§ 3.4 函数的单调性与曲线的 凹凸性上页 下页 铃结束返回首页一、函数单调性的判定法二、曲线的 凹凸性 与拐点上页 下页 铃结束返回首页一、函数单调性的判定法函数 y?f(x)的图象有时上升,有时下降,如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？
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f?(x)?0 f?(x)?0
观察结果函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数小于零,
观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系？
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定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加?
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
由拉格朗日中值公式,有
f(x2)?f(x1)?f?(x)(x2?x1) (x1<x<x2).
因为 f?(x)>0,x2?x1>0,所以
f(x2)?f(x1)?f?(x)(x2?x1)>0,
即 f(x1)<f(x2),
这就证明了函数 f(x)在 (a,b)内单调增加,
证明 只证 (1),在 (a,b)内任取两点 x1,x2(x1<x2),
下页上页 下页 铃结束返回首页说明：
判定法中的开区间可换成其他各种区间,
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定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加?
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
上页 下页 铃结束返回首页例 1 判定函数 y?x?sin x 在 [0,2p]上的单调性,
解 因为在 (0,2p)内
y1?cos x >0,
所以函数 y?x?sin x 在 [0,2p]上的单调增加,
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定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加?
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
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定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加?
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
因为在 (,0)内 y?<0,所以函数 y?ex?x?1在 (,0]上单调减少?
因为在 (0,)内 y?>0,所以函数 y?ex?x?1在 [0,)上单调增加,
解 函数 y?ex?x?1的定义域为 (,?).
yex?1.
例 2 讨论函数 y?ex?x?1的单调性,
下页上页 下页 铃结束返回首页解 函数的定义域为 (,).
所以函数在 [0,)上单调增加,因为 x>0时,y?>0,
所以函数在 (,0] 上单调减少?因为 x<0时,y?<0,
例 3
例 3,讨论函数 3 2xy? 的单调性,
33 2 xy ( x? 0),函数在 x? 0 处不可导,
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1.设函数 y?f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,x1,x2
是 f?(x)的两个相邻的零点,问 f(x)在 [x1,x2]上是否单调？
2,如何把区间 [a,b]划分成一些小区间,使函数 f(x)
在每个小区间上都是单调的？
讨论下页
(1)确定函数的定义域?
(2)求出导数 f?(x)?
(3)求出 f?(x)全部零点和不可导点?
(4)判断或列表判断?
(5)综合结论,
确定函数单调区间的步骤上页 下页 铃结束返回首页
x
f?(x)
f (x)
例 4 确定函数 f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间,
解 这个函数的定义域为 (,).
f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2),
导数为零的点为 x1?1,x2?2.
列表分析?
函数 f(x)在区间 (,1]和 [2,)内单调增加,在区间 [1,2]上单调减少,
(,1) (1,2) (2,)
↗ ↘ ↗
＋ － ＋
y?2x3?9x2?12x?3
下页上页 下页 铃结束返回首页说明：
一般地,如果 f?(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正 (或负 )时,那么 f(x)在该区间上仍旧是单调增加 (或减少 )的,
例 5 讨论函数 y?x3的单调性,
解 函数的定义域为 (,).
y3x2,
显然 当 x?0时,y0? 当 x?0时,y?>0.
因此函数 y?x3在区间 (,0]及 [0,)内都是单调增加的,从而函数在整个定义域 (,)内是单调增加的,
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)1(111)( 22 xxxxxxf,
证明? 令 )13(2)( xxxf,则因为当 x?1时,f?(x)?0,所以 f(x)在 [1,)上 f(x)单调增加,
例 6,证明? 当 x? 1 时,xx 132,
例 6
证明
0)13(2 xx,
也就是 xx 132 ( x? 1),
因此当 x?1时,f(x)?f(1)?0,即首页上页 下页 铃结束返回首页二、曲线的 凹凸性 与拐点函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,
如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？
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曲 线 的 凹凸性 定义设 f(x)在区间 I上连续,如果对 I上任意两点 x1,x2,恒有那么称 f(x)在 I上的图形是凹的?
那么称 f(x)在 I上的图形是凸的,
如果恒有下页
2
)()()
2(
2121 xfxfxxf,
2
)()()
2(
2121 xfxfxxf,
观察与思考观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系,
动画演示
>>>
上页 下页 铃结束返回首页解? xy 1,21xy,
定理 2(曲线凹凸性的判定法 )
设 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,
若在 (a,b)内 f(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的?
若在 (a,b)内 f(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的,
定理证明例 7 判断曲线 y?ln x 的凹凸性,
因为在函数 y?ln x 的定义域 (0,)内,y0,
所以曲线 y?ln x是凸的,
解解? xy 1,21xy,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 8 判断曲线 y?x3的凹凸性,
解 y3x 2,y6x.
