第九讲 二维随机变量的概念及二维离散型随机变量
重点：；二维型随机变量的分布函数；二维离散型随机变量的分布律难点：二维型随机变量的分布函数
一、二维随机变量的概念及其分布函数
1．概念定义1,设Ω是随机试验E的样本空间，X(ω)，Y(ω)是定义在Ω上的随机变量，称有序组（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量，简记为R.V.(X,Y)。称(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量或n维随机向量。
定义2,设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，称二元函数
为(X,Y)的分布函数，或称为X与Y的联合分布函数。
2．分布函数F(x,y)的性质
（1）F(x,y)关于x和y单调不减，即当x1< x2时,有F(x1,y)≤F(x2,y)；当y1< y2时，F(x,y1)≤F(x,y2)；
（3）对任意x1< x2,y1< y2，有
即遵守“多退少补”准则；
（4）F(x,y)关于x或y右连续。
3,边缘分布函数对于二维随机变量(X,Y)，X,Y作为个体为一维随机变量，存在各自的分布函数，称为边缘分布函数，用FX(x),FY(y)表示。
=；
二、二维离散型随机变量
1,二维离散型随机变量的分布律定义1.若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。设(X,Y)的可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,… 令
则称pij (i,j=1,2,…)为随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，也称联合分布律，该分布律具有如下性质：
由二维离散型随机变量(X,Y)的定义，可知X,Y为一维离散型随机变量，其分布律如下：
称 为(X,Y)关于X,Y的边缘分布律。也可将，， 列在同一表格中，如下：
Y
X
例1.一整数X随机地在1，2，3，4中取值，而另一整数Y随机地在1~X取值，求X,Y的分布律及边缘分布律。
Y
X
1
2
3
4
2．离散型随机变量的相互独立性
A,B独立等价于P(AB)= P(A)P(B)
令A={X=xi},B={Y=yj}，此两事件独立的充要条件为
定义2.若对离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),i,j=1,2,…，有
则称随机变量X和Y相互独立。
定义3.设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别为二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对所有的x,y有 F(x,y)= FX(x) FY(y) 则称随机变量X和Y是相互独立的。
例2.将一硬币连续抛两次，令
验证X和Y独立。
证明：P{X=i,Y=j}=1/4,i=0,1; j=0,1
因此，对于任意i,j=0,1，P{X=i,Y=j}= P{X=i} P{Y=j}。X,Y独立。
推广：对于n维随机变量(X1,X2,…,Xn)定义联合分布函数
，
.
