一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数
§ 2.6 由方程所确定的函数的导数上页 下页 铃结束返回首页三、相关变化率上页 下页 铃结束返回首页一、隐函数的导数
显函数与隐函数形如 y?f(x)的函数称为显函数?
例如? y?sin x? y?ln x?ex 都是显函数?
由方程 F(x? y)?0所确的函数称为隐函数?
把一个隐函数化成显函数? 叫做隐函数的显化?
例如? 方程 x?y3?1?0确定的隐函数为 3 1 xy
下页上页 下页 铃结束返回首页提示,
例 1 求由方程 ey?xy?e?0所确定的隐函数 y的导数?
(ey)(xy)(e)(0)
即 ey?yy?xy0?
隐函数的求导法把方程两边分别对 x求导数? 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出?
一、隐函数的导数方程中每一项对 x求导得解从而 yex yy ( x? e y? 0)?
(xy)y?xy (ey)e y?y
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2 求由方程 y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数 y?f(x)
在 x?0处的导数 y?|x?0?
因为当 x?0时? 从原方程得 y?0? 所以
5y4?y2y1?21x6?0?
把方程两边分别对 x求导数得解法一由此得 25 211 4 6 y xy?
2
1|
25
211|
04
6
0
xx y
xy?
下页上页 下页 铃结束返回首页
5y4?y2y1?21x6?0?
根据原方程? 当 x?0时? y?0? 将其代入上述方程得
2y1?0?
从而 y?|x?0?0?5?
把方程两边分别对 x求导数得解法二下页例 2 求由方程 y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数 y?f(x)
在 x?0处的导数 y?|x?0?
上页 下页 铃结束返回首页解例 3
例 3? 求椭圆 1916 22 yx 在 )323,2( 处的切线方程?
把椭圆方程的两边分别对 x求导? 得所求的切线方程为从而 yxy 169
当 x? 2 时? 323?y? 代入上式得所求切线的斜率
4
3|
2xyk?
)2(4 3323 xy? 即 03843 yx? )2(4 3323 xy? 即 03843 yx?
当 x? 2 时? 323?y? 代入上式得所求切线的斜率 当 x? 2 时? 323?y? 代入上式得所求切线的斜率下页
0928 yyx?
上页 下页 铃结束返回首页解上式两边再对 x求导? 得的二阶导数?
例 4
例 4,求由方程 0s i n21 yyx 所确定的隐函数 y
方程两边对 x求导? 得
0c o s211 dxdyydxdy?
于是 ydxdy c o s2 2
322
2
)cos2(
sin4
)cos2(
sin2
y
y
y
dx
dyy
dx
yd
322
2
)c o s2(
s in4
)c o s2(
s in2
y
y
y
dx
dyy
dx
yd
322
2
)c o s2(
s in4
)c o s2(
s in2
y
y
y
dx
dyy
dx
yd
下页上页 下页 铃结束返回首页
y f(x)?[ln f(x)]
对数求导法适用于求幂指函数 y?[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数?
此方法是先在 y?f(x)的两边取对数? 然后用隐函数求导法求出 y的导数?
设 y?f(x)? 两边取对数? 得
ln y?ln f(x)?
两边对 x 求导? 得
对数求导法
])([ ln1 xfyy?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 5 求 y?x sin x (x>0)的导数?
xxxxyy
1s i nlnc o s1
于是 )1s i nln( c o s xxxxyy )s i nln( c o ss i n x xxxx x
解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求?
解法一上式两边对 x 求导? 得两边取对数? 得
ln y?sin x?ln x?
y?x sin x?e sin x·ln x?
)s i nln( c o s)ln( s i n s i nlns i n x xxxxxxey xxx )s i nln( c o s)ln( s i n s i nlns i n x xxxxxxey xxx
下页上页 下页 铃结束返回首页上式两边对 x求导? 得说明?
严格来说? 本题应分 x?4? x?1? 2?x?3三种情况讨论?
但结果都是一样的?
例 6
例 6? 求函数 )4)(3( )2)(1( xx xxy 的导数?
