§ 4.3 分部积分法
分部积分公式设函数 u?u(x)及 v?v(x)具有连续导数,那么,
(uv)u?v?uv?,
移项得 uv(uv)u?v.
对这个等式两边求不定积分,得
分部积分过程这两个公式称为分部积分公式,
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v dxuuvdxvu,? 或 v d uuvud v, v dxuuvdxvu,? 或 v d uuvud v,
vdxuuvvduuvudvdxvu, vdxuuvvduuvudvdxvu, v d xuuvv uuvudvdxvu, v d xuuvv d uuvudvdxvu,
上页 下页 铃结束返回首页例 1
x sin x?cos x?C,
例 2
例 3
x2ex?2xex?2ex?C
ex(x2?2x?2 )?C.
v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 1 x d xxxxxdx d xx s ins ins inc os 例 1 d xxxxdx d xx s ins ins inc os 例 1 xdxxxxdxdxx sinsinscos 例 1 x d xxxdx s ins is inc os
例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx,例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx,例 2 exedxexexdedxxe xxxxxx,例 2 Cexedxxexdedxxe xxxxx,例 2 Cexedxexex ddxxe xxxxxx,
例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx
xxxx x d eexdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222
例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx 例 3 222 dxeexdexdxe xxx 例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx
xxxx x d eexdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222
xxxx x d eexdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4
例 5
v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 4 dxxxxxxdxxdxx 121ln21ln21ln 222?
Cxxxx dxxx 222 41ln2121ln21,
例 4 dxxxxxx dxx dxx 121ln21ln21ln 222? 例 4 dxxxxxxdxx 121ln21ln21ln 222? 例 4 dxxxxxdxx 121ln21ln21ln 222?
Cxxxx dxxx 222 41ln2121ln21,
例 5 xxdxxx d x a r c c o sa r c c o sa r c c o s
dx
x
xxx?
2
1
1a r c c o s
)1()1(21a r c c o s 22
1
2 xdxxx
Cxxx 21a r c c os,
例 5 xxdxxx d x a r c c o sa r c c o sa r c c o s 例 5 xxdxxx a r c c o sa r c c o sa r c o s
下页上页 下页 铃结束返回首页例 6
v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 6 2a r c t a n21a r c t a n x dxx dxx
dxxxxx 222 1 121a r c ta n21
dxxxx )1 11(21a r c ta n21 22
Cxxxx a r c t a n2121a r c t a n21 2,
例 6 2a r c t a n21a r c t a n x dxdxx
dxxxx 222 1 121a r c ta21
dxxx )1 11(21a r c ta21 22
下页上页 下页 铃结束返回首页解 因为例 7
例 7 求 x d xe x s in?,
xdexex dex dxe xxxx s ins ins ins in
xxxx x d exex d xexe c o ss inc o ss in
xdexexe xxx c osc oss i n
xdexexe xxx c osc oss i n
x d xexexe xxx s i nc o ss i n,
所以 Cxxex d xe xx )c o s( s i n21s i n,
xdexex dex dxe xxxx s ins ins ins in xdexex dex dxe xxxx s ins ins ins in
xxxx d exex d xexe c o ss inc o ss in
v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
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v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
解 因为例 8
例 8 求? x d x3s e c,
xxdxd xxxd x tans ecs ecs ecs ec 23
x d xxxx 2t a ns e ct a ns e c
dxxxxx )1( s e cs e ct a ns e c 2
x d xx d xxx s e cs e ct a ns e c 3
x d xxxxx 3s e c|t a ns e c|lnt a ns e c,
所以? x d x3s e c Cxxxx |)ta ns e c|lnta n( s e c21,
xxdx d xxd x t a ns e cs cs e cs c 23 xxdx d xxx t a ns e cs e cs e cs e c 23
下页上页 下页 铃结束返回首页于是 ])32()([)1(2 1 11222 nnn Inax xnaI,?
解当 n?1时,?用分部积分法,有例 9
例 9 求 nn ax dxI )( 22,其中 n 为正整数,?
dxax xnax xax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122
dxax aaxnax x nnn ])()( 1[)1(2)( 22 2122122,?
解 Caxaax dxI a r c ta n1221?
即 ))(1(2)( 211221 nnnn IaInax xI,?