由 y0,得 x?0.
因为当 x?0时,y0,所以曲线在 (,0]内是凸的?
因为当 x?0时,y0,所以曲线在 [0,)内是凹的,
设 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,
若在 (a,b)内 f(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的?
若在 (a,b)内 f(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的,
下页
定理 2(曲线凹凸性的判定法 )
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拐点连续曲线 y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,
拐点
讨论如何确定曲线 y?f(x)的拐点？
如果 (x0,f(x0))是拐点且 f(x0)?0存在,问 f(x0)?？
如何找可能的拐点？
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提示如果在 x0的左右两侧 f(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
在 拐点 (x0,f(x0))处 f(x0)?0或 f(x0)不存在,
只有 f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
下页
拐点连续曲线 y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,
讨论如何确定曲线 y?f(x)的拐点？
如果 (x0,f(x0))是拐点且 f(x0)存在,问 f(x0)?？
如何找可能的拐点？
上页 下页 铃结束返回首页例 9 求曲线 y?2x3?3x2?2x?14的拐点,
解 y?6x2?6x?12,
只有 f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
如果在 x0的左右两侧 f(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
)21(12612 xxy,
令 y 0,得 21x,
因为当 21x 时,y 0? 当 21x 时,y 0,因为当 21x 时,y 0? 当 21x 时, 0,
所以点 ( 21?,2120 ) 是曲线的拐点,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 10 求曲线 y?3x4?4x3?1的拐点及凹,凸的区间,
解 (1)函数 y?3x4?4x3?1的定义域为 (,)?
(4)列表判断?
在区间 (,0]和 [2/3,)上曲线是凹的? 在区间 [0,2/3]上曲线是凸的,点 (0,1)和 (2/3,11/27)是曲线的拐点,
(,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,)
＋ － ＋
∪ ∩ ∪
0 0
1 11/27
( 3 ) 解方程 y 0,得 01?x,322?x?
( 2 ) 23 1212 xxy,)32(362436 2 xxxxy?
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( 2 ) 23 1212 xxy,)32(362436 2 xxxxy?
( 3 ) 解方程 y 0,得 01?x,322?x?
f(x)
f (x)
x
只有 f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
如果在 x0的左右两侧 f(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
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3 2 3
1
xy,3 2 9
2
xxy
讨论曲线 y?x4是否有拐点？
提示 y4x 3,y12x 2.
当 x?0时,y>0,在区间 (,)内曲线是凹的,
因此曲线无拐点,
例 6,求曲线 3 xy? 的拐点,
例 11
解二阶导数无零点? 当 x?0时,二阶导数不存在,
因为当 x?0时,y0?当 x?0时,y0,
所以 点 (0,0)曲线的拐点,
结束
3 23
1
xy,3 2 9
2
xxy
只有 f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
如果在 x0的左右两侧 f(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
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f?(x)?0 f?(x)?0
观察结果函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数小于零,
观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系？
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定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加?
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
由拉格朗日中值公式,有
f(x2)?f(x1)?f?(x)(x2?x1) (x1<x<x2).
因为 f?(x)>0,x2?x1>0,所以
f(x2)?f(x1)?f?(x)(x2?x1)>0,
即 f(x1)<f(x2),
这就证明了函数 f(x)在 (a,b)内单调增加,
证明 只证 (1),在 (a,b)内任取两点 x1,x2(x1<x2),
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判定法中的开区间可换成其他各种区间,
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定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加?
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
上页 下页 铃结束返回首页例 1 判定函数 y?x?sin x 在 [0,2p]上的单调性,
解 因为在 (0,2p)内
y1?cos x >0,
所以函数 y?x?sin x 在 [0,2p]上的单调增加,
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定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加?
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
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定理 1(函数单调性的判定法 )
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上单调增加?
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上单调减少,
因为在 (,0)内 y?<0,所以函数 y?ex?x?1在 (,0]上单调减少?
因为在 (0,)内 y?>0,所以函数 y?ex?x?1在 [0,)上单调增加,
解 函数 y?ex?x?1的定义域为 (,?).
yex?1.
例 2 讨论函数 y?ex?x?1的单调性,
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所以函数在 [0,)上单调增加,因为 x>0时,y?>0,
所以函数在 (,0] 上单调减少?因为 x<0时,y?<0,
例 3
例 3,讨论函数 3 2xy? 的单调性,
33 2 xy ( x? 0),函数在 x? 0 处不可导,
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1.设函数 y?f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,x1,x2
是 f?(x)的两个相邻的零点,问 f(x)在 [x1,x2]上是否单调？
2,如何把区间 [a,b]划分成一些小区间,使函数 f(x)
在每个小区间上都是单调的？
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(1)确定函数的定义域?
(2)求出导数 f?(x)?
