学习,概率论与数理统计,的意义
1、重要的公共基础课,是土木工程、交通工程、机械工程与自动化、环境与设备工程，材料工程、计算机应用与信息工程、电子与电气自动化工程、应用力学工程与企业管理、会计学与金融学、建筑工程等各个学科专业主干课的学习基础。
2、考研的重要内容：考研的数学试卷 150分，
其中概率论与数理统计内容约 40分。
3、今后工作的重要工具：工作中遇到的大量问题，要用数理统计的方法去处理。
课程结构概率论数理统计 随机过程概率论基本概念与古典概率一维随机变量 二维随机变量随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计数理统计基本概念参数估计 假设检验方差分析 回归分析因材施教班讲第一章 概率论的基本概念第一节 随机事件和样本空间一、随机试验随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，在大量重复试验或观察中又呈现某种固有的规律性 (统计规律性 )。
试验举例：
E1：掷一颗骰子，观察出现的点数。
E2：记录某电话交换台一分钟内接到的呼叫次数。
E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命。
以上试验共有的特点：
1、可以在相同的条件下重复进行 ;
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先确定试验的所有可能结果 ;
3、进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
具有上述特点的试验称为随机试验（试验）。
随机事件（事件）：在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情。一般用大写字母 A,B,C… 表示事件。
基本事件（样本点）,在一次随机试验中，它的每一个可能出现的结果都是一个随机事件，我们称其为基本事件（样本点）。
样本空间（基本事件空间）：试验的基本事件全体所组成的集合，记作 Ω。
E1,Ω=｛ 1,2,3,4,5,6｝
E2,Ω=｛ 0,1,2,3,… ｝
E3,Ω=｛ t ｜ ｝0?t
必然事件 Ω：在一定条件下必然会发生的事件。
不可能事件?：在一定条件下必定不会发生的事件。
二、样本空间、随机事件事件与基本事件的关系：
若事件 A发生，则 A所含的某个基本事件一定发生 ;
若 A所含的某个基本事件发生，便说 A发生。
三、事件的关系与运算
1,A B,若事件 A发生，必然导致事件 B发生。
若 A B,B A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A=B。?
2,A B,事件 A与事件 B至少有一个发生。
我们称其为事件 A与事件 B的并事件（或称和）。
,事件 至少有一个发生。 )A( n
1k
k21
nAAA nAAA?，,21
3,(AB),事件 A与事件 B同时发生。
我们称其为事件 A与事件 B的积事件（或称交）。
BA?
)(
1
21
n
k
kn AAAA
事件 同时发生。 nAAA,，,?21
4,A-B,事件 A发生而事件 B不发生。
我们称其为事件 A与事件 B的差。
5,AB=?,事件 A与事件 B不能同时发生。
我们称事件 A与事件 B是互不相容的。
BA?6,= Ω 且 AB=?:事件 A与事件 B中必然有一个发生，
且只有一个发生。
我们称事件 A与事件 B互为对立事件，记为 B= 。A
显然，有 =A,=?,= Ω 。A
事件的运算规律,事件的运算满足交换律、分配律、结合律、德莫根 (Demorgan)律。 (参见教材 P6)
若事件 称是两两互不相容的。,，，，，，,mjijiAA ji?21 m
AA,,?1
第二节,频率与概率一、频率定义 1.1 在相同条件下，重复进行 n次试验 E，随机事件 A
在 n次试验中出现的次数 m称为频数,m/n称为事件 A的频率，记为,即)(Af
n
)(Afn =m/n频率的性质设随机试验 E的样本空间为 Ω,A,B为 E的两个 随机事件，
则在 n次试验中，频率具有以下性质,
1)(0 Af n1.
2,1)(
nf
3,若 AB=?，则
)()()( BfAfBAf nnn
说明,
性质 3对随机试验 E中任意 m个两两互不相容的事件也成立，即
iA
mi,，,?21?
)()(
11
i
m
i
n
m
i
in AfAf?
二、概率的定义定义 1.2 (概率的定义 )
设 E是随机试验,Ω是 E的样本空间。对于 E的每一个事件 A，赋予一实数，记为 P(A)。若 P(A)满足以下条件,
1,对于任何事件 A，有 ；0)(?AP
2,对于两两互不相容的事件 有?，，,21?iA i
)()(
11
i
i
i
i APAP?
3,1)(P
三、概率的性质性质 1 0)(P
性质 2 (概率的有限可加性 )
设 两两互不相容，则 niA i,，，,?21?
)()(
11
n
i
i
n
i
i APAP?