先在两边取对数? 得
l n y 21? [ l n ( x? 1)? l n ( x? 2)? l n ( x? 3)? l n ( x? 4 ) ]?
)41312111(211 xxxxyy?
于是 )41312111(2 xxxxyy?
解首页上页 下页 铃结束返回首页二、由参数方程所确定的函数的导数设 x?j(t)具有反函数 t?j?1(x)? 且 t?j?1(x)与 y?y(t)构成复合函数 y?y[j?1(x)]? 若 x?j(t)和 y?y(t)都可导? 则
)(
)(1
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
j
y
即
)(
)(
t
t
dx
dy
j
y
或
dt
dx
dt
dy
dx
dy
)(
)(1
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
)(
)(1
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
j
y
设 y 与 x 的函数关系 是 由 参数方程 )( )( ty tx yj 确定 的?
下页上页 下页 铃结束返回首页若 x? j ( t ) 和 y? y ( t ) 都可导? 则 )( )( ttdxdy jy
例 7
例 7? 求椭圆 tby tax s i nc o s 在相应于 4t 点处 的切线方程?
解? tabta tbta tbdxdy c o ts inc o s)c o s( )s in(
解解? tabta tbta tbdxdy c o ts inc o s)c o s( )s in( 解? tta tbta tb c o ts inc o s)c o s( )s in(
所求 切线的斜率为 abdxdy t
4
切点的坐标为 2 24 c o s0 aax 2 24s i n0 bby
切线方程为 )2 2(2 2 axabby
即 bx? ay 2? ab? 0?
切点的坐标为 224 c o s0 aax 224s in0 bby
下页上页 下页 铃结束返回首页再求速度的方向?
设 a是切线的倾角? 则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
x?(t)?v1? y?(t)?v2?gt?
求抛射体在时刻 t的运动速度的大小和方向?
例 8 抛射体运动轨迹的参数方程为?
2
2
1
2
1 gttvy
tvx
速度的水平分量与铅直分量分别为先求速度的大小?解
22 )]([)]([ tytxv 2221 )( gtvv
1
2
)(
)(ta n
v
gtv
tx
ty
dx
dy
a?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示?
讨论?
已知 x?j(t),y?y(t)? 如何求 y对 x的二阶导数 y
由 x? j ( t )? )( )( ttdxdy jy
dx
dt
t
t
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd )
)(
)(()(
2
2
j
y
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
jj
jyjy
)(
)()()()(
3 t
tttt
j
jyjy
下页上页 下页 铃结束返回首页的函数 y?f(x)的二阶导数?
例 9
例 9,计算由摆线的参数方程 )c o s1( )s i n( tay ttax 所确定解? )( )(tx tydxdy )c o s1( s in])s in([ ])c o s1([ ta tatta ta
解
2c o tc o s1
s in t
t
t?
( t?2 n n 为整数 )?
dx
dtt
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd )
2( c o t)(2
2
(t?2n n为整数 )?
22 )c os1(
1
)c os1(
1
2s i n2
1
tatat
解 )( )(tx tydxdy )c o s1( s in])s in([ ])c o s1([ ta tatta ta 解? )( )(tx tydxdy )s(])s in([ ])c o s1([ ta ttta ta
2c o tc o s1
s i n t
t
t?
( t? 2 n n 为整数 )?
dx
dtt
dx
dy
dx
d
dx
yd )
2( c o t(2
2
22 )c os1(
1
)c os1(
1
2s in2
1
tatat
结束上页 下页 铃结束返回首页三、相关变化率设 x?x(t)及 y?y(t)都是可导函数? 而变量 x与 y间存在某种关系? 从而变化率与间也存在一定关系? 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率?
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系?
以便从其中一个变化率求出另一个变化率?
上页 下页 铃结束返回首页例 10 一气球从离开观察员 500m处离地面铅直上升?
其速度为 140m/min(分 )? 当气球高度为 500m时? 观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升 t(秒 )后?
其高度为 h? 观察员视线的仰角为 a? 则
500ta n
h?a?
dt
dh
dt
d
5 0 0
1s e c 2 aa?