即
dxax xnax xax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122 dxax xnax xax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122
dxax aaxnax x nnn ])()( 1[)1(2)( 22 2122122,?
下页上页 下页 铃结束返回首页解法一 于是解法二例 10
例 10 求 dxe x?,
令 x?t2,则 dx?2tdt.
dxe x? CxeCtedtte xtt )1(2)1(22,
xdexxdedxe xxx 2)( 2
xdeexdex xxx 222
CxeCeex xxx )1(222,?
dxe x? CxeCtedtte xtt )1(2)1(22,dxe? CxeCtedtte xtt )1(2)1(22,dxe x? CxeCtedt xtt )1(2)1(22,
xdexxdedxe xxx 2)( 2 xdexxedxe xxx 2) 2
xdexdex xxx 222
CxeCeex xxx )1(222,?
下页上页 下页 铃结束返回首页注：
在后者中 u(x)不是以 v(x)为中间变量的复合函数,故用分部积分法,
在前者中 f[?(x)]是以?(x)为中间变量的复合函数,故用换元积分法,
第一步都是凑微分
第一换积分元法与分部积分法的比较
)( )( )()]([)()]([ duufuxxdxfdxxxf 令,
)()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
)( )( )()]([)()]([ duufuxxdxfdxxxf 令,
)()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
下页上页 下页 铃结束返回首页第一步都是凑微分
第一换积分元法与分部积分法的比较
)( )( )()]([)()]([ duufuxxdxfdxxxf 令,
)()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
)( )( )()]([)()]([ duufuxxdxfdxxxf 令,
)()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
2 222 duedxedxxe uxx,?
2222 dxeexdexdxex xxxx,?
提问：
下列积分已经过凑微分,下一步该用什么方法？
2 222 duedxedxxe uxx,?
2222 dxeexdexdxex xxxx,?
2 222 duedxedxxe uxx,?
2222 eexdexdxex xxxx,?
提示：
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可用分部积分法的积分小结
(1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积,
(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积,
(3)被积函数为指数函数与三角函数的积,
x d xx c o s, dxxe x,? dxex x? 2?
x d xx ln,? x d xa r c c o s,? x d xx a r c t a n?
x d xe x s i n?,? x d x3s e c,
结束
分部积分公式设函数 u?u(x)及 v?v(x)具有连续导数,那么,
(uv)u?v?uv?,
移项得 uv(uv)u?v.
对这个等式两边求不定积分,得
分部积分过程这两个公式称为分部积分公式,
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v dxuuvdxvu,? 或 v d uuvud v, v dxuuvdxvu,? 或 v d uuvud v,
vdxuuvvduuvudvdxvu, vdxuuvvduuvudvdxvu, v d xuuvv uuvudvdxvu, v d xuuvv d uuvudvdxvu,
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x sin x?cos x?C,
例 2
例 3
x2ex?2xex?2ex?C
ex(x2?2x?2 )?C.
v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 1 x d xxxxxdx d xx s ins ins inc os 例 1 d xxxxdx d xx s ins ins inc os 例 1 xdxxxxdxdxx sinsinscos 例 1 x d xxxdx s ins is inc os
例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx,例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx,例 2 exedxexexdedxxe xxxxxx,例 2 Cexedxxexdedxxe xxxxx,例 2 Cexedxexex ddxxe xxxxxx,
例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx
xxxx x d eexdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222
例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx 例 3 222 dxeexdexdxe xxx 例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx
xxxx x d eexdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222
xxxx x d eexdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222
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例 5
v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 4 dxxxxxxdxxdxx 121ln21ln21ln 222?
Cxxxx dxxx 222 41ln2121ln21,
例 4 dxxxxxx dxx dxx 121ln21ln21ln 222? 例 4 dxxxxxxdxx 121ln21ln21ln 222? 例 4 dxxxxxdxx 121ln21ln21ln 222?
Cxxxx dxxx 222 41ln2121ln21,
例 5 xxdxxx d x a r c c o sa r c c o sa r c c o s
dx
x
xxx?
