§ 4.1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、原函数与不定积分的概念
原函数的 概念如果在区间 I上,可导函数 F(x)的导函数为 f(x),即对任一 x?I,都有
F?(x)?f(x)或 dF(x)?f(x)dx,
那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I上的原函数,
原函数举例所以 sin x是 cos x的原函数,因为 (sin x)cos x,
提问：
因为
x
x
2
1)(,所以 x 是
x2
1 的原函数,因为
x
x
2
1)(,所以 x 是
x2
1 的原函数,
c o s x 和
x2
1 还有其它原函数吗？
下页上页 下页 铃结束返回首页
原函数存在定理如果函数 f(x)在区间 I上连续,那么在区间 I上存在可导函数 F(x),使对任一 x?I 都有
F?(x)?f(x).
简单地说就是,连续函数一定有原函数,
两点说明：
1,如果函数 f(x)在区间 I上有原函数 F(x),那么 f(x)就有无限多个原函数,F(x)?C都是 f(x)的原函数,其中 C是任意常数,
2.函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,
即如果?(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数,则
(x)?F(x)?C (C为某个常数 ).
下页上页 下页 铃结束返回首页不定积分中各部分的名称：
------ 称为积分号,
f(x) ------ 称为被积函数,
f(x)dx ------ 称为被积表达式,
x ------ 称为积分变量,
不定积分的概念在区间 I上,函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I上的不定积分,记作
dxxf )(,
下页上页 下页 铃结束返回首页根据定义,如果 F(x)是 f(x)在区间 I上的一个原函数,那么
F(x)?C就是 f(x)的不定积分,即在区间 I上,函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I上的不定积分,记作
不定积分的概念
dxxf )(,
CxFdxxf )()(,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数,所以如果 F(x)是 f(x)的一个原函数,则
CxFdxxf )()(,
Cxx d x s i nc o s,
下页因为 x 是 x2 1 的原函数,所以
Cxdxx 2 1,
上页 下页 铃结束返回首页解：当 x >0 时,( l n x )? x1?,
例 2,求函数 xxf 1)(? 的不定积分,
例 2
合并上面两式,得到解如果 F(x)是 f(x)的一个原函数,则
CxFdxxf )()(,
Cxdxx ln 1 ( x > 0 )?
当 x <0 时,[ l n (? x )]? xx 1)1(1,
Cxdxx )l n ( 1 ( x < 0 ),
Cxdxx ||ln 1 ( x? 0),
下页上页 下页 铃结束返回首页例 3 设曲线通过点 (1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程,
解 设所求的曲线方程为 y?f(x),则曲线上任一点 (x,y)
处的切线斜率为
yf?(x)?2x,
即 f(x)是 2x 的一个原函数,
故必有某个常数 C使 f(x)?x2?C,即曲线方程为 y?x2?C.
因所求曲线通过点 (1,2),故
2?1?C,C?1.
于是所求曲线方程为 y?x2?1.
因为
Cxx dx 22,
下页上页 下页 铃结束返回首页函数 f(x)的积分曲线也有无限多,函数 f(x)的不定积分表示 f(x)的一簇积分曲线,而 f(x)正是积分曲线的斜率,
积分曲线函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线,
下页
2x的 积分曲线上页 下页 铃结束返回首页
微分与积分的关系从不定积分的定义可知又由于 F(x)是 F?(x)的原函数,所以由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的,
)(])([ xfdxxfdxd,或 dxxfdxxfd )(])([ )(])([ xfdxxfdxd,或 dxxfdxxfd )(])([?
