第五章 大数定律和中心极限定理 (简介 )
第一节 大数定律定义 5.1 (依概率收敛 )
设 是一个随机变量序列,?是随机变量或常数。若对任何?>0，都有就称 依概率收敛 于?，记为 。
}){(21 nn 或记，，，,
，1)(lim nn P
}{ nn
P
定义 5.2 (以概率 1收敛、几乎处处收敛 )
若 P( )=1，则称 以概率 1收敛 于?，或称几乎处处收敛 于?，记为 。
}{ n?
n
a.s.
nnlim
P P定理 5.1 设 g(x,y)在 (a,b)处连续，则
，,ba nn
).()( bagg nn,,
P
定义 5.3(依分布收敛 )
设 和?的分布函数分别为 和 F(x)，若则称 弱收敛 于 F(x)，记为 。
称 依 分布收敛 于?，记为 。
}{ n?
}{ n?
)}({ xFn
)}({ xFn )()( xFxF n?
W
n
L
)()(lim xFxF nn
定理 5.2 (几种收敛之间的关系 )
1,若,则 。
2,设?为常数，则 当且仅当 。
3,若,则 。
n
P
n
L
nn
n
a.s.
n
P
P L
定义 5.4 (独立随机变量序列 )
设 是一个随机变量序列，若对任何 n，序列中前 n个随机变量 都相互独立，则称 为 独立随机变量序列 (简称 相互独立 )。
}{ n?
}{ n?
}{ n?
n,，,?21
定理 5.3 (切比雪夫大数定律 )
设 相互独立，且令
}{ n?,，，，,?21)()( 2 iDE ii
.1
1
n
n
i
in n,则
P
定理 5.4 (辛钦大数定律 )
设 相互独立，且服从相同分布，
令
.1
1
n
n
i
in n,则
P
}{ n，，,21)( iE i
说明,1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相同。
2,这两个大数定律实质上是指出,n个满足某种条件的相互独立随机变量的算术平均近似于一个常数。
定理 5.5 (贝努利大数定律 )
设 A在 n重贝努利试验中发生 次,p=P(A)，则对任何
>0，有 An
.1)(lim
p
n
nP A
n
说明,贝努利大数定律是说，当 n很大时，
故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。
，1)( pnnP A
例 1(2003年数学三考研试题填空题 )
设总体 X服从参数为 2的指数分布,为来自总体 X的简单随机样本，则当 n时，
依概率收敛于 。
nXXX,，,?21
n
i
in XnY
1
21
第二节 中心极限定理定理 5.6 (列维 -林德贝格 中心极限定理 Levy-Lindeberg)
( 独立同分布中心极限定理 )
设 随机变量 相互独立 且服从 同一分布,且具 有相同 的数学 期望和方差,
则随机变量即 的分布函数 对任何 x满足
n,，,21
,，，，，,niDE ii 21)( )( 2
，,)10(1 N
n
n
n
i
i
n?
L
n? )(xFn
.
2
1
)(lim)(lim 21
2
dtex
n
n
PxF
tx
n
i
i
n
n
n
推论 ( 德莫佛 -拉普拉斯 中心极限定理 )
设 ～ B(n,p) (0<p<1)，则对任何 x，有
n?
.
2
1
)
)1(
(lim 2
2
dtex
pnp
np
P
tx
n
n
说明：当 n很大时，
).10(1,～ N
n
n
n
i
i
.
例 3 (2001年数学四考研试题十一题 )
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，
假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克。若用最大载重量为 5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.
(?(2)=0.977，其中?(x)是标准正态分布的分布函数 )
例 2 (2002年数学四考研试题 )
设随机变量 相互独立，
则根据列维 -林德贝格中心极限定理，当 n充分大时,近似服从正态分布，只要 ( ),
(A)有相同的数学期望 (B) 有相同的方差
(C ) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布
nXXX,，,?21
nXXX,，,?21
.
1
n
i
in XS
nS
第一节 大数定律定义 5.1 (依概率收敛 )
设 是一个随机变量序列,?是随机变量或常数。若对任何?>0，都有就称 依概率收敛 于?，记为 。
}){(21 nn 或记，，，,
，1)(lim nn P
}{ nn
P
定义 5.2 (以概率 1收敛、几乎处处收敛 )
若 P( )=1，则称 以概率 1收敛 于?，或称几乎处处收敛 于?，记为 。
}{ n?
n
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P P定理 5.1 设 g(x,y)在 (a,b)处连续，则
，,ba nn
).()( bagg nn,,
P
定义 5.3(依分布收敛 )
设 和?的分布函数分别为 和 F(x)，若则称 弱收敛 于 F(x)，记为 。
称 依 分布收敛 于?，记为 。
}{ n?
}{ n?
)}({ xFn
)}({ xFn )()( xFxF n?
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定理 5.2 (几种收敛之间的关系 )
1,若,则 。
2,设?为常数，则 当且仅当 。
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n
P
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定义 5.4 (独立随机变量序列 )
设 是一个随机变量序列，若对任何 n，序列中前 n个随机变量 都相互独立，则称 为 独立随机变量序列 (简称 相互独立 )。
}{ n?
}{ n?
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定理 5.3 (切比雪夫大数定律 )
设 相互独立，且令
}{ n?,，，，,?21)()( 2 iDE ii
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定理 5.4 (辛钦大数定律 )
设 相互独立，且服从相同分布，
令
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P
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说明,1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相同。
2,这两个大数定律实质上是指出,n个满足某种条件的相互独立随机变量的算术平均近似于一个常数。
定理 5.5 (贝努利大数定律 )
设 A在 n重贝努利试验中发生 次,p=P(A)，则对任何
>0，有 An
.1)(lim
p
n
nP A
n
说明,贝努利大数定律是说，当 n很大时，
故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。
，1)( pnnP A
例 1(2003年数学三考研试题填空题 )
设总体 X服从参数为 2的指数分布,为来自总体 X的简单随机样本，则当 n时，
依概率收敛于 。
nXXX,，,?21
n
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1
21
第二节 中心极限定理定理 5.6 (列维 -林德贝格 中心极限定理 Levy-Lindeberg)
( 独立同分布中心极限定理 )
设 随机变量 相互独立 且服从 同一分布,且具 有相同 的数学 期望和方差,
则随机变量即 的分布函数 对任何 x满足
n,，,21
,，，，，,niDE ii 21)( )( 2
，,)10(1 N
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推论 ( 德莫佛 -拉普拉斯 中心极限定理 )
设 ～ B(n,p) (0<p<1)，则对任何 x，有
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例 3 (2001年数学四考研试题十一题 )
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，
假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克。若用最大载重量为 5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.
(?(2)=0.977，其中?(x)是标准正态分布的分布函数 )
例 2 (2002年数学四考研试题 )
设随机变量 相互独立，
则根据列维 -林德贝格中心极限定理，当 n充分大时,近似服从正态分布，只要 ( ),
(A)有相同的数学期望 (B) 有相同的方差
(C ) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布
nXXX,，,?21
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