性质 3 设 是 A的对立事件，则A
)(1)( APAP
性质 4 设 A,B为二事件，则
)()()()( ABPBPAPBAP
推广,
)()1()(
)()()(
21
1
1
111
n
n
kj
nkji
i
nji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAP
AAPAPAP
特别，有
)()()(
)()()()()(
A B CPBCPACP
ABPCPBPAPCBAP
性质 5 设 A,B为二事件，若,则有
1) P(B-A)=P(B)-P(A)
2)
BA?
)()( APBP?
性质 6 1)(?AP
笫三节、古典概型和几何概型特点,
1) 试验的样本空间中的基本事件只有有限个，记为
｝，，，｛ n21
2) 每个基本事件发生的概率是相同的，即
)()()( 21 nPPP
具有以上特点的随机现象称为等可能概型，又称古典概型。
对古典概型，有 ni
nP i,，，,?21
1)(
古典概型计算需知,
1) 样本空间 Ω中包含的基本事件数 ;
2) 事件 A中包含的基本事件数。
一、古典概型加法原理,
设完成一件事有 m种方式，第 种方式有 种方法，
则完成这件事共有 种方法。
i in
m
i
in
1乘法原理,
设完成一件事有 m个步骤，第 个步骤有 种方法，则完成这件事共有 种方法。
i in
m
i
in
1排列公式,
1) 从 m个不同元素中不重复地选取 n个元素进行排列，则排列的种数为当 n=m时，称 为全排列公式。
！
！
)()( nm
mPA n
m
n
m
！mAP mmm
n
kAP?
中包含的基本事件数中包含的基本事件数A)(
2) 从 m个不同元素中可重复地选取 n个元素进行排列，共有 种方法。 nmmmm
2) 若从 m个不同元素中可重复地选取 n个元素，组成一组而不管其顺序，所有不同组合的总数为
！！
！
)1(
)1(
1?
mn
nmC n
nm
组合公式,
1) 若从 m个不同元素中不重复地选取 n个元素，组成一组而不管其顺序，称为从 m个不同元素中选取 n个元素的组合。所有不同组合的总数，记作 或 。n
mC
n
m
！！
！
)( nmn
mC
n
m n
m
公式：
!nCA nmnm?
例 2,(装箱问题 )
n个箱子按序编号 (彼此有区别 ),r个球按以下方式装入箱中,r<n:
1) 小球可辨，每箱容量不限；
2) 小球可辨，每箱不超过一球；
3) 小球不可辨，每箱不超过一球；
4) 小球不可辨，每箱容量不限。
设 A=｛某预先指定的 r个箱中各有一球｝，求 P(A)。
设事件 B=｛某 r个箱中各有一球｝，在第 1)种装箱中，求 P(B)
(生日问题 )：
，rrn
n
rCBP !)(? r
r
n
n
rCBP !1)(
当 n=365,r=40,P(B)=0.109。
0.9990.9970.9700.8910.7060.5070.411
100645040302320r
)(BP
古典概型的典型问题：分房问题、抽球问题、随机取数问题例 3(随机取数 ) 在 1~2000的整数中 随机地取一个数，求取到的数既不能被 6整除，又不能被 8整除的概率。
设 A=｛取到的数能被 6整除｝,B=｛取到的数能被 8整除｝。
欲求 )( BAP
例 4(分房问题 ) 将 15名新生随机地分配到三个班级中去，这
15名新生中有 3名是优秀生。
1) 设 A=｛每个班级分到一名优秀生｝，求 P(A)；
2) 设 B=｛ 3名优秀生分到同一班级｝，求 P(B)。
例 5(抽球问题 ) 设箱中有 a+b张奖券，其中 a张中奖,b张不中奖。现将奖券一张张摸出，求第 k次摸出中奖奖券的概率。
)1( bak
计算古典概型的解题步骤：
1,根据题目要求，确定基本事件和样本空间 Ω；
2,设出需求概率的事件 A，此时应注意 A是否确由某些基本事件所组成；
3,确定 Ω与 A中包含的基本事件数，计算 P(A)。
实际推断原理 (小概率原理 )：
概率很小的事件在一次试验中几乎不发生。
二、几何概型特点：
1、试验的可能结果有无数个，且能找到一个度量大于零的区域 G，使试验的所有可能结果与区域 G中的点一一对应。
2、试验的每个可能结果出现的可能性相同。
度量：长度、面积、体积等设事件 A所有可能结果与区域 G的某个子域 g中的点一一对应，则
P(A)=g的度量 /G的度量第四节 条 件 概 率一 条 件 概 率二 乘 法 定 理三 全概率公式和贝叶斯公式目 录 索 引第一章 概率论的基本概念返回主目录一 条 件 概 率条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。
它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B
发生的概率。
吸烟有害健康
S
ABB
A
第一章 概率论的基本概念返回主目录条 件 概 率设 A,B是某随机试验中的两个事件，且 0?AP
则称事件 B在“事件 A已发生”这一附加条件下的概率为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率
，简称为 B在 A之下的条件概率，记为
ABP
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 1 盒中有 4个外形相同的球，它们的标号分别为 1,2,3,4，每次从盒中取出一球，有放回地取两次．
则该试验的所有可能的结果为
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
其中 (i,j)表示第一次取 i号球，第二次取 j号球第一章 概率论的基本概念返回主目录设 A={ 第一次取出球的标号为 2 }
B={ 取出的两球标号之和为 4 }
则事件 B所含的样本点为
(1,3) (2,2) (3,1)
因此事件 B的概率为,
163?BP
ABP
若我们考虑在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率并记此概率为,
由于已知事件 A已经发生，则该试验的所有可能结果为第一章 概率论的基本概念返回主目录