(3)求出 f?(x)全部零点和不可导点?
(4)判断或列表判断?
(5)综合结论,
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x
f?(x)
f (x)
例 4 确定函数 f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间,
解 这个函数的定义域为 (,).
f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2),
导数为零的点为 x1?1,x2?2.
列表分析?
函数 f(x)在区间 (,1]和 [2,)内单调增加,在区间 [1,2]上单调减少,
(,1) (1,2) (2,)
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y?2x3?9x2?12x?3
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一般地,如果 f?(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正 (或负 )时,那么 f(x)在该区间上仍旧是单调增加 (或减少 )的,
例 5 讨论函数 y?x3的单调性,
解 函数的定义域为 (,).
y3x2,
显然 当 x?0时,y0? 当 x?0时,y?>0.
因此函数 y?x3在区间 (,0]及 [0,)内都是单调增加的,从而函数在整个定义域 (,)内是单调增加的,
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)1(111)( 22 xxxxxxf,
证明? 令 )13(2)( xxxf,则因为当 x?1时,f?(x)?0,所以 f(x)在 [1,)上 f(x)单调增加,
例 6,证明? 当 x? 1 时,xx 132,
例 6
证明
0)13(2 xx,
也就是 xx 132 ( x? 1),
因此当 x?1时,f(x)?f(1)?0,即首页上页 下页 铃结束返回首页二、曲线的 凹凸性 与拐点函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,
如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？
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曲 线 的 凹凸性 定义设 f(x)在区间 I上连续,如果对 I上任意两点 x1,x2,恒有那么称 f(x)在 I上的图形是凹的?
那么称 f(x)在 I上的图形是凸的,
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2
)()()
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2121 xfxfxxf,
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2(
2121 xfxfxxf,
观察与思考观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系,
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定理 2(曲线凹凸性的判定法 )
设 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,
若在 (a,b)内 f(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的?
若在 (a,b)内 f(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的,
定理证明例 7 判断曲线 y?ln x 的凹凸性,
因为在函数 y?ln x 的定义域 (0,)内,y0,
所以曲线 y?ln x是凸的,
解解? xy 1,21xy,
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解 y3x 2,y6x.
由 y0,得 x?0.
因为当 x?0时,y0,所以曲线在 (,0]内是凸的?
因为当 x?0时,y0,所以曲线在 [0,)内是凹的,
设 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,
若在 (a,b)内 f(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的?
若在 (a,b)内 f(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的,
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拐点连续曲线 y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,
拐点
讨论如何确定曲线 y?f(x)的拐点？
如果 (x0,f(x0))是拐点且 f(x0)?0存在,问 f(x0)?？
如何找可能的拐点？
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提示如果在 x0的左右两侧 f(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
在 拐点 (x0,f(x0))处 f(x0)?0或 f(x0)不存在,
只有 f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
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拐点连续曲线 y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,
讨论如何确定曲线 y?f(x)的拐点？
如果 (x0,f(x0))是拐点且 f(x0)存在,问 f(x0)?？
如何找可能的拐点？
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解 y?6x2?6x?12,
只有 f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
如果在 x0的左右两侧 f(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
)21(12612 xxy,
令 y 0,得 21x,
因为当 21x 时,y 0? 当 21x 时,y 0,因为当 21x 时,y 0? 当 21x 时, 0,
所以点 ( 21?,2120 ) 是曲线的拐点,
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解 (1)函数 y?3x4?4x3?1的定义域为 (,)?
(4)列表判断?
在区间 (,0]和 [2/3,)上曲线是凹的? 在区间 [0,2/3]上曲线是凸的,点 (0,1)和 (2/3,11/27)是曲线的拐点,
(,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,)
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∪ ∩ ∪
0 0
1 11/27
( 3 ) 解方程 y 0,得 01?x,322?x?
( 2 ) 23 1212 xxy,)32(362436 2 xxxxy?
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( 2 ) 23 1212 xxy,)32(362436 2 xxxxy?
( 3 ) 解方程 y 0,得 01?x,322?x?
f(x)
f (x)
x
只有 f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
如果在 x0的左右两侧 f(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
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1
xy,3 2 9
2
xxy
讨论曲线 y?x4是否有拐点？
提示 y4x 3,y12x 2.
当 x?0时,y>0,在区间 (,)内曲线是凹的,
因此曲线无拐点,
例 6,求曲线 3 xy? 的拐点,
例 11
解二阶导数无零点? 当 x?0时,二阶导数不存在,
因为当 x?0时,y0?当 x?0时,y0,
所以 点 (0,0)曲线的拐点,
结束
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1
xy,3 2 9
2
xxy
只有 f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点,
如果在 x0的左右两侧 f(x)异号,则 (x0,f(x0))是拐点,