CxFdxxF )()(,或记作 CxFxdF )()(, CxdxxF ))(,或记作 CxFxdF ()(,
首页上页 下页 铃结束返回首页二、基本积分表
(1) Ckxkdx (k 是常数 ),
(2 ) Cxdxx 111,
(3) Cxdxx ||ln1,
(4) Cedxe xx,
(5) Caadxa xx ln,
( 6 ) Cxxdx s inc os,
( 7 ) Cxxdx c oss in,
( 8 ) Cxxdx t a ns e c 2,
( 9 ) Cxxd x c o tc s c 2,
( 1 0 ) Cxdxx a r c ta n1 1 2,
( 1 1 ) Cxdxx a r c s in1 1 2,
( 1 2 ) Cxx d xx s e ct a ns e c,
( 1 3 ) Cxdxx c s cc otc s c,
( 1 4 ) Cxdxx c h s h,
( 1 5 ) Cxdxx s h c h,
( 1 ) Ckxk dx ( k 是常数 ),
( 2 ) Cxdxx 111,
( 3 ) Cxdxx ||ln1,
( 4 ) Cedxe xx,
( 5 ) Caadxa xx ln,
( 6 ) Cxx dx s inos,
( 7 ) Cxx dx c osin,
( 8 ) Cxxdx ta ns e c 2,
( 9 ) Cxx x c o tc s c 2,
( 1 0 ) Cxdxx a r c ta n1 1 2,
( 1 1 ) Cxdxx a r c1 1 2,
( 1 2 ) Cxx d xx s e ct a ns e c,
( 1 3 ) Cxdxx c s cc otc s c,
( 1 4 ) Cxdxx c h s h,
( 1 5 ) Cxx s h c h,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 5 dxxdxxx 2
5
2 Cx?
12
5
125
1 Cx 27
7
2,
例 5
例 4
例 6
例 4 dxxdxx 331 CxCx 213 21131,
Cxx 372,
例 6
dxx
xx
dx 34
3
Cx?
1
3
4
1
3
4
Cx
3
1
3 C
x
3
3,
例 4 dxxdxx 331 CxCx 213 21131,例 4 dxxdxx 31 CxCx 213 2 1131,例 4 dxxdxx 331 CxCx 23 2 113,
例 5 dxxdxxx 2
5
2 Cx?
12
5
125
1 C?
7
2,例 5 dxxdxx 25 C?
12
5
125
1 Cx 27
7
2,例 5 dxxdxxx 252 Cx?
12
5
125
Cx 2
7
7
2,
例 6
dxx
xx
dx 34
3
Cx?
1
3
4
1
3
4
Cx
3
1
3 C
x
3
3,例 6
dxx
xx
dx 34
3
Cx?
1
3
4
1
3
4
Cx
3
1
3 C
x
3
3,例 6
dxx
xx
dx 34
3
Cx?
1
3
4
1
3
4
Cx?
3
1
3 C
x
3
3,例 6
dxx
x
3
4
Cx?
3
4
3
4
Cx
3
1
3 C
x
3
3,
( 2 ) Cxdxx 111,
首页积分表上页 下页 铃结束返回首页三、不定积分的性质这是因为,
f(x)?g(x).
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
])([])([])()([ dxxgdxxfdxxgdxxf? f ( x )? g ( x ),])([])([])()([ dxxgdxxfdxxgdxxf? f ( x ) ( x ),
性质 1
下页上页 下页 铃结束返回首页三、不定积分的性质
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
dxxfkdxxkf )()( ( k 是常数,k? 0),
性质 1
性质 2
dxxdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5(
Cxxdxxdxx 2
3
2
7
2
1
2
5
3
25
7
25,
例 7
例 8
dxxdxxdxxxdxx 21252125 5)5()( dxxdxdxxxdxxx 21252 5)5()5(
xxdxxdxx 2
3
2
7
2
1
2
5
3
25
7
25,
例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22
23
2
3
Cxxxxdxxdxxdxdxx 1||ln33211133 22,
例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22
23
2
3
例 8 dxxxxdxx xxdxxx )133(133)1( 22232
3
Cxxxxdxxdxxdxdxx 1||ln33211133 22,
下页积分表上页 下页 铃结束返回首页例 11 dxxxdxxx xxdxxx xx )11 1()1( )1()1(1 22
2
2
2?
例 10
三、不定积分的性质
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
dxxfkdxxkf )()( ( k 是常数,k? 0),
性质 1
性质 2
例 9
例 9 x d xdxedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x s in3,
例 10 CeCeedxedxe xx
x
xxx?