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
这时，事件 B是在事件 A已经发生的条件下的概率
，因此这时所求的概率为
41?ABP
注,由例 1可以看出，事件在“条件 A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．
因此，有必要引入下面的定义：
第一章 概率论的基本概念返回主目录称为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率，
简称为 B在 A之下的条件概率。
在例 1 中，我们已求得
4
1,
16
3 ABPBP
第一章 概率论的基本概念
0?AP
设 A,B是某随机试验中的两个事件，且
AP ABPABP?
则还可求得
161,164 ABPAP
AP ABPABP?
故有 返回主目录条件概率的性质：
01?ABPB,有非负性：对任意事件
；规范性,12?ASP
11
21
3
n
n
n
n
n
ABPABP
BBB
则两互不相容，
两，，，，事件可列可加性：如果随机第一章 概率论的基本概念返回主目录例 2已知某家庭有 3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
则 878111 APAP
86?ABP
7
6
8
7
8
6
AP
ABP
ABP
所以解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 }
B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
第一章 概率论的基本概念返回主目录二、乘法公式由条件概率的计算公式
AP
ABPABP?
我们得
ABPAPABP?
这就是两个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念返回主目录多个事件的乘法公式个随机事件，且为，，，设 nAAA n?21
0121nAAAP?
则有
121213
12121
nn
n
AAAAPAAAP
AAPAPAAAP
这就是 n个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 4 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了 n次都未取出黑球的概率．
解：
次都未取出黑球取了设 nB?
niiA i,，，次取出白球第?21
则
nAAAB?21?
由乘法公式，我们有第一章 概率论的基本概念返回主目录
nAAAPBP?21?
121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP?
14
3
3
2
2
1
n
n?
1
1
n
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破，
第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。
解,以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：
.
200
3
)
2
1
1)(
10
7
1)(
10
9
1(
)()|()|()()( 112213321
APAAPAAAPAAAPBP
第一章 概率论的基本概念返回主目录三、全概率公式和贝叶斯公式
S
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB;,,2,1,,,= njijiAA ji
.21 SAAA n
定义 设 S 为试验 E 的样本空间，
为 E 的一组事件。若满足
(1)
(2)
则称 为样本空间 S 的一个 划分 。
nAAA?,,21
nAAA?,,21
第一章 概率论的基本概念返回主目录全 概 率 公 式：
设随机事件
BAAA n 以及,,,21
满足：
两两互不相容；, nAAA,,,1 21
或,2
1
SA
n
n?
,2,103 nAP n．
1n
nn ABPAPBP则有第一章 概率论的基本概念；?
1n
nAB
返回主目录全概率公式的证明由条件：
1n
nAB
得
1n
n BAB
而且由两两互不相容， nAAA,,,21
也两两互不相容；得 BABABA n,,,21
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB
S
第一章 概率论的基本概念返回主目录全概率公式的证明（续）
所以由概率的可列可加性，得
1n
n BAPBP
代入公式（ 1），得
得，再由条件?,2,10 nAP n
nnn ABPAPBAP?
11 n
nn
n
n ABPAPBAPBP
第一章 概率论的基本概念返回主目录全概率公式的使用我们把事件 B看作某一过程的结果，
因，看作该过程的若干个原把 nAAA,,,21
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
已知即 nAP
已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知，
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
BP即求第一章 概率论的基本概念返回主目录例 6 某小组有 20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为 2,6,9,3名．又若选一、二、三、
四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．
解：
标该小组在比赛中射中目设?B
4321,，级射手参加比赛选 iiiA
由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念返回主目录
4
1n n
ABPnAPBP
32.020345.020964.020685.0202
5 2 7 5.0?
