为 x1? x2 xn?
(2)计算函数值 f(a)? f(x1) f(xn)? f(b)?
(3)判断,最大者是函数 f(x)在 [a?b]上的最大值?最小者是函数 f(x)在 [a?b]上的最小值?
下页
x1 x2 x3 x4 x5
M
m
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 3 求函数 f(x)?|x2?3x?2|在 [?3?4]上的最大值与最小值?
解 )2,1( 23 ]4,2[]1,3[ 23)( 22 xxx xxxxf?
解
)2,1( 32
)4,2()1,3( 32)(
xx
xxxf?
在 (? 3? 4) 内? f ( x ) 的驻点为 23?x? 不可导点为 x? 1 和 x? 2? 在 (? 3? 4) 内? f ( x ) 的驻点为 23?x? 不可导点为 x? 1 和 x? 2?
由于 f (? 3)? 20? f ( 1 )? 0? 41)23(?f? f ( 2 )? 0? f ( 4 )? 6?
比较可得 f(?3)?20是 f(x)在 [?3?4]上的最大值?f(1)?f(2)?0是 f(x)
在 [?3?4]上的最小值?
上页 下页 铃结束返回首页例 4 工厂 C与铁路线的垂直距离 AC为 20km?A点到 火车站
B的距离为 100km?欲修一条从工厂到铁路的公路 CD?已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5?为了使火车站 B与工厂 C间的运费最省?问 D点应选在何处？
D
C
20km
A B100km
解
x
2400 xCD
下页设 AD?x(km)?
y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数 )?
即 )100(34005 2 xkxky (0? x? 100)?
B与 C间的运费为 y?则
DB?100?x
上页 下页 铃结束返回首页由 )34 0 05( 2 xxky? 0? 得 x? 15?
其中以 y|x?15?380k为最小? 因此当 AD?15km时?运费最省?
下页由于 y|x?0?400k? y|x?15?380k?
21 0 0 5
115 0 0|
ky x?
例 4 工厂 C与铁路线的垂直距离 AC为 20km?A点到 火车站
B的距离为 100km?欲修一条从工厂到铁路的公路 CD?已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5?为了使火车站 B与工厂 C间的运费最省?问 D点应选在何处？
由 )34 0 05( 2 xxky?0? 得 x?15?
y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数 )?
即 )100(34005 2 xkxky (0? x? 100)?
解 设 AD?x(km)? B与 C间的运费为 y?则上页 下页 铃结束返回首页
特殊情况下的最大值与最小值如果 f(x)在一个区间 (有限或无限? 开或闭 )内可导且只有一个驻点 x0?那么当 f(x0)是极大值时?f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值?
当 f(x0)是极小值时?f(x0)就是 f(x)在该区间上的最小值?
下页说明上页 下页 铃结束返回首页解结束
261 bhW? )(61 22 bdb ( 0 < b < d )? 261 bhW? )(61 22 bdb ( 0 < b < d )?
由 0)3(61 22 bdW? 得 函数 的 唯 一 驻 点 db 310 由 0)3(61 22 bdW? 得 函数 的 唯 一 驻 点 db 310
所以当 db 31? 时? 抗弯截面模量 W 最大? 这时 dh 32 所以当 db 31? 时? 抗弯截面模量 W 最大? 这时 dh 32
把 W表示成 b的函数,
函数在唯一驻点 b0处一定取得最大值?由 Wb?0知?
例 5 把直径为 d的圆木锯成截面为矩形的梁?问矩形截面的高 h和宽 b应如何选择才
261 bhW?
能使梁的抗弯截面模量 W( )最大?
f(a)和 f(b)是极值吗？
函数的极值下页一、函数的极值及其求法设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义? 如果对于任意
x?U(x0)有
f(x)?f(x0) (或 f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 (或极小值 )?
。
x1 x2 x3 x4 x5
函数的极大值与极小值统称为函数的极值?使函数取得极值的点称为极值点?
观察与思考：
观察极值与切线的关系?