2ln1
2
)2ln(
)2()2(2,
例 11
Cxxdxxdxx ||lna r c ta n11 1 2,
例 9 x d xedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x s in3,例 9 x d xdxedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x s in3,
例 10 CeCeedxedxe xx
x
xxx?
2ln1
2
)2ln (
)2()2(2,例 10 CeC
e
edxedxe xxxxx?
2ln1
2
)2ln (
)2()2(2,例 10 CeC
e
edxdxe xxxxxx?
2ln1
2
)2ln (
)2()(,
Cxxdxxdxx ||lna r c ta n11 1 2,
下页例 11 dxxxdxxx xxdxxx x )11 1()1( )1()1 22
2
2
2?
例 11
xdxxx
xxdx
xx
xx
1()1(
)1(
)1(
1
22
2
2
2
积分表上页 下页 铃结束返回首页例 12 dxxxxdxxxdxxx 2
22
2
4
2
4
1
1)1)(1(
1
11
1
例 12
dxxdxdxxdxxx 2222 1 1)1 11(
Cxxx a r c ta n31 3,
例 13
例 1 3 dxxdxdxxdxx 222 s ec)1(s ectan
tan x?x?C.
例 2 dxxxxdxxxdxxx 2
22
2
4
2
4
1
1)1)(1(
1
11
1 例 1 2 dxx
xx
x
xdx
x
x
2
22
2
4
2
4
1
1)1)((
1
11
1
dxxdxdxxdxxx 222 1 1)1 11(
例 1 3 dxx dxdxxdxx 222 s e c)1( s e ct a n 例 1 3 dxdxxx 222 s e c)1( s e ct a n
例 14 dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2
例 14
例 15
Cxx )s i n(21,
例 15 Cxdx
x
dxxx c o t4
s in
14
2c o s2s in
1
222,
例 dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 14 dxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2
例 15 Cxdx
x
dxxx c o t4
s in
14
2o s2s in
222,例 15 Cxdxxxx c o t4s in
14
2c o s2s
1
222,
结束积分表
原函数的 概念如果在区间 I上,可导函数 F(x)的导函数为 f(x),即对任一 x?I,都有
F?(x)?f(x)或 dF(x)?f(x)dx,
那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I上的原函数,
原函数举例所以 sin x是 cos x的原函数,因为 (sin x)cos x,
提问：
因为
x
x
2
1)(,所以 x 是
x2
1 的原函数,因为
x
x
2
1)(,所以 x 是
x2
1 的原函数,
c o s x 和
x2
1 还有其它原函数吗？
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原函数存在定理如果函数 f(x)在区间 I上连续,那么在区间 I上存在可导函数 F(x),使对任一 x?I 都有
F?(x)?f(x).
简单地说就是,连续函数一定有原函数,
两点说明：
1,如果函数 f(x)在区间 I上有原函数 F(x),那么 f(x)就有无限多个原函数,F(x)?C都是 f(x)的原函数,其中 C是任意常数,
2.函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,
即如果?(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数,则
(x)?F(x)?C (C为某个常数 ).
下页上页 下页 铃结束返回首页不定积分中各部分的名称：
------ 称为积分号,
f(x) ------ 称为被积函数,
f(x)dx ------ 称为被积表达式,
x ------ 称为积分变量,
不定积分的概念在区间 I上,函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I上的不定积分,记作
dxxf )(,
下页上页 下页 铃结束返回首页根据定义,如果 F(x)是 f(x)在区间 I上的一个原函数,那么
F(x)?C就是 f(x)的不定积分,即在区间 I上,函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I上的不定积分,记作
不定积分的概念
dxxf )(,
CxFdxxf )()(,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数,所以如果 F(x)是 f(x)的一个原函数,则
CxFdxxf )()(,
Cxx d x s i nc o s,
下页因为 x 是 x2 1 的原函数,所以
Cxdxx 2 1,
上页 下页 铃结束返回首页解：当 x >0 时,( l n x )? x1?,
例 2,求函数 xxf 1)(? 的不定积分,
例 2
合并上面两式,得到解如果 F(x)是 f(x)的一个原函数,则
CxFdxxf )()(,
Cxdxx ln 1 ( x > 0 )?