第一章 概率论的基本概念返回主目录
Bayes 公 式设随机事件 BAAA
n 以及,,,21
两两互不相容；, nAAA,,,1 21
,2,103 nAP n．
满足
,,2,1,
1
)()|(
)()|(
)(
)(
)|(?n
j
j
AP
j
ABP
n
AP
n
ABP
BP
B
n
AP
B
n
AP
则第一章 概率论的基本概念
或,2
1
SA
n
n?
；?
1n
nAB
返回主目录
Bayes公式的使用我们把事件 B看作某一过程的结果，
因，看作该过程的若干个原把 nAAA,,,21
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
已知即 nAP
已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知，
如果已知事件 B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用 Bayes公式
BAP i即求第一章 概率论的基本概念返回主目录例 8 用某种方法普查肝癌，设：
A={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 }，
D={ 被检查者确实患有肝癌 }，
已知
90.0,95.0 DAPDAP
0004.0?DP而且已知：
现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 8（续）
解：
由已知，得
9 9 9 6.0,90.0 DPDAP
所以，由 Bayes公式，得
DAPDPDAPDP
DAPDP
ADP
10.09996.095.00004.0
95.00004.0
0038.0?
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 9
袋中有 10个黑球,5个白球．现掷一枚均匀的骰子，
掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出 3点的概率．
解：
设,B={ 取出的球全是白球 }
621,，，点掷出 iiA i
则由 Bayes公式，得
6
1
33
3
i
ii ABPAP
ABPAP
BAP
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 9（续）
0
6
1
6
1
6
1
5
1 15
5
3
15
3
5
i
i
i
C
C
C
C
0 4 8 3 5.0?
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。
元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05 S
B1 B2 B3
A
第一章 概率论的基本概念设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，
且无区别的标志。
（ 1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它 是次品 的概率。
（ 2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此 次品出自那家工厂 的可能性最大。
解,设 A 表示“取到的是一只次品”,Bi ( i=
1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,
第一章 概率论的基本概念例 10（续）
返回主目录元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
P A( ),? 0 0125
.)()|()()|()()|()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP
)(AP
P B A P B AP Ai i( | ) ( )( )?
第一章 概率论的基本概念例 10（续）
返回主目录元件制造厂
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
B1 B2 B3
A
P B A P A B P BP A( | ) ( | ) ( )( ),,.,1 1 1 0 02 0 150 0125 0 24
第一章 概率论的基本概念例 10（续）
返回主目录
,%245.12 3)|( 1ABP
,%645.12 8)|( 2ABP
.%125.12 5.1)|( 3ABP
第一章 概率论的基本概念例 10（续）
返回主目录例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得 良好时,产品的 合格率 为 90%,而当机器发生某一 故障时,其 合格率 为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整 良好 的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？
机器调整得 良好产品合格机器发生某一 故障
B
B
A
P A B( | )? 90%
P A B( | )? 30%
第一章 概率论的基本概念返回主目录解,P B A P A B P B
P A B P B P A B P B
( | )
( | ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( )
.,
.,,,
.,
0 9 0 75
0 9 0 75 0 3 0 25
0 9
第一章 概率论的基本概念返回主目录四、事件的独立性
定义 1.4 如果事件 A发生的可能性不受事件 B发生与否的影响,即 P(A|B)=P(A),则称事件 A对于事件 B独立,
由此定义及条件概率 P(A|B)的定义有
()
( | ) ( )
()
( ) ( ) ( )
,( ) ( ) ( )
()
( | ) ( )
()
( ) ( ) ( )
,
,
P A B
P A B P A
PB
P A B P A P B
P A B P A P B
P A B
P A B P A
PB
P A B P A P B A B
A B B
A A B
因 此 必 有反 过 来 如 有则 必 有因 此 是 对 于 独 立 的 充 分必 要 条 件 而 且 可 以 看 出 如 果 对 于 独 立 则对 于 也 独 立 因 此 称 事 件 与 相 互 独 立如 A与 B独立,则
.,
)()(
)](1)[(
)()()(
)()(
)()(
,
也相互独立与与同理可知这是因为也独立与
BABA
BPAP
BPAP
BPAPAP
ABPAP
ABAPBAP
BA
在实用中
两个事件独立经常是由于两个试验独立,
且总的试验由两个试验拼成,这两个试验相互之间没有任何影响,
在解题过程中,通常题目中已经告诉你哪些事件独立或者说相互无关,
在科学实验中,两个事件是否独立是需要经过理论和实验的反复验证的,比如一种治疗方法或者一种药是否和另一种病的好转或者恶化有关系,或者完全没有关系
(独立 ).