上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)在点 x0处可导? 且在 x0处取得极值?
那么 f?(x0)?0?
驻点使导数 f?(x)为零的点 (方程 f?(x)?0的实根 )称为函数
f(x)的驻点?
定理 1(必要条件 )
下页
>>>
讨论：
极值点是否一定是驻点？
驻点是否一定是极值点？
考察 x?0是否是函数 y?x3的驻点? 是否 是函数的极值点?
x1 x2 x3 x4 x5
上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)在点 x0处可导? 且在 x0处取得极值?
那么 f?(x0)?0?
驻点使导数 f?(x)为零的点 (方程 f?(x)?0的实根 )称为函数
f(x)的驻点?
定理 1(必要条件 )
下页观察与思考：
(1)观察曲线的升降与极值之间的关系?
(2)观察曲线的凹凸性与极值之间的关系?
x1 x2 x3 x4 x5
上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)在 x0处连续?且在 (a? x0)?(x0?b)内可导?
(1)如果在 (a? x0)内 f?(x)?0? 在 (x0? b)内 f?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极大值?
(2)如果在 (a? x0)内 f?(x)?0? 在 (x0? b)内 f?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极小值?
(3)如果在 (a? x0)及 (x0? b)内 f?(x)的符号相同? 那么函数 f(x)
在 x0处没有极值?
下页
定理 2(第一充分条件 )
x1 x2 x3 x4 x5
上页 下页 铃结束返回首页
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数 f?(x)?
(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点?
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近 f?(x)的符号?
(4)确定出函数的所有极值点和极值?
下页设函数 f(x)在 x0处连续?且在 (a? x0)?(x0?b)内可导?
(1)如果在 (a? x0)内 f?(x)?0? 在 (x0? b)内 f?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极大值?
(2)如果在 (a? x0)内 f?(x)?0? 在 (x0? b)内 f?(x)?0? 那么函数 f(x)
在 x0处取得极小值?
(3)如果在 (a? x0)及 (x0? b)内 f?(x)的符号相同? 那么函数 f(x)
在 x0处没有极值?
定理 2(第一充分条件 )
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 1 求函数 3 2)1()4()( xxxf 的极值?
例 1
(1)f(x)在 ()内连续?除 x1外处处可导?且解
3 13
)1(5)(
x
xxf?
(3)列表判断
x1为 f(x)的不可导点?得驻点 x?1?(2)令 f?(x)?0?
343?
(1)?1 (?1?1) 1 (1)
不可导? 0?
x
f?(x)
f(x) ↗ 0 ↘ ↗
3 43?
( 4 ) 极大值为 f (? 1)? 0? 极小值为 3 43)1(f?
上页 下页 铃结束返回首页
定理 3(第二充分条件 )
设函数 f(x)在点 x0处具有二阶导数且 f?(x0)?0? f(x0)?0?
那么
(1)当 f(x0)?0时? 函数 f(x)在 x0处取得极大值?
(2)当 f(x0)?0时? 函数 f(x)在 x0处取得极小值?
应注意的问题：
如果 f?(x0)?0?f(x0)?0? 则定理 3不能应用? 但不能由此说明 f (x0)不是 f (x)的 极值。
讨论：
函数 f(x)?x4? g(x)?x3在点 x?0是否有极值？
下页
>>>
>>>
上页 下页 铃结束返回首页例 2 求函数 f(x)?(x2?1)3?1的极值?
解 f?(x)?6x(x2?1)2?
令 f?(x)?0? 求得驻点 x11? x2?0? x3?1?
f(x)?6(x2?1)(5x2?1)?
因为 f(0)?6?0? 所以 f (x)在 x?0处取得极小值?
极小值为 f(0)?0?
因为 f(?1)?f(1)?0? 所以用定理 3无法判别?
因为在?1的左右邻域内 f?(x)?0?
所以 f(x)在?1处没有极值?
同理? f(x)在 1处也没有极值?
首页上页 下页 铃结束返回首页二、最大值最小值问题观察与思考：
观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点?
