第十七讲 参数的点估计
重点：矩法估计、极大似然估计难点：极大似然估计
在很多场合我们凭经验能知道总体的分布形式，但分布函数中的某些参数是未知的，这时我们就要利用样本资料对这些参数进行估计，如何利用样本资料求这些参数的近似值，就是这讲课我们要解决的问题。
一、参数估计含义
假设总体的分布类型已知，但其所含的某些参数未知，利用样本资料，对这些未知参数进行估计称为参数估计。参数估计又分为点估计和区间估计，这次课我们讲点估计及其评价标准。
二、点估计含义
设总体X的分布函数形式已知，θ是未知参数，是总体X的一个样本，是相应的样本观测值，点估计就是构造一个适当的统计量，用它的观测值作为未知参数的近似值，称为θ的估计量，称为θ的估计值。点估计主要有矩法估计和极大似然估计，下面我们就依次学习这两种方法。
三、矩估计法
矩估计法定义：设总体X的分布律为或概率密度为，为待估未知参数，总体的前k阶矩
，
存在，用样本矩作为总体矩的估计量，用样本矩的连续函数作为总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法称为矩估计法做法：
（1）找出待估参数，写出总体分布，求出总体前k阶矩,
（2）令，，得关于的方程组。解方程组得的估计量，称为的矩估计量,
注意：有几个要估计的参数就求出总体的前几阶矩。
例题例1 设总体X～(0-1)分布,参数为p，求p的矩估计量解：X的分布律为P{X=x}=px(1-p)1-x x=0,1,E(X)=p,令E(X)=A1,得=
应用1：口袋中的黑白棋子中黑子的比例为p，0,1,0,0,0,1,0,0,0,0为样本值，则p的矩估计值为
应用2,在池塘内捞1000条鱼做上记号放回，过一段时间再捞1000条鱼，已知其中有5条鱼有记号,则p的矩估计值为,从而鱼的尾数n的矩估计值为
例2 设总体的数学期望为μ，方差为σ2，但为未知参数，求μ和σ2矩估计量
4．矩法估计的优缺点优点：（1）方法简单（2）对大样本精度高缺点,对小样本精度低有没有无论样本容量大小，精度都比较好的参数估计方法呢？有。下面我们讲的极大似然估计就是这样的方法。
四、极大似然估计
极大似然估计的统计思想
例3 口袋中的黑棋子所占的比例为0.1或0.9，从中任取一个棋子为白子，问黑棋子的比例为多少？
解：设黑子比例为p，用A表示取白子，则取到白子的概率为P(A)=1-p，当p=0.1时P(A)=1-p=0.9；当p=0.9时P(A)=1-p =0.1,由于作一次试验取白子事件A就发生了，所以A是大概率事件，因此p应是使A概率很大的值，由此得到极大似然估计的统计思想：参数θ应该是使在一次试验中就发生的事件概率很大的值
极大似然函数、极大似然估计定义
总体为X,X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本，x1,x2,…,xn是相应的样本观测值,为待估参数，参数的可能取值全体称为参数空间。参数空间记为
若总体X为离散型随机变量，分布律为P{X=x}=f(x,θ),x∈R则
称中使达到最大的为θ的极大似然估计值若总体X为连续型随机变量，密度函数为f(x,θ),x∈R则
称中使达到最大的为θ的极大似然估计值
称中使达到最大的为θ的极大似然估计值，称为θ的估计量
极大似然估计的步骤
（1）写出总体的X的分布律或概率密度函数f(x,θ)
（4）对求（偏）导得似然方程
（5）解似然方程，得极大似然估计值
注意：最关键的一步就是写出极大似然函数，掌握写似然函数的窍门。
例题
例4 设总体X～(0-1)分布,参数为p，求p的极大似然估计量解：X的分布律为P{X=x}=px(1-p)1-x x=0,1
所以p的极大似然估计量为
例5 某批产品的寿命X服从参数为的指数分布，X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本，求的极大似然估计量解：X的密度函数为
解似然方程
所以的极大似然估计量为=
例6 全国所有成年男子的身高X~N(μ,σ2)，X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本，求μ,σ2的极大似然估计量解：X的密度函数为
解似然方程组
五、估计量的评价标准
无偏性
定义：θ为待估参数，为θ的估计量，若则称为θ的无偏估计量例7 证明为总体数学期望的无偏估计量,为总体方差的无偏估计量
有效性
定义,和为θ的两个无偏估计量，若则称是比有效的无偏估计量例8 证明 是线性无偏估计量，中最有效的
一致性
定义：为θ的估计量，若则称为θ的一致估计量
