第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数例 1 设 A是一个事件，令
.A 1 A0 发生；若,不发生，若｛?A?
从而 A=( =1),P(A)=P( =1)A? A?
例 2 产品寿命测试,设 表示产品寿命，则 是个变量，
随不同的寿命取不同的值,
.0
定义 2.1 设 Ω是随机试验 E的样本空间，若对每个有一个实数 和它对应，就得到一个定义在 Ω上的单值实函数,我们称 为随机变量，记为 。
，
)(
)()(
一、随机变量的概念随机变量与实函数比较：
随机变量,定义域 Ω，
实函数,定义域；,)(
f ).( )( xfxDxD?，，,
两者区别：
1,试验之前只知道随机变量的取值范围而不能预知随机变量具体取什么值；
2,随机变量的定义域 ----样本空间一般不是数域。
随机变量一般用 或大写字母 X,Y,… 表示。,，
注意,对任一实数 x,( )都是事件。x
二、随机变量的分布函数及其基本性质定义 2.2
设 是随机变量,是任意实数，称函数为 的分布函数。
x
xxPxF )()(,?
对于任意两实数 有，，，
2121 xxxx?
)()()()()( 121221 xFxFxPxPxxP
分布函数的 基本性质,
1,F(x)是一个不减的函数；
2,0
3,F(x)是右连续的，即 F(x+0)=F(x)。；，且,1)(lim) 0)(lim 1)( xFF(xF)F(-xF xx
可以证明：若 F(x)满足以上性质，则必是某随机变量的分布函数。
随机变量落在几种常见区间的概率计算公式：
1,P( <x)=F(x-0)；
2,P( >x)=1-F(x)；
3,P( x)=1-F(x-0)。
第二节 离散型随机变量一、离散型随机变量及其分布定义 2.3
设 为一随机变量，若 的所有可能取值为有限个或可列个，则称 为离散型随机变量。
设 为离散型随机变量，其可能取值为｛ ｝，称为 的分布律 (概率分布 )。
kx
，，,21 )( kxPp kk?
离散型随机变量的分布列
p
21 nxxx
21 nppp
离散型随机变量的分布函数：
xx
k
xx
k
kk
pxPxPxF )()()(
其分布函数为一阶梯函数,
离散型随机变量的基本性质,(教材 p 40)
1,0,k=1,2,……
2,=1,
kp
k kp
例 1 设随机变量 的分布列为
1/4 1/4 1/4p
-1 2 3
求 的分布函数，并计算 P( ),P( )，
P( )。
3/1
2/53/4
32
二、几种常见的离散型随机变量及其分布
1,0-1分布 (贝努利分布、两点分布 ) (教材 p.41)
若随机变量 只取 0,1两个值，其概率分布为
P( =1)=p,P( =0)=1-p,(0<p<1)，
则称 服从 参数为 p的 0-1分布，又称 贝努利分布或两点分布。
0-1分布的分布律可用统一表达式表述为
1010)1()( 1 pkppkp kk,，，?
