第十一讲 二维随机变量函数的分布
重点：二维离散型随机变量函数的分布，二维连续型随机变量和的分布难点：二维连续型随机变量和与商的分布
一、二维离散型随机变量函数的分布
设（X,Y）是二维离散型随机变量，g(x,y)是二元连续函数，则Z=g(X,Y)为一元离散型随机变量。设Z,X,Y的可能取值为、、。令
例1.设（X,Y）的分布率
Y
X
-
-1
2
求（1）；（2）的分布率
解：（1）的分布率为
-
（2）的分布率为
-
例2.设、独立，且,,求的分布率解,的可能独立取值为0,1,2,…
即。此性质称为泊凇分布的再生性（可加性）。类似地，二次分布具有可加性，即若,且相互独立，则。此性质可推广到有限个的情形。
二、二维连续型随机变量函数的分布
1．一般情况，
设（X,Y）是二维连续型随机变量,其联合密度函数为f(x,y)，则随机变量函数Z=g(X,Y)，（g(x,y)是二元连续函数）是一维连续型随机变量，其分布函数为
进而求出其密度函数
例1.设X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且与相互独立，求的密度函数。
解：当时，
当时
2．特殊情况
（1）的分布设f(x,y)为（X,Y）的密度函数，则的分布函数为
从而
利用对称性又有
若X,Y相互独立，则
则
例2.设X,Y相互独立,且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，求的密度函数。
解：由于X,Y相互独立，所以
即X+Y~ N(0,2)
推广：若，且X,Y独立，则；有限个相互独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布。
例3.设X,Y独立同分布，其密度函数均为
求的概率密度。
（2）的分布
令
例4.设（X,Y）的联合密度为
求的密度函数。
注：注意区间的划分例5.设X,Y相互独立，其密度函数分别为
求的密度函数。
解：（略）
（3） 的分布设X,Y相互独立，其分布函数分别为FX(x),FY(y)。用Fmax(z),Fmin(z)分别表示M,N的分布函数，则
推广到个相互独立的随机变量：
设相互独立，其分布函数分别为则，的分布函数分别为
例6.设系统由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成，连接方式分为（1）串联；（2）并联；（3）备用。设L1,L2的寿命X,Y的概率密度分别为
，
其中且，试写出上述三种方式下的寿命的概率密度。
解：由已知X,Y的分布函数分别为
，
（3）