怎样求函数的最大值和最小值?
x1 x2 x3 x4 x5
M
m
下页上页 下页 铃结束返回首页闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得?
函数在闭区间 [a? b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者? 其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者?
极值与最值的关系下页
x1 x2 x3 x4 x5
M
m
上页 下页 铃结束返回首页
最大值和最小值的求法
(1)求出函数 f(x)在 (a?b)内的驻点和不可导点?设这此点为 x1? x2 xn?
(2)计算函数值 f(a)? f(x1) f(xn)? f(b)?
(3)判断,最大者是函数 f(x)在 [a?b]上的最大值?最小者是函数 f(x)在 [a?b]上的最小值?
下页
x1 x2 x3 x4 x5
M
m
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 3 求函数 f(x)?|x2?3x?2|在 [?3?4]上的最大值与最小值?
解 )2,1( 23 ]4,2[]1,3[ 23)( 22 xxx xxxxf?
解
)2,1( 32
)4,2()1,3( 32)(
xx
xxxf?
在 (? 3? 4) 内? f ( x ) 的驻点为 23?x? 不可导点为 x? 1 和 x? 2? 在 (? 3? 4) 内? f ( x ) 的驻点为 23?x? 不可导点为 x? 1 和 x? 2?
由于 f (? 3)? 20? f ( 1 )? 0? 41)23(?f? f ( 2 )? 0? f ( 4 )? 6?
比较可得 f(?3)?20是 f(x)在 [?3?4]上的最大值?f(1)?f(2)?0是 f(x)
在 [?3?4]上的最小值?
上页 下页 铃结束返回首页例 4 工厂 C与铁路线的垂直距离 AC为 20km?A点到 火车站
B的距离为 100km?欲修一条从工厂到铁路的公路 CD?已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5?为了使火车站 B与工厂 C间的运费最省?问 D点应选在何处？
D
C
20km
A B100km
解
x
2400 xCD
下页设 AD?x(km)?
y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数 )?
即 )100(34005 2 xkxky (0? x? 100)?
B与 C间的运费为 y?则
DB?100?x
上页 下页 铃结束返回首页由 )34 0 05( 2 xxky? 0? 得 x? 15?
其中以 y|x?15?380k为最小? 因此当 AD?15km时?运费最省?
下页由于 y|x?0?400k? y|x?15?380k?
21 0 0 5
115 0 0|
ky x?
例 4 工厂 C与铁路线的垂直距离 AC为 20km?A点到 火车站
B的距离为 100km?欲修一条从工厂到铁路的公路 CD?已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5?为了使火车站 B与工厂 C间的运费最省?问 D点应选在何处？
由 )34 0 05( 2 xxky?0? 得 x?15?
y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数 )?
即 )100(34005 2 xkxky (0? x? 100)?
解 设 AD?x(km)? B与 C间的运费为 y?则上页 下页 铃结束返回首页
特殊情况下的最大值与最小值如果 f(x)在一个区间 (有限或无限? 开或闭 )内可导且只有一个驻点 x0?那么当 f(x0)是极大值时?f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值?
当 f(x0)是极小值时?f(x0)就是 f(x)在该区间上的最小值?
下页说明上页 下页 铃结束返回首页解结束
261 bhW? )(61 22 bdb ( 0 < b < d )? 261 bhW? )(61 22 bdb ( 0 < b < d )?
由 0)3(61 22 bdW? 得 函数 的 唯 一 驻 点 db 310 由 0)3(61 22 bdW? 得 函数 的 唯 一 驻 点 db 310
所以当 db 31? 时? 抗弯截面模量 W 最大? 这时 dh 32 所以当 db 31? 时? 抗弯截面模量 W 最大? 这时 dh 32
把 W表示成 b的函数,
函数在唯一驻点 b0处一定取得最大值?由 Wb?0知?
例 5 把直径为 d的圆木锯成截面为矩形的梁?问矩形截面的高 h和宽 b应如何选择才
261 bhW?
能使梁的抗弯截面模量 W( )最大?