2、二项分布
(1) 二项分布的概念定理 2.1
设在 n重 贝努利试验中,P(A)=p,为 n次试验中 A发生的次数，则有
.10)1()( nkppCkP knkkn,，，,
定义 2.4(二项分布的定义 )
若离散型随机变量 的分布律为则称 服从 参数为 n,p的二项分布，记为 ～ B(n,p)。
..10110)( nkqppqpCkP knkkn,，，，，,
例 2 设有各耗电 7.5千瓦的设备 10台，每台设备的使用情况是相对独立的，且每台设备每小时平均工作 12分钟。设对这
10台设备提供容量为 48千瓦的配电设施，试求该配电设施超载的概率。
问：若要使 配电设施超载的概率小于 0.01，需配备多少千瓦的配电设施？
(2) 二项分布的最可能值结论,1) 若 p>n/(n+1)，则 P( =k)单调增加，在 k=n处达到最大；
2) 若 p n/(n+1)，当 m=(n+1)p为整数时，在 k=m和 k=m-1处同时 达到最大；若 (n+1)p不为整数，则在 k=[(n+1)p]处 达到最大。
问题：设 ～ B(n,p)，当 k为何值时,P( =k)达到最大？
3,超几何分布若离散型随机变量 的分布律为其中 N>M,n N-M,s=min{M,N}，则称 服从 超几何分布。
skCCCkP nNkn MNkM,，，,?21/)(
定理 2.2
在超几何分布中，设 n固定不变,M依赖于 N的变化，且极限 存在,则有
NMp N /lim
knkk
n
n
N
kn
MN
k
MN ppCCCC
)1(/lim
4,泊松 (Poisson)分布例 A,苏果超市在南京的商业网点布局例 B,电话总机在一分钟收到的电话呼叫次数例 C,银行在每段时间间隔到达的顾客数定义 2.5
若离散型随机变量 的分布律为则称 服从 参数为 的泊松 (Poisson)分布，记为? )(～
0 210/)(，，，！,kkekP k
例 3,公交公司为合理调度车辆，要了解一段时间内在某车站候车的乘客数。经市场调查，发现某车站平均每半分钟有一名乘客到达。现求：在任意 5分钟内
1) 有不多于 5名乘客的概率；
2) 多于 10名乘客的概率。
定理 2.3 (Poisson定理 )
设随机变量,其中 与试验次数 n有关。
若,则
)( nn pnB,～? np
nn nplim
!)1(lim)(lim k
eppCkP kkn
n
k
n
k
nnnn
说明：一般，设 ～ B(n,p)，当 时，就可使用近似公式 05.020 pn,
!
)()1()(
k
enpppCkP npkknkk
n
当 时近似公式近似效果更佳。10100 npn,
例 4 某电脑公司要为其售出产品配备售后服务人员。 设售出
80台电脑，每台电脑发生故障的概率为 0.01，且故障能由一人排除。公司现欲在两种方案中进行选择：第一种方案是由 4人维护，每人负责 20台；第二种方案是由 3人共同维护 80台。
试比较这两种方案在电脑发生故障时不能及时维修的概率。
5,几何分布定义 2.6
若离散型随机变量 的分布律为则称 服从 参数为 p的几何分布。
10 21)1()( 1 pkppkP k?，，，?
第三节、连续型随机变量一、连续型随机变量的概念定义 2.7
设 F(x) 为随机变量 的分布函数，若存在非负的函数 f(x)，
使对一切实数 x，都有则称 为连续型随机变量，称 f(x)为 的概率密度函数 (概率密度、密度函数 )。
x
dttfxF )()(
概率密度函数的 性质,
。处连续，则在若；
)()(,4
)()()()(,3
1)(,2
0)(,1
000
xfxFxf ( x)
dxxfaFbFbaP
dxxf
xf
b
a
连续型随机变量与离散型随机变量的区别：
1) 连续型随机变量没有分布律；
2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
。，,)(0)( 00 xxP?
结论,设 f(x)是非负函数，且满足关系式则 f(x)必是某随机变量 的概率密度函数,的分布函数为
,1)( xf
x
dttfxF,)()(
例 1
已知随机变量 的概率密度函数为求,1) 系数 A； 2) 3) 的分布函数 F(x).
；)10(P
xAexf x )(,
二、几种常见的连续型随机变量及其分布
1,均匀分布定义 2.8
若连续型随机变量 的密度函数为则称 在区间 (a,b)上服从均匀分布。
其它，
，
｛
0
)/(1
)(
bxaab
xf
的分布函数为?