定义 1.5
如果 n(n>2)个事件 A1,A2,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响,则称 A1,A2,…,An相互独立,
若 A1,A2,…,An相互独立,则有
P(A1A2… An)= P(A1)P(A2)… P(An)
除非两个事件之一的概率为 0,
否则两个相互独立的事件 A与 B通常是相容的,这是因为 P(AB)=P(A)P(B)不为零,
计算相互独立事件的交的概率通常是好算的,只须将它们各自的概率相乘即可,
但经常也要计算到相互独立事件的并的概率,这时候或者可以用广义加法法则,
即
P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)
=P(A)+P(B)?P(A)P(B)
如果是要求多个相互独立的事件的并的概率,则应当利用狄,摩根定理将事件的并转换为事件的交,也就是考虑事件的逆的概率,
)()()(1
)(1)(
)()(1)(1)(
21
2121
n
nn
APAPAP
AAAPAAAP
BPAPBAPBAP
但是,经常有的难题喜欢求某些独立事件的交了再并的概率,这时候不得不套用广义加法法则,尤其常用的是三个事件的并的加法法则,
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?
P(BC)+P(ABC)
例如,常见的求 AB+CD+EF的概率,则
P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)?P(ABCD)?
P(ABEF)?P(CDEF)+P(ABCDEF)
如果 A,B,C,D,E,F相互之间独立,则上式中的各个交事件的概率再变成各概率之积,
而一种非常常见的题型,就是假设
事件 A,B,C相互独立,但是问其中至少两件发生的概率,或者至少两件不发生的概率,而 A,B,C至少两件发生的事件为
AB+AC+BC,因此
P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)?
P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)+P(ABC)
=P(AB)+P(AC)+P(BC)?2P(ABC)
= P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)
2P(A)P(B)P(C)
而 A,B,C至少两件不发生的事件为
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)(
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
CBAPCBPCAPBAP
CBCABAP
CBCABA
因此例 1 甲,乙,丙 3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为 0.9,0.8及 0.85,求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率,
解 用事件 A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管,依题意 A,B,C相互独立,
并且 P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85
则这段时间内有机床需要工人照管的概率为
388.085.08.09.01
)()()(1)(1)(
CPBPAPA B CPA B CP
而当至少有两部机床需要照管的时候,就有机床因无人照管而停工了,这样的事件是
059.015.02.01.02
15.02.015.01.02.01.0
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)(
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
CBAPCBPCAPBAP
CBCABAP
CBCABA
因此相应的概率为例 2 若例 1中的 3部机床性能相同,设
P(A)=P(B)=P(C)=0.8,求这段时间内恰有一部机床需人照管的概率
假设事件 E为 "三部中恰有一部需人照管 ",而
D1,D2,D3为恰好甲,乙,丙机床需人照管,则
128.02.08.08.0)()()()(
128.08.02.08.0)()()()(
128.08.08.02.0)()()()(
,,
3
2
1
321
CPBPAPDP
CPBPAPDP
CPBPAPDP
CABDCBADBCAD
而 E=D1+D2+D3为三个互不相容事件之和,
而且 P(D1)=P(D2)=P(D3),都是由一个 0.2与两个 0.8相乘,因此可以写成
096.08.004.038.02.0)(
)(
384.0128.038.02.0)(
22
3
21
3
CFP
FP
CEP
为的概率部机床需要照管同理也能够算出恰有两例 3 如图所示,开关电路中开关 a,b,c,d
开或关的概率都是 0.5,且各开关是否关闭相互独立,求灯亮的概率以及若已见灯亮,开关 a与 b同时关闭的概率
a b
c
d
解 令事件 A,B,C,D分别表示开关
a,b,c,d关闭,E表示灯亮,则
E=AB+C+D
a b
c
d
P(E)=P(AB+C+D)
=P(AB)+P(C)+P(D)?P(ABC)?
P(ABD)?P(CD)+P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)+P(D)?
P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(D)?
P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)
=0.52+0.5+0.5?0.53?0.53?
0.52+0.54=0.8125
P(AB|E)=P(ABE)/P(E)
而 AB?E,故 ABE=AB,因此
3077.0
8125.0
25.0
)(
)()|(
EP
ABPEABP
甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中率为 0.9,乙的命中率为 0.8,丙的命中率为 0.7,现每人各投一次,求,
(1)三人中至少有两人投进的概率 ;
(2)三人中至多有两人投进的概率,
解,设 A="甲投进 ",B="乙投进 ",C="丙投进 "
则三人中至少两人投中的事件为
AB+AