第十讲 二维连续型随机变量
重点：分布密度和分布函数的性质难点：边缘分布和分布函数的求解
一、二维连续型随机变量的概念
1.定义：设F(x,y)是二维随机变量（X,Y）的联合分布函数，如果存在非负可积函数f(x,y)，使得对于任意实数x,y有则称（X,Y）是二维连续型随机变量，称f(x,y)为（X,Y）的联合概率密度或密度函数。
2.概率密度f(x,y)的性质
（非负性）
（归一性）
例1.设是平面上一有界区域，其面积为A，若（X,Y）的联合密度函数为
则称（X,Y）在区域上服从二维均匀分布，设，求。
例2.设（X,Y）的密度函数为
求：（1） 常数K，
解：（1）由归一性
1==
二、二维连续型随机变量的边缘分布
设f(x,y)为二维连续型随机变量（X,Y）的密度函数，由边缘分布函数定义
由密度函数定义，可知（X,Y）关于边缘密度函数为。
同理，（X,Y）关于的边缘密度函数为。
例3.设（X,Y）的密度函数为
求（1）K；（2）联合分布函数F(x,y)；（3）的边缘密度函数f(x,y)；（4）P{0<X<1,0<Y<2}
解：（1）（略）K=12
（2）当x≤0或y≤0时，f(x,y)=0，故F(x,y)=0，
当x>0且y>0时
例4.已知（X,Y）的联合密度函数为
求（1）常数A；（2）X,Y的边缘密度函数fX(x),fY(y)
,
例5.设（X,Y）的密度函数为
其中，，，，均为常数，且，，，则称（X,Y）服从参数为，，，，的二维正态分布，记作（X,Y）~。求其边缘密度函数。
解：； 。（只需知道结论）
注：由上题可看出fX(x),fY(y)与ρ无任何关系，即对于不同的ρ，可求出相同的边缘密度。因此可知，联合密度决定了边缘密度，但知道边缘密度却不能决定（X,Y）的联合密度。
三、连续型随机变量的独立性
对于二维随机变量（X,Y）,X,Y独立等价于F(x,y)=FX(x)FY(y)，F(x,y)若（X,Y）为连续型随机变量，求导即得f(x,y)= fX(x) fY(y)。
定义1,若二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度和边缘密度满足f(x,y)= fX(x) fY(y)，则称X与Y相互独立。
定义2,设(X1,X2,…,Xn)是维连续型随机变量，若其联合密度函数f(x1,x2,…,xn)与边缘密度函数满足
则称X1,X2,…,Xn相互独立。
例6.一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时，设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室时间差不超过1/12小时的概率。
解：用X,Y分别表示负责人和他的秘书到达办公室的时间，则X,Y的密度函数分别为
由于X,Y独立，可知（X,Y）的概率密度为