.1
)/()(
0
)(
bx
bxaabax
ax
xF
，；，；，｛
例 2 设 k在 (0,5)服从均匀分布。求方程有实根的概率。
0244 2 kkxx
2,正态分布若连续型随机变量 的密度函数为其中,则称 服从 参数为 的正态分布 (或称为正态变量 )，记为 。
0，
)( 2,～ N
xexf
x
2
1)( 2
2
2
)(
，?
dtexF
tx
2
2
2
)(
2
1)(
的 分布函数为正态分布密度函数的 性质
1,f(x)的函数曲线关于 x=μ对称，仅改变?，不改变?，图形不改变形状，仅平移位置，故?又称为 位置参数 。
2,X=?时,为 f(x)的最大值。当?越小，图形越尖,?落在?附近的概率越大。
)2/(1)(f
3,f(x)的函数曲线在 x=μ±?处有拐点，曲线以 OX轴为渐进线。
4,f(x)处处大于零，且有各阶连续的导函数。
当 μ=0,?=1时，称?服从 标准 正态分布,其密度函数记为?(x),分布函数记为?(x)。
dttx
xex
x
x
)()(
2
1
)( 2
2
,
标准 正态分布的性质：
1,?(-x)=?(x)；
2,?(-x)=1-?(x)。
若,设 F(x)为?的分布函数，则有)( 2,～ N
).()( xxF
定理 2.4 若
。，～，则，～ )10()( 2 NN
.1)()()(
)()(2)(
)(1)(
)()()(
)()(
12
21
cc
cP
cc
cP
c
cP
xx
xxP
a
aP；
正态分布的概率 计算公式,设,，～ )( 2 N
例 3,设某产品的寿命 (以小时计 )
若要求 P(120<?<200)>0.8，允许?最大为多少?
。，～ )160( 2 N
3?准则：
设,则?几乎落入区间 (μ-3?,μ+3?)内。)( 2,～ N
3,指数分布定义 2.10
若连续型随机变量? 的密度函数为则称?服从 参数为?的 指数分布。
.00
0)(
x
xexf x｛
其分布函数为
.0,0;0,1{)(
x
xexF x?
指数分布的无后效性 (无记忆性 ):
设?服从参数为?的 指数分布，对任何 s>0,t>0，有
).()( tPstsP ｜
4,?-分布定义 2.11 若连续型随机变量? 的密度函数为则称?服从 参数为?,?的?-分布，记为?～?(?,?)。
.0,0;0),(/)( 1
x
xexxf x｛
-函数的 常用公式
1,?(?)=(?-1)?(?-1)；
2,?(1)=1；
3,?(1/2)=,?
特别，当?=1,?(1,?)是参数为?的 指数分布。
例 4,某产品的寿命 (以小时计 )?具有以下的概率密度：
现从一大批该产品中任取 5只，问其中至少有 2只 寿命大于
1500小时的概率有多大？
.10 0 00
10 0 0/10 0 0)( 2
x
xxxf
，；，｛
第五节 随机变量函数的分布结论,设 是随机变量,是连续函数，则是一维随机变量，称?为 的函数。
X ()y g x? ()gX
X
1,离散型随机变量函数的分布设?是 离散型随机变量，其分布律为
p
21
21
n
n
ppp
xxx
又设 y=g(x)是连续函数，则?=g(?)也是 离散型随机变量，
其分布律为
p
)( ) )(
21
21
n
n
ppp
xg g( xxg
说明：若有 则将其概率合并为,
只写一个。
，)()( ji xgxg? ji pp?
2,连续型随机变量函数的分布例 1
设 ).( 0)( 222 abaNabaN,～，则，，，～
定理 2.3 设连续型随机变量?的密度函数为
y=g(x)有反函数 x=h(y)，则?= g(?)也是 连续型随机变量，其密度函数为其中,?=min{g(a),g(b)},?=max{g(a),g(b)}.
，，,)()( baxxf
.0
)()]([
)(
其它，；，
｛
yyhyhf
yf
例 2 设?～ N(0,1)，求 的分布。
2
例 3 (2003年数学三、四考研试题十一题 )
设随机变量 X的概率密度为
F(x)是 X的分布函数，求 Y= F(X)的分布函数。
.0
]81[)3/(1)( 3 2
其它，；，若，｛ xxxf
.A 1 A0 发生；若,不发生，若｛?A?