2
1
1a r c c o s
)1()1(21a r c c o s 22
1
2 xdxxx
Cxxx 21a r c c os,
例 5 xxdxxx d x a r c c o sa r c c o sa r c c o s 例 5 xxdxxx a r c c o sa r c c o sa r c o s
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v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
例 6 2a r c t a n21a r c t a n x dxx dxx
dxxxxx 222 1 121a r c ta n21
dxxxx )1 11(21a r c ta n21 22
Cxxxx a r c t a n2121a r c t a n21 2,
例 6 2a r c t a n21a r c t a n x dxdxx
dxxxx 222 1 121a r c ta21
dxxx )1 11(21a r c ta21 22
下页上页 下页 铃结束返回首页解 因为例 7
例 7 求 x d xe x s in?,
xdexex dex dxe xxxx s ins ins ins in
xxxx x d exex d xexe c o ss inc o ss in
xdexexe xxx c osc oss i n
xdexexe xxx c osc oss i n
x d xexexe xxx s i nc o ss i n,
所以 Cxxex d xe xx )c o s( s i n21s i n,
xdexex dex dxe xxxx s ins ins ins in xdexex dex dxe xxxx s ins ins ins in
xxxx d exex d xexe c o ss inc o ss in
v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
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v d xuuvv d uuvudvdxvu,
分部积分过程：
解 因为例 8
例 8 求? x d x3s e c,
xxdxd xxxd x tans ecs ecs ecs ec 23
x d xxxx 2t a ns e ct a ns e c
dxxxxx )1( s e cs e ct a ns e c 2
x d xx d xxx s e cs e ct a ns e c 3
x d xxxxx 3s e c|t a ns e c|lnt a ns e c,
所以? x d x3s e c Cxxxx |)ta ns e c|lnta n( s e c21,
xxdx d xxd x t a ns e cs cs e cs c 23 xxdx d xxx t a ns e cs e cs e cs e c 23
下页上页 下页 铃结束返回首页于是 ])32()([)1(2 1 11222 nnn Inax xnaI,?
解当 n?1时,?用分部积分法,有例 9
例 9 求 nn ax dxI )( 22,其中 n 为正整数,?
dxax xnax xax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122
dxax aaxnax x nnn ])()( 1[)1(2)( 22 2122122,?
解 Caxaax dxI a r c ta n1221?
即 ))(1(2)( 211221 nnnn IaInax xI,?
即
dxax xnax xax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122 dxax xnax xax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122
dxax aaxnax x nnn ])()( 1[)1(2)( 22 2122122,?
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例 10 求 dxe x?,
令 x?t2,则 dx?2tdt.
dxe x? CxeCtedtte xtt )1(2)1(22,
xdexxdedxe xxx 2)( 2
xdeexdex xxx 222
CxeCeex xxx )1(222,?
dxe x? CxeCtedtte xtt )1(2)1(22,dxe? CxeCtedtte xtt )1(2)1(22,dxe x? CxeCtedt xtt )1(2)1(22,
xdexxdedxe xxx 2)( 2 xdexxedxe xxx 2) 2
xdexdex xxx 222
CxeCeex xxx )1(222,?
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在后者中 u(x)不是以 v(x)为中间变量的复合函数,故用分部积分法,
在前者中 f[?(x)]是以?(x)为中间变量的复合函数,故用换元积分法,
第一步都是凑微分
第一换积分元法与分部积分法的比较
)( )( )()]([)()]([ duufuxxdxfdxxxf 令,
)()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
)( )( )()]([)()]([ duufuxxdxfdxxxf 令,
)()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
下页上页 下页 铃结束返回首页第一步都是凑微分
第一换积分元法与分部积分法的比较
)( )( )()]([)()]([ duufuxxdxfdxxxf 令,
)()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
)( )( )()]([)()]([ duufuxxdxfdxxxf 令,
)()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu,
2 222 duedxedxxe uxx,?
2222 dxeexdexdxex xxxx,?
提问：
下列积分已经过凑微分,下一步该用什么方法？
2 222 duedxedxxe uxx,?
2222 dxeexdexdxex xxxx,?
2 222 duedxedxxe uxx,?
2222 eexdexdxex xxxx,?
提示：
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可用分部积分法的积分小结
(1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积,
(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积,
(3)被积函数为指数函数与三角函数的积,
x d xx c o s, dxxe x,? dxex x? 2?
x d xx ln,? x d xa r c c o s,? x d xx a r c t a n?
x d xe x s i n?,? x d x3s e c,
结束
