二、麦克劳林公式一、泰勒公式
§ 3.3 泰勒公式上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、泰勒公式
问题的提出根据函数的微分,有
f(x)=f(x0)+f?(x0)(x-x0)+o(x-x0)(当 |x-x0|很小时 ),
略掉 o(x-x0),得到求 f(x)的近似公式
f(x)?f(x0)+f?(x0)(x-x0)(当 |x-x0|很小时 ),
其误差为
R(x)=f(x)-f(x0)-f?(x0)(x-x0).
近似公式的不足,精确度不高,误差难于估计,
为了达到一定的精确度要求,可考虑用 n次多项式
Pn(x)来近似表达 f(x).
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)在含 x0的开区间内具有直到 (n+1)阶导数,
我们希望找出一个关于 (x-x0)的 n次多项式
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2++an(x-x0)n
来近似表达 f(x),我们自然希望 Pn(x)与 f(x)在 x0的各阶导数
(直到 (n+1)阶导数 )相等,
f(x0)=Pn(x0),f?(x0)=Pn?(x0),
f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),
,
f (n)(x0)=Pn(n)(x0).
多项式 Pn(x)的确定下页上页 下页 铃结束返回首页
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2++ an (x-x0)n,?(x)= a1+2a2( -x0) ++nan (x-x0)n-1,(x)=2a2 +3?2a3(x-x0) ++n(n-1)an (x-x0)n-2,(x)=3! 3+4?3?2a4( -x0) +? +n(n-1)(n-2)an (x-x0)n-3,(n) n!an.
多项式系数的确定
=a0,a0 =f(x0),
=a1,a1 =f?(x0),
=2!a2,
=3!a3,
,
f(x0)=Pn(x0)
f?(x0)=Pn?(x0)
f(x0)=Pn(x0)
f(x0)=Pn(x0)
f (n)(x0)=Pn(n)(x0) =n!an.
,
)(!21 02 xfa=,
)(!31 03 xfa=,
)(!1 0)( xfna nn =,
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Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2++an(x-x0)n
于是所求多项式为
)(!1 0)( xfka kk = ( k = 0,1,2,,n ),
=f(x0)+ f?(x0)(x-x0) (x-x0)2
)(!21 0xf+
)(!1 0)( xfn n+
+ (x-x0) n.
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多项式系数的确定上页 下页 铃结束返回首页
泰勒中值定理如果函数 f(x)在含有 x0的某个开区间 (a,b)内具有直到
(n+1)的阶导数,则对任一 x?(a,b),有展开式称为 f(x)按 (x-x0)的幂展开的 n阶 泰勒公式,
而 Rn(x)的表达式称为 拉格朗日型余项,
200000 ))((!21))(()()( xxxfxxxfxfxf -+-?+=
+ )())((!1 00)( xRxxxfn nnn +-+,
其中 10)1( )()!1( )()( ++ -+= nnn xxnfxR? (? 介 于 x 0 与 x 之间 ),
其中 (? 介于 x0与 x之间 ).
下页上页 下页 铃结束返回首页如果在区间 (a,b)内,对于某个固定的 n,|f (n+1)(x)|总不超过一个常数 M,则有估计式,
可见,当 x?x0时,误差 |Rn(x)|是比 (x-x0)n高阶的无穷小,即
Rn(x)=o[(x-x0)n].
误差估计及 0)(l i m
0
)(
0
=-
n
xn
xx xx
R,
1010
)1(
||)!1( |)()!1( )(| |)(| ++
+
-+?-+= nn
n
n xxn
Mxx
n
fxR?,1
010
)1(
||)!1( |)()!1( )(| |)(| ++
+
-+?-+= nn
n
n xxn
Mxx
n
fxR?,
下页上页 下页 铃结束返回首页
Rn(x)=o[(x-x0)n].
在不需要精确表达余项时,n阶泰勒公式也可写成
200000 ))((!21))(()()( xxxfxxxfxfxf -+-?+=
+ ])[())((!1 000)( nnn xxoxxxfn -+-+,
首页如果在区间 (a,b)内,对于某个固定的 n,|f (n+1)(x)|总不超过一个常数 M,则有估计式,
误差估计
1010
)1(
||)!1( |)()!1( )(| |)(| ++
+
-+?-+= nn
n
n xxn
Mxx
n
fxR?,1
010
)1(
||)!1( |)()!1( )(| |)(| ++
+
-+?-+= nn
n
n xxn
Mxx
n
fxR?,
上页 下页 铃结束返回首页二、麦克劳林公式
麦克劳林公式当 x0=0时,泰勒公式及其余项将变成什么形式？
200000 ))((!21))(()()( xxxfxxxfxfxf -+-?+=
+ )())((!1 00)( xRxxxfn nnn +-+,
10)1( )(
)!1(
)()( ++ -
+=
nnn xx
n
fxR?
下页提问：
上页 下页 铃结束返回首页当 x0=0时,泰勒公式称为麦克劳林公式,
近似公式其中 1)1( )!1( )()( +++= nnn xnfxR?,
)(! )0( !2 )0()0()0()( )(2 xRxnfxfxffxf nnn ++++?+=,
或 )(! )0( !2 )0()0()0()( )(2 nnn xoxnfxfxffxf ++++?+=,
nn xnfxfxffxf ! )0( !2 )0()0()0()( )(2 +++?+?,
下页二、麦克劳林公式
麦克劳林公式上页 下页 铃结束返回首页例 1 写出函数 f(x)=ex的 n阶麦克劳林公式,
解 因为
f(x)=f?(x)=f(x)==f ( n)(x)=ex,
所以
f(0)=f?(0)=f(0)==f ( n)(0)=1,
)(! )0( !2 )0()0()0()( )(2 xRxnfxfxffxf nnn ++++?+=,
于是 12 )!1(!1 !211 +++++++= nxnx xn exnxxe? ( 0 < ),
并有 nx xnxxe !1 !211 2 ++++?,
当 x = 1 时,可得 e 的近似式,!1 !2111 ne x ++++?,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2 求 f(x)=sin x的 n阶麦克劳林公式,
解 因为
f(x)= -cos x,f(x)=-sin x,f?(x)=cos x,
f (0)=0,f?(0)=1,f(0)=0,f(0)=-1,
f (4)(0)=0,,
)(! )0( !2 )0()0()0()( )(2 xRxnfxfxffxf nnn ++++?+=,
xxf s i n)()4( =,,)2 s i n ()()(+= nxxf n,
于是 )()!12( )1(!51!31s i n 212153 xRxmxxxx mmm +--+++-= --,
下页上页 下页 铃结束返回首页当 m=1,2,3时,函数曲线的比较,
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
3
2
1
0
1
2
s i n ( )x
x
.
1
6
x
3
x
.
1
6
x
3
.
1
12 0
x
5
x
.
1
6
x
3
.
1
12 0
x
5
.
1
50 40
x
7
x
3
!3
1s in xxx -?,
53
!5
1
!3
1s in xxxx +-? 。 sin x?x，
结束