上式两边对 t求导? 得已 知 140?dtdh ( 米 / 秒 )?
又当 h?500(米 )时? sec2a?2?
500m
500m
a
气球观察员上页 下页 铃结束返回首页例 10 一气球从离开观察员 500m处离地面铅直上升?
其速度为 140m/min(分 )? 当气球高度为 500m时? 观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升 t(秒 )后?
其高度为 h? 观察员视线的仰角为 a? 则
500ta n
h?a?
dt
dh
dt
d
5 0 0
1s e c 2 aa?
1 4 05 0 012dtd a?
上式两边对 t求导? 得已 知 140?dtdh ( 米 / 秒 )?
又当 h?500(米 )时? sec2a?2?
将已知数据代入上式得
14.05 0 070dtd a ( 弧 度 / 秒 )?
即观察员视线的仰角增加率是每秒 0? 14弧度?
所以
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显函数与隐函数形如 y?f(x)的函数称为显函数?
例如? y?sin x? y?ln x?ex 都是显函数?
由方程 F(x? y)?0所确的函数称为隐函数?
把一个隐函数化成显函数? 叫做隐函数的显化?
例如? 方程 x?y3?1?0确定的隐函数为 3 1 xy
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例 1 求由方程 ey?xy?e?0所确定的隐函数 y的导数?
(ey)(xy)(e)(0)
即 ey?yy?xy0?
隐函数的求导法把方程两边分别对 x求导数? 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出?
一、隐函数的导数方程中每一项对 x求导得解从而 yex yy ( x? e y? 0)?
(xy)y?xy (ey)e y?y
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2 求由方程 y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数 y?f(x)
在 x?0处的导数 y?|x?0?
因为当 x?0时? 从原方程得 y?0? 所以
5y4?y2y1?21x6?0?
把方程两边分别对 x求导数得解法一由此得 25 211 4 6 y xy?
2
1|
25
211|
04
6
0
xx y
xy?
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5y4?y2y1?21x6?0?
根据原方程? 当 x?0时? y?0? 将其代入上述方程得
2y1?0?
从而 y?|x?0?0?5?
把方程两边分别对 x求导数得解法二下页例 2 求由方程 y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数 y?f(x)
在 x?0处的导数 y?|x?0?
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例 3? 求椭圆 1916 22 yx 在 )323,2( 处的切线方程?
把椭圆方程的两边分别对 x求导? 得所求的切线方程为从而 yxy 169
当 x? 2 时? 323?y? 代入上式得所求切线的斜率
4
3|
2xyk?
)2(4 3323 xy? 即 03843 yx? )2(4 3323 xy? 即 03843 yx?
当 x? 2 时? 323?y? 代入上式得所求切线的斜率 当 x? 2 时? 323?y? 代入上式得所求切线的斜率下页
0928 yyx?
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例 4
例 4,求由方程 0s i n21 yyx 所确定的隐函数 y
方程两边对 x求导? 得
0c o s211 dxdyydxdy?
于是 ydxdy c o s2 2
322
2
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y
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dx
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y f(x)?[ln f(x)]
对数求导法适用于求幂指函数 y?[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数?
此方法是先在 y?f(x)的两边取对数? 然后用隐函数求导法求出 y的导数?
设 y?f(x)? 两边取对数? 得
ln y?ln f(x)?
两边对 x 求导? 得
对数求导法
])([ ln1 xfyy?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 5 求 y?x sin x (x>0)的导数?
xxxxyy
1s i nlnc o s1
于是 )1s i nln( c o s xxxxyy )s i nln( c o ss i n x xxxx x
解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求?
解法一上式两边对 x 求导? 得两边取对数? 得
ln y?sin x?ln x?
y?x sin x?e sin x·ln x?
)s i nln( c o s)ln( s i n s i nlns i n x xxxxxxey xxx )s i nln( c o s)ln( s i n s i nlns i n x xxxxxxey xxx
下页上页 下页 铃结束返回首页上式两边对 x求导? 得说明?
严格来说? 本题应分 x?4? x?1? 2?x?3三种情况讨论?
但结果都是一样的?
