第一讲 随机事件
重点：样本空间、事件的关系与运算。
难点：求随机试验的样本空间；求随机事件的并、交、差、逆。
概率论是研究偶然现象的内在统计规律的一门学科; 数理统计是研究如何收集、整理、分析受到随机影响的数据，并对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议的应用数学学科。
一、随机事件与样本空间
1．随机试验
定义1 满足下列条件的试验称为随机试验( 用E表示)
①在相同条件下可以重复进行；
②每次试验的结果有多个，并且事先知道所有可能发生的结果；
③每次试验的具体结果不能事先确定；
简称为试验。
例1抛一枚硬币，观察它那一面朝上。
例2 掷一颗骰子，考虑出现的点数。
例3 记录某网站一分钟内被点击的次数。
例4 在一批灯泡中任取一只，测其寿命。
例5 任选一人，测其身高和体重 。
2．随机事件
定义2 在一次试验中可能出现也可能不出现的结果或事件叫随机事件，简称为事件，用大写字母A，B，C，D，…表示。
基本事件(样本点)：不能再分或没有必要再分的事件。用字母ω，或ω1，ω2，…表示。
样本空间：全体基本事件组成的集合，用Ω表示。这样样本空间的子集就表示一个随机事件。
必然事件：样本空间自身是一个子集，每次试验都一定会发生，称为必然事件，仍用Ω表示。.
不可能事件：空集也是一个子集，每次试验都不可能发生，称为不可能事件，用φ表示。
例6 写出例1～5的样本空间解 例1～5样本空间分别为
（1）Ω={正面朝上,反面朝上}；
（2）Ω={1，2，3，4，5，6}；
（3）Ω={0，1，2，…}；
（4）Ω={t|t≥0};
(5) Ω={(x,y)|x>0,y>0}。
注 一次试验中有且只有一个基本事件发生；随机事件A发生当且仅当A所包含基本事件之一出现。
二、随机事件的关系和运算
为了描述事件之间的联系，引入事件的关系与运算。
1．事件的关系
（1）包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B。记为或。对任意事件A，有。
（2）互斥（互不相容）：
若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥（互不相容）。必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的。
A1，A2，…，An是同一样本空间的随机事件，若它们之间任意两个事件互斥的，则称A1，A2，…，An是两两互斥的。
2．事件的运算
（1）事件的并（和）
若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，则称C为A与B的并或和。记为C=A∪B,当A与B互斥时，将并事件记为C=A+B，并称C是A与B的直和。显然有A∪A=A，A∪Ω=Ω，A∪φ=A.
（2）事件的交（积）
若表示“事件A与事件B同时发生”这一事件，则称为A与B的交（积）。记为D=A∩B，也可简记为D=AB,显然有A∩A=A，A∩Ω= A，A∩φ=φ,A与B互斥等价与AB=φ.
（3）事件的差若F表示“事件A发生而事件B不发生”这一事件，则称F为A与B的差事件。记为F=A-B.显然有A-A=φ，A-φ=A，A-Ω=φ
,.
（4）事件的逆（对立事件，余事件）
称“事件A不发生”为事件A的逆事件,记为。显然有。
注,对立事件是互斥的，但互斥事件不一定对立的。
事件的交、并可以推广到有限多个和无穷多个事件的情形：
“有限个事件A1，A2，…，An中至少有一个发生”这一事件称为A1，A2，…，An的并，记为。
“有限个事件A1，A2，…，An同时发生”这一事件称为A1，A2，…，An的交，记为。
“无穷个事件A1，A2，…，An，…中至少有一个发生”这一事件称为A1，A2，…，An，…的并，记为。
“无穷个事件A1，A2，…，An，…同时发生”这一事件称为A1，A2，…，An，…的交，记为。
3．事件的运算规律
例7 在掷骰子试验中，A表示“点数小于2”； B表示“点数为奇数”；C表示“出现1点”，D表示“出现4点”，E表示“出现点数小于5”，F表示“出现点数为偶数”；解答下列各题。
（1） A与B，与的关系如何？
解答略。
例8 向指定目标射击3次，以A1，A2，A3分别表示事件“第一、二、三次击中目标”，试用A1，A2，A3表示下列事件。
(1)只击中第一次；（2）只击中一次；（3）三次都未击中；（4）至少击中一次。
解：（1）事件“只击中第一次”意味着第一次击中，第二次和第三次都未击中同时发生，所以“只击中第一次”可表示为.
(2) 三个事件“只击中第一次”、“只击中第二次”、“只击中第三次”任意一个发生都意味着”“只击中一次”发生，并且上述三个事件是两两互斥的，所以,只击中一次”可表示为.
（3）事件“三次都未击中”意味着“第一次、第二次、第三次未击中”同时发生，所以它可表示为.
(4)事件“至少击中一次”可表示为A1∪A2∪A3.