从而 A=( =1),P(A)=P( =1)A? A?
例 2 产品寿命测试,设 表示产品寿命，则 是个变量，
随不同的寿命取不同的值,
.0
定义 2.1 设 Ω是随机试验 E的样本空间，若对每个有一个实数 和它对应，就得到一个定义在 Ω上的单值实函数,我们称 为随机变量，记为 。
，
)(
)()(
一、随机变量的概念随机变量与实函数比较：
随机变量,定义域 Ω，
实函数,定义域；,)(
f ).( )( xfxDxD?，，,
两者区别：
1,试验之前只知道随机变量的取值范围而不能预知随机变量具体取什么值；
2,随机变量的定义域 ----样本空间一般不是数域。
随机变量一般用 或大写字母 X,Y,… 表示。,，
注意,对任一实数 x,( )都是事件。x
二、随机变量的分布函数及其基本性质定义 2.2
设 是随机变量,是任意实数，称函数为 的分布函数。
x
xxPxF )()(,?
对于任意两实数 有，，，
2121 xxxx?
)()()()()( 121221 xFxFxPxPxxP
分布函数的 基本性质,
1,F(x)是一个不减的函数；
2,0
3,F(x)是右连续的，即 F(x+0)=F(x)。；，且,1)(lim) 0)(lim 1)( xFF(xF)F(-xF xx
可以证明：若 F(x)满足以上性质，则必是某随机变量的分布函数。
随机变量落在几种常见区间的概率计算公式：
1,P( <x)=F(x-0)；
2,P( >x)=1-F(x)；
3,P( x)=1-F(x-0)。
第二节 离散型随机变量一、离散型随机变量及其分布定义 2.3
设 为一随机变量，若 的所有可能取值为有限个或可列个，则称 为离散型随机变量。
设 为离散型随机变量，其可能取值为｛ ｝，称为 的分布律 (概率分布 )。
kx
，，,21 )( kxPp kk?
离散型随机变量的分布列
p
21 nxxx
21 nppp
离散型随机变量的分布函数：
xx
k
xx
k
kk
pxPxPxF )()()(
其分布函数为一阶梯函数,
离散型随机变量的基本性质,(教材 p 40)
1,0,k=1,2,……
2,=1,
kp
k kp
例 1 设随机变量 的分布列为
1/4 1/4 1/4p
-1 2 3
求 的分布函数，并计算 P( ),P( )，
P( )。
3/1
2/53/4
32
二、几种常见的离散型随机变量及其分布
1,0-1分布 (贝努利分布、两点分布 ) (教材 p.41)
若随机变量 只取 0,1两个值，其概率分布为
P( =1)=p,P( =0)=1-p,(0<p<1)，
则称 服从 参数为 p的 0-1分布，又称 贝努利分布或两点分布。
0-1分布的分布律可用统一表达式表述为
1010)1()( 1 pkppkp kk,，，?
2、二项分布
(1) 二项分布的概念定理 2.1
设在 n重 贝努利试验中,P(A)=p,为 n次试验中 A发生的次数，则有
.10)1()( nkppCkP knkkn,，，,
定义 2.4(二项分布的定义 )
若离散型随机变量 的分布律为则称 服从 参数为 n,p的二项分布，记为 ～ B(n,p)。
..10110)( nkqppqpCkP knkkn,，，，，,
例 2 设有各耗电 7.5千瓦的设备 10台，每台设备的使用情况是相对独立的，且每台设备每小时平均工作 12分钟。设对这
10台设备提供容量为 48千瓦的配电设施，试求该配电设施超载的概率。
问：若要使 配电设施超载的概率小于 0.01，需配备多少千瓦的配电设施？
(2) 二项分布的最可能值结论,1) 若 p>n/(n+1)，则 P( =k)单调增加，在 k=n处达到最大；
2) 若 p n/(n+1)，当 m=(n+1)p为整数时，在 k=m和 k=m-1处同时 达到最大；若 (n+1)p不为整数，则在 k=[(n+1)p]处 达到最大。
问题：设 ～ B(n,p)，当 k为何值时,P( =k)达到最大？
3,超几何分布若离散型随机变量 的分布律为其中 N>M,n N-M,s=min{M,N}，则称 服从 超几何分布。
skCCCkP nNkn MNkM,，，,?21/)(
定理 2.2
在超几何分布中，设 n固定不变,M依赖于 N的变化，且极限 存在,则有
NMp N /lim
knkk
n
n
N
kn
MN
k
MN ppCCCC
)1(/lim
4,泊松 (Poisson)分布例 A,苏果超市在南京的商业网点布局例 B,电话总机在一分钟收到的电话呼叫次数例 C,银行在每段时间间隔到达的顾客数定义 2.5
若离散型随机变量 的分布律为则称 服从 参数为 的泊松 (Poisson)分布，记为? )(～
0 210/)(，，，！,kkekP k
例 3,公交公司为合理调度车辆，要了解一段时间内在某车站候车的乘客数。经市场调查，发现某车站平均每半分钟有一名乘客到达。现求：在任意 5分钟内
1) 有不多于 5名乘客的概率；
2) 多于 10名乘客的概率。
定理 2.3 (Poisson定理 )
设随机变量,其中 与试验次数 n有关。
若,则
)( nn pnB,～? np
nn nplim
!)1(lim)(lim k
eppCkP kkn
n
k
n
k
nnnn
说明：一般，设 ～ B(n,p)，当 时，就可使用近似公式 05.020 pn,
!
)()1()(
k
enpppCkP npkknkk
n
当 时近似公式近似效果更佳。10100 npn,
例 4 某电脑公司要为其售出产品配备售后服务人员。 设售出
80台电脑，每台电脑发生故障的概率为 0.01，且故障能由一人排除。公司现欲在两种方案中进行选择：第一种方案是由 4人维护，每人负责 20台；第二种方案是由 3人共同维护 80台。
试比较这两种方案在电脑发生故障时不能及时维修的概率。
5,几何分布定义 2.6
若离散型随机变量 的分布律为则称 服从 参数为 p的几何分布。
10 21)1()( 1 pkppkP k?，，，?
第三节、连续型随机变量一、连续型随机变量的概念定义 2.7
设 F(x) 为随机变量 的分布函数，若存在非负的函数 f(x)，
使对一切实数 x，都有则称 为连续型随机变量，称 f(x)为 的概率密度函数 (概率密度、密度函数 )。
x
dttfxF )()(
概率密度函数的 性质,
。处连续，则在若；
)()(,4
)()()()(,3
1)(,2
0)(,1
000
xfxFxf ( x)
dxxfaFbFbaP
dxxf
xf
b
a
连续型随机变量与离散型随机变量的区别：
1) 连续型随机变量没有分布律；
2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
。，,)(0)( 00 xxP?
结论,设 f(x)是非负函数，且满足关系式则 f(x)必是某随机变量 的概率密度函数,的分布函数为
,1)( xf
x
dttfxF,)()(
例 1
已知随机变量 的概率密度函数为求,1) 系数 A； 2) 3) 的分布函数 F(x).
；)10(P
xAexf x )(,
二、几种常见的连续型随机变量及其分布
1,均匀分布定义 2.8
若连续型随机变量 的密度函数为则称 在区间 (a,b)上服从均匀分布。
其它，
，
｛
0
)/(1
)(
bxaab
xf
的分布函数为?