例 6
例 6? 求函数 )4)(3( )2)(1( xx xxy 的导数?
先在两边取对数? 得
l n y 21? [ l n ( x? 1)? l n ( x? 2)? l n ( x? 3)? l n ( x? 4 ) ]?
)41312111(211 xxxxyy?
于是 )41312111(2 xxxxyy?
解首页上页 下页 铃结束返回首页二、由参数方程所确定的函数的导数设 x?j(t)具有反函数 t?j?1(x)? 且 t?j?1(x)与 y?y(t)构成复合函数 y?y[j?1(x)]? 若 x?j(t)和 y?y(t)都可导? 则
)(
)(1
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即
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设 y 与 x 的函数关系 是 由 参数方程 )( )( ty tx yj 确定 的?
下页上页 下页 铃结束返回首页若 x? j ( t ) 和 y? y ( t ) 都可导? 则 )( )( ttdxdy jy
例 7
例 7? 求椭圆 tby tax s i nc o s 在相应于 4t 点处 的切线方程?
解? tabta tbta tbdxdy c o ts inc o s)c o s( )s in(
解解? tabta tbta tbdxdy c o ts inc o s)c o s( )s in( 解? tta tbta tb c o ts inc o s)c o s( )s in(
所求 切线的斜率为 abdxdy t
4
切点的坐标为 2 24 c o s0 aax 2 24s i n0 bby
切线方程为 )2 2(2 2 axabby
即 bx? ay 2? ab? 0?
切点的坐标为 224 c o s0 aax 224s in0 bby
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设 a是切线的倾角? 则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
x?(t)?v1? y?(t)?v2?gt?
求抛射体在时刻 t的运动速度的大小和方向?
例 8 抛射体运动轨迹的参数方程为?
2
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1
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1 gttvy
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速度的水平分量与铅直分量分别为先求速度的大小?解
22 )]([)]([ tytxv 2221 )( gtvv
1
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)(
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讨论?
已知 x?j(t),y?y(t)? 如何求 y对 x的二阶导数 y
由 x? j ( t )? )( )( ttdxdy jy
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例 9
例 9,计算由摆线的参数方程 )c o s1( )s i n( tay ttax 所确定解? )( )(tx tydxdy )c o s1( s in])s in([ ])c o s1([ ta tatta ta
解
2c o tc o s1
s in t
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( t?2 n n 为整数 )?
dx
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(t?2n n为整数 )?
22 )c os1(
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tatat
解 )( )(tx tydxdy )c o s1( s in])s in([ ])c o s1([ ta tatta ta 解? )( )(tx tydxdy )s(])s in([ ])c o s1([ ta ttta ta
2c o tc o s1
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t
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( t? 2 n n 为整数 )?
dx
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22 )c os1(
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结束上页 下页 铃结束返回首页三、相关变化率设 x?x(t)及 y?y(t)都是可导函数? 而变量 x与 y间存在某种关系? 从而变化率与间也存在一定关系? 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率?
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系?
以便从其中一个变化率求出另一个变化率?
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其速度为 140m/min(分 )? 当气球高度为 500m时? 观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升 t(秒 )后?
其高度为 h? 观察员视线的仰角为 a? 则
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h?a?
dt
dh
dt
d
5 0 0
1s e c 2 aa?
上式两边对 t求导? 得已 知 140?dtdh ( 米 / 秒 )?
又当 h?500(米 )时? sec2a?2?
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500m
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气球观察员上页 下页 铃结束返回首页例 10 一气球从离开观察员 500m处离地面铅直上升?
其速度为 140m/min(分 )? 当气球高度为 500m时? 观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升 t(秒 )后?
其高度为 h? 观察员视线的仰角为 a? 则
500ta n
h?a?
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5 0 0
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1 4 05 0 012dtd a?
上式两边对 t求导? 得已 知 140?dtdh ( 米 / 秒 )?
又当 h?500(米 )时? sec2a?2?
将已知数据代入上式得
14.05 0 070dtd a ( 弧 度 / 秒 )?
即观察员视线的仰角增加率是每秒 0? 14弧度?
所以
