第七讲 连续型随机变量
重点：连续型随机变量概率密度函数的性质、正态分布的性质及计算。
难点：连续型随机变量概率密度函数的性质。
一、连续型随机变量的基本概念
离散型随机变量并不能描述所有的随机试验，对于可在某一区间内任意取值的随机变量X，由于它的值不是集中在有限个或可列个点上，因此只有知道其取值于任一区间上的概率P{a<X≤b}（其中，a<b为任意实数），才能掌握它取值的概率分布情况。对于这种取值非离散型的随机变量，其中有一类很重要也很常见的类型，就是所谓的连续型随机变量。
定义1 设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使得对任意实数x有
则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的分布密度或概率密度或密度函数。
注 易知连续型随机变量的分布函数是连续函数。
f(x)有如下性质：
1）f(x)≥0（非负性）；
反之，可以证明，定义在R上的任一函数，若满足上面两个条件，则它一定是某个连续型随机变量的概率密度。
.
4) 若f(x)在点x连续，则有F’(x)= f(x)。
5）X为连续型随机变量，则P{ X=a}=0,由此可知若A是不可能事件，则P{ A}=0，反之，若P{ A}=0，A不一定是不可能事件；同理，若A是必然事件，则P{ A}=1，反之，若P{ A}=1，A不一定是必然事件。
注 性质1）表明f(x)位于x轴上方；2）说明密度函数与横轴之间的面积等于1; 3) 说明事件{a<X≤b}的概率等于区间(a,b)上密度函数f(x)之下，横轴之上的曲边梯形的面积（如图1）；4)给出求f(x)的方法，（F’(x)= f(x)）；5)说明计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分区间的开闭。即
。
图1
例1 设连续型随机变量X的密度函数为
，
试确定常数k，并求P{X>1}。
，
解得k=3。 于是X的概率密度为
。
。
例2 设连续型随机变量X的分布函数为
试求1）常数A,B； 2）密度函数f(x)； 3）X落在区间（1，2）内的概率。
，
又因F(x)在x=0处连续，故
。
从而B=-A=-1，所以
。
（2）对F(x)求导，得X的概率密度为
。
（3）X落在区间（1，2）内的概率为
。
二、均匀分布
设连续型随机变量X在有限区间(a,b)内均匀取值，其密度函数为
，
则称X在(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)，容易求得其分布函数为
，
其密度函数图像如图2
图2
服从(a,b)上均匀分布的随机变量的物理意义是：落在区间外的概率为0，落在区间内的概率为1.0。落在(a,b)任一子区间(c,d)内概率只与区间长度有关，与位置无关。
例3 某公共汽车展从上午7时起，每15分钟来一辆车，7:00,7:15,7:30,7:45等时刻到站。如果某乘客达到此站的时间为7:00到7:30之间服从均匀分布的随机变量，求他等候时间少于5分钟就能乘车的概率。
解 设乘客7时过分钟达到此站，由题意知，X在(0，30)上服从均匀分布，其密度函数为
。
为使等候时间少于5分钟，此乘客必须且只需在7:10到7:15之间或在7:25到7:30之间到达车站。因此，所求概率为
。
三、指数分布
若连续型随机变量X的密度函数为
如图3,则称X服从参数为λ的指数分布，记为X~π(λ)，容易求得X的分布函数为
图3
指数分布用于刻划各种“寿命“。
例4 已知随机变量的密度函数为
，
求1) P{X>100}； 2）x取何值时，才能使P{X>x}<0.1
。
四、正态分布
1．正态分布的定义及其性质
在实际问题中，有很多这样的随机变量，它是由许多相互独立的因素叠加而成，而每个因素所起的作用是微小的，这类随机变量具有“中间大，两头小”的特点。我们用所谓的正态分布来近似地描述这类随机变量。
定义2 若连续型随机变量X的密度函数为
，
其中μ,σ2为常数且σ>0，则称X服从参数μ,σ2的正态分布或高斯分布，记为X~N(μ,σ2)
正态分布的密度函数f(x)的性质：
1）f(x)关于x=μ对称；
2）f(x)在x=μ处达到最大值；且x→±∞时，f(x)→0。这说明同样长度的区间，当区间离μ越来越远，X落在该区间上的概率越小,如图4。
图4 图5
3）f(x)在x=μ±σ处有拐点，以x轴为渐进线；
4）在 f(x)中，μ为位置参数，σ为形状参数。若固定σ，改变μ的值，则f(x)的图形延x轴平行移动而不改变形状。若固定μ，改变σ的值，σ越大，f(μ)越小，f(x)越扁平；σ越小，f(μ)越大，f(x)图形越陡。（如图5）
。
2．标准正态分布及其计算
称μ=0,σ=1的正态分布为标准正态分布，记为X~N(0,1)。其密度函数为
，
分布函数为
；
由φ(x)=φ(-x)可知Φ(-x)=1-Φ(x)。
标准正态分布的分布函数Φ(x)的值可通过查表及Φ(-x)=1-Φ(x)求得。而一般的正态分布的分布函数F(x)与Φ(x)的关系如下
。
。
例5 设X~N(0,1)，利用标准正态分布表计算
1)； 2) ； 3) ； 4) 。
解答略。
例6 X~N(1,4)，求 1)P{0<X<1.6}； 2）P{X>2.3}；
求常数C，使得P{X>C}=2P{X<C}。
解 1）、2）解答略。
。，