当 x <0 时,[ l n (? x )]? xx 1)1(1,
Cxdxx )l n ( 1 ( x < 0 ),
Cxdxx ||ln 1 ( x? 0),
下页上页 下页 铃结束返回首页例 3 设曲线通过点 (1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程,
解 设所求的曲线方程为 y?f(x),则曲线上任一点 (x,y)
处的切线斜率为
yf?(x)?2x,
即 f(x)是 2x 的一个原函数,
故必有某个常数 C使 f(x)?x2?C,即曲线方程为 y?x2?C.
因所求曲线通过点 (1,2),故
2?1?C,C?1.
于是所求曲线方程为 y?x2?1.
因为
Cxx dx 22,
下页上页 下页 铃结束返回首页函数 f(x)的积分曲线也有无限多,函数 f(x)的不定积分表示 f(x)的一簇积分曲线,而 f(x)正是积分曲线的斜率,
积分曲线函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线,
下页
2x的 积分曲线上页 下页 铃结束返回首页
微分与积分的关系从不定积分的定义可知又由于 F(x)是 F?(x)的原函数,所以由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的,
)(])([ xfdxxfdxd,或 dxxfdxxfd )(])([ )(])([ xfdxxfdxd,或 dxxfdxxfd )(])([?
CxFdxxF )()(,或记作 CxFxdF )()(, CxdxxF ))(,或记作 CxFxdF ()(,
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(1) Ckxkdx (k 是常数 ),
(2 ) Cxdxx 111,
(3) Cxdxx ||ln1,
(4) Cedxe xx,
(5) Caadxa xx ln,
( 6 ) Cxxdx s inc os,
( 7 ) Cxxdx c oss in,
( 8 ) Cxxdx t a ns e c 2,
( 9 ) Cxxd x c o tc s c 2,
( 1 0 ) Cxdxx a r c ta n1 1 2,
( 1 1 ) Cxdxx a r c s in1 1 2,
( 1 2 ) Cxx d xx s e ct a ns e c,
( 1 3 ) Cxdxx c s cc otc s c,
( 1 4 ) Cxdxx c h s h,
( 1 5 ) Cxdxx s h c h,
( 1 ) Ckxk dx ( k 是常数 ),
( 2 ) Cxdxx 111,
( 3 ) Cxdxx ||ln1,
( 4 ) Cedxe xx,
( 5 ) Caadxa xx ln,
( 6 ) Cxx dx s inos,
( 7 ) Cxx dx c osin,
( 8 ) Cxxdx ta ns e c 2,
( 9 ) Cxx x c o tc s c 2,
( 1 0 ) Cxdxx a r c ta n1 1 2,
( 1 1 ) Cxdxx a r c1 1 2,
( 1 2 ) Cxx d xx s e ct a ns e c,
( 1 3 ) Cxdxx c s cc otc s c,
( 1 4 ) Cxdxx c h s h,
( 1 5 ) Cxx s h c h,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 5 dxxdxxx 2
5
2 Cx?
12
5
125
1 Cx 27
7
2,
例 5
例 4
例 6
例 4 dxxdxx 331 CxCx 213 21131,
Cxx 372,
例 6
dxx
xx
dx 34
3
Cx?
1
3
4
1
3
4
Cx
3
1
3 C
x
3
3,
例 4 dxxdxx 331 CxCx 213 21131,例 4 dxxdxx 31 CxCx 213 2 1131,例 4 dxxdxx 331 CxCx 23 2 113,
例 5 dxxdxxx 2
5
2 Cx?
12
5
125
1 C?
7
2,例 5 dxxdxx 25 C?
12
5
125
1 Cx 27
7
2,例 5 dxxdxxx 252 Cx?