.1
)/()(
0
)(
bx
bxaabax
ax
xF
，；，；，｛
例 2 设 k在 (0,5)服从均匀分布。求方程有实根的概率。
0244 2 kkxx
2,正态分布若连续型随机变量 的密度函数为其中,则称 服从 参数为 的正态分布 (或称为正态变量 )，记为 。
0，
)( 2,～ N
xexf
x
2
1)( 2
2
2
)(
，?
dtexF
tx
2
2
2
)(
2
1)(
的 分布函数为正态分布密度函数的 性质
1,f(x)的函数曲线关于 x=μ对称，仅改变?，不改变?，图形不改变形状，仅平移位置，故?又称为 位置参数 。
2,X=?时,为 f(x)的最大值。当?越小，图形越尖,?落在?附近的概率越大。
)2/(1)(f
3,f(x)的函数曲线在 x=μ±?处有拐点，曲线以 OX轴为渐进线。
4,f(x)处处大于零，且有各阶连续的导函数。
当 μ=0,?=1时，称?服从 标准 正态分布,其密度函数记为?(x),分布函数记为?(x)。
dttx
xex
x
x
)()(
2
1
)( 2
2
,
标准 正态分布的性质：
1,?(-x)=?(x)；
2,?(-x)=1-?(x)。
若,设 F(x)为?的分布函数，则有)( 2,～ N
).()( xxF
定理 2.4 若
。，～，则，～ )10()( 2 NN
.1)()()(
)()(2)(
)(1)(
)()()(
)()(
12
21
cc
cP
cc
cP
c
cP
xx
xxP
a
aP；
正态分布的概率 计算公式,设,，～ )( 2 N
例 3,设某产品的寿命 (以小时计 )
若要求 P(120<?<200)>0.8，允许?最大为多少?
。，～ )160( 2 N
3?准则：
设,则?几乎落入区间 (μ-3?,μ+3?)内。)( 2,～ N
3,指数分布定义 2.10
若连续型随机变量? 的密度函数为则称?服从 参数为?的 指数分布。
.00
0)(
x
xexf x｛
其分布函数为
.0,0;0,1{)(
x
xexF x?
指数分布的无后效性 (无记忆性 ):
设?服从参数为?的 指数分布，对任何 s>0,t>0，有
).()( tPstsP ｜
4,?-分布定义 2.11 若连续型随机变量? 的密度函数为则称?服从 参数为?,?的?-分布，记为?～?(?,?)。
.0,0;0),(/)( 1
x
xexxf x｛
-函数的 常用公式
1,?(?)=(?-1)?(?-1)；
2,?(1)=1；
3,?(1/2)=,?
特别，当?=1,?(1,?)是参数为?的 指数分布。
例 4,某产品的寿命 (以小时计 )?具有以下的概率密度：
现从一大批该产品中任取 5只，问其中至少有 2只 寿命大于
1500小时的概率有多大？
.10 0 00
10 0 0/10 0 0)( 2
x
xxxf
，；，｛
第五节 随机变量函数的分布结论,设 是随机变量,是连续函数，则是一维随机变量，称?为 的函数。
X ()y g x? ()gX
X
1,离散型随机变量函数的分布设?是 离散型随机变量，其分布律为
p
21
21
n
n
ppp
xxx
又设 y=g(x)是连续函数，则?=g(?)也是 离散型随机变量，
其分布律为
p
)( ) )(
21
21
n
n
ppp
xg g( xxg
说明：若有 则将其概率合并为,
只写一个。
，)()( ji xgxg? ji pp?
2,连续型随机变量函数的分布例 1
设 ).( 0)( 222 abaNabaN,～，则，，，～
定理 2.3 设连续型随机变量?的密度函数为
y=g(x)有反函数 x=h(y)，则?= g(?)也是 连续型随机变量，其密度函数为其中,?=min{g(a),g(b)},?=max{g(a),g(b)}.
，，,)()( baxxf
.0
)()]([
)(
其它，；，
｛
yyhyhf
yf
例 2 设?～ N(0,1)，求 的分布。
2
例 3 (2003年数学三、四考研试题十一题 )
设随机变量 X的概率密度为
F(x)是 X的分布函数，求 Y= F(X)的分布函数。
.0
]81[)3/(1)( 3 2
其它，；，若，｛ xxxf
