第三讲 条件概率与全概率公式
重点：条件概率的定义、全概率公式。
难点：全概率公式和贝叶斯公式。
一、条件概率
在许多实际问题中，除了 考虑P(B)外，还需要考虑已知事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，我们称这种概率为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为P(B|A)
例如，掷骰子实验中，A表示“点数为偶数”，B表示“点数不超过5”，则P(A)=3/6，P(B)=5/6，P(AB)=2/6，若已知事件A发生，样本空间缩减为ΩA={2，4，6}，求P(B|A)，即在ΩA中求事件B发生的概率，此时P(B|A)=2/3,而
，
显然P(B)与P(B|A)不同。这个结论虽然是从掷骰子实验中推出，但它适用于一般情形。为此我们定义：
定义1 设A、B是随机试验E的两个事件，P(A)>0，则称

为事件A发生的条件下，事件B的条件概率。
注1 P(B|A)与P(AB)的区别：前者是在A发生的前提下，计算事件B的发生概率，后者是指二者同时发生的概率；
注2 P(B)=P(B|Ω)。
注3 可以验证条件P(B|A)满足概率的公理化定义中的三个公理，即
。


因此概率的一些性质仍适用于条件概率，如对任意的B1,B2有：
；
；
。
注4 在古典概型中，计算条件概率可以用定义，也可以在缩减的样本空间ΩA=Ω∩A中计算，后者更简单。
例1 一盒子中装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，不放回。事件A表示“第一次取到的是一等品”，事件B表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求P(B|A)。
解：1）样本空间改变法：
ΩA＝{从2只一等品，2只二等品中任取一只的所有取法}，所以
。
2）定义法：
Ω={从3只一等品，2只二等品中取两只所有取法}，所以Ω中所含的基本事件数为；
AB表示“从3只一等品，2只二等品中取两只,第一次取一只一等品，第二次取到一只一等品”,所以AB中所含的基本事件为，
A表示“从3只一等品，2只二等品中取两只,第一次取一只一等品，第二次任取”,所以A中所含的基本事件为，故
。
例2 甲乙两城市位于长江下游，根据以往记录，甲市一天中雨天的比例为，乙市为，两市同时下雨比例为，求：
已知甲市某天下雨，求乙市这天也下雨的概率；
已知乙市下雨得条件下，求甲市也下雨的概率；
甲乙两市至少有一市下雨的概率。
解答略。
二、乘法公式
由条件概率的定义，得到P(AB)=P(A)P(B|A) 当P(A)>0时；
P(AB)=P(B)P(A|B) 当P(B)>0时。
上述两式统称为乘法公式。
注：公式中必须要求P(A)>0,P(B)>0，否则两个条件概率无意义。
上式乘法公式可以推广到n个事件的情形：
，
。
例3 设袋中装有r只红球，t只白球。每次取一只观察其颜色并放回，再放入a只同色球，连续取四次，试求第一次、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解 以表示事件“第次取到红球”，则分别表示第三次、第四次取到白球，由乘法公式所求概率为：
三、全概率公式和贝叶斯公式
复杂问题可以转化为一些简单问题，例如一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂，要求它的次品率，可以先求出甲、乙、丙三厂的次品率分别是多少，然后求这批产品的次品率。上述问题的直观解释是：多“原因”都可能导致某一“结果”发生，求“结果”发生的概率（称此概率模型为“多原因一结果”型）；再如盒子中有黑白两类球，进行不放回摸球两次，求第二次摸到黑球的概率，可先求出第一次取到黑球时，第二次摸到黑球的概率以及第一次取到白球时，第二次摸到黑球的概率，再求第二次摸到黑球的概率，此问题的直观解释是：试验分为两步：求第二步某个随机事件发生的概率（称此概率模型为“两步型”）。
对于上述两类问题，从概率上表达它们发生可能性之间关系的一个公式就是全概率公式。
定义2 设有样本空间Ω，A1，A2，…，An是样本空间Ω的n个事件，满足
；
；
则称A1，A2，…，An是Ω的一个有限剖分（完备事件组），且记Ω=A1+A2+…+An。
注 1）一个样本空间剖分方法有多种，每个Ai可能是基本事件，也可能不是。在一次试验中，剖分A1，A2，…，An中有且仅有一个发生。
2）对于多“原因一结果”型的概率问题，常把所有原因作为样本空间的一个剖分；对于两步型，常把第一步的所有可能结果作为样本空间的一个剖分。
定理1（全概率公式） 设A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个剖分，P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n对任意事件B，有
。
全概率公式告诉我们怎样在已知“原因” Ai发生的概率P(Ai)的情况下求“结果”B的概率。有时需考虑其逆问题：已知“结果”B发生，问在这一条件下，各“原因”发生的条件概率是多少？下面我们引入求P(Ai|B)的公式―――贝叶斯（Bayes）公式或逆概率公式。
定理2 （贝叶斯公式） 设A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个剖分，P(Ai)>0，i=1,2,3,…,n；对任意正概率事件B，有
。
例4 某保险公司统计认为，人分为两类：一类是易出事故的人，一年出事故的概率为；另一类人比较谨慎，他们出事故的概率为。假定第一类人占，那么
（1）一个新客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？
（2）如果一个新客户在买保险后一年内出了事故，问他是易出事故的人的概率是多少？
分析：全概率公式：求“结果”发生的概率。
Bayes公式：求已知“结果”发生的条件下，“原因”发生的条件概率。
解 设B表“客户在购买保险后一年内出事故”，A表“易出事故的人”，表“比较谨慎的人”，显然A和构成了样本空间的一个剖分。
.
.
例5 袋中有个红球，个白球，作不放回的摸球两次，求（1）第二次摸到红球的概率，（2）已知第二次摸到红球，求第一次摸到的也是红球的概率。
分析：全概率公式：求第二步中某事件发生的概率；
Bayes公式：求已知第二步中某事件发生的条件下，第一步中某事件发生的条件概率。
解 设A表“第一次摸到红球”，表“第一次摸到白球”，B表“第二次摸到红球”。显然A和为样本空间的一个剖分，且

（1）由全概率公式知

（2）由贝叶斯公式知