12
5
125
Cx 2
7
7
2,
例 6
dxx
xx
dx 34
3
Cx?
1
3
4
1
3
4
Cx
3
1
3 C
x
3
3,例 6
dxx
xx
dx 34
3
Cx?
1
3
4
1
3
4
Cx
3
1
3 C
x
3
3,例 6
dxx
xx
dx 34
3
Cx?
1
3
4
1
3
4
Cx?
3
1
3 C
x
3
3,例 6
dxx
x
3
4
Cx?
3
4
3
4
Cx
3
1
3 C
x
3
3,
( 2 ) Cxdxx 111,
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f(x)?g(x).
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
])([])([])()([ dxxgdxxfdxxgdxxf? f ( x )? g ( x ),])([])([])()([ dxxgdxxfdxxgdxxf? f ( x ) ( x ),
性质 1
下页上页 下页 铃结束返回首页三、不定积分的性质
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
dxxfkdxxkf )()( ( k 是常数,k? 0),
性质 1
性质 2
dxxdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5(
Cxxdxxdxx 2
3
2
7
2
1
2
5
3
25
7
25,
例 7
例 8
dxxdxxdxxxdxx 21252125 5)5()( dxxdxdxxxdxxx 21252 5)5()5(
xxdxxdxx 2
3
2
7
2
1
2
5
3
25
7
25,
例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22
23
2
3
Cxxxxdxxdxxdxdxx 1||ln33211133 22,
例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22
23
2
3
例 8 dxxxxdxx xxdxxx )133(133)1( 22232
3
Cxxxxdxxdxxdxdxx 1||ln33211133 22,
下页积分表上页 下页 铃结束返回首页例 11 dxxxdxxx xxdxxx xx )11 1()1( )1()1(1 22
2
2
2?
例 10
三、不定积分的性质
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([,
dxxfkdxxkf )()( ( k 是常数,k? 0),
性质 1
性质 2
例 9
例 9 x d xdxedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x s in3,
例 10 CeCeedxedxe xx
x
xxx?
2ln1
2
)2ln(
)2()2(2,
例 11
Cxxdxxdxx ||lna r c ta n11 1 2,
例 9 x d xedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x s in3,例 9 x d xdxedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x s in3,
例 10 CeCeedxedxe xx
x
xxx?
2ln1
2
)2ln (
)2()2(2,例 10 CeC
e
edxedxe xxxxx?
2ln1
2
)2ln (
)2()2(2,例 10 CeC
e
edxdxe xxxxxx?
2ln1
2
)2ln (
)2()(,
Cxxdxxdxx ||lna r c ta n11 1 2,
下页例 11 dxxxdxxx xxdxxx x )11 1()1( )1()1 22
2
2
2?
例 11
xdxxx
xxdx
xx
xx
1()1(
)1(
)1(
1
22
2
2
2
积分表上页 下页 铃结束返回首页例 12 dxxxxdxxxdxxx 2
22
2
4
2
4
1
1)1)(1(
1
11
1
例 12
dxxdxdxxdxxx 2222 1 1)1 11(
Cxxx a r c ta n31 3,
例 13
例 1 3 dxxdxdxxdxx 222 s ec)1(s ectan
tan x?x?C.
例 2 dxxxxdxxxdxxx 2
22
2
4
2
4
1
1)1)(1(
1
11
1 例 1 2 dxx
xx
x
xdx
x
x
2
22
2
4
2
4
1
1)1)((
1
11
1
dxxdxdxxdxxx 222 1 1)1 11(
例 1 3 dxx dxdxxdxx 222 s e c)1( s e ct a n 例 1 3 dxdxxx 222 s e c)1( s e ct a n
例 14 dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2
例 14
例 15
Cxx )s i n(21,
例 15 Cxdx
x
dxxx c o t4
s in
14
2c o s2s in
1
222,
例 dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 14 dxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2
例 15 Cxdx
x
dxxx c o t4
s in
14
2o s2s in
222,例 15 Cxdxxxx c o t4s in
14
2c o s2s
1
222,
结束积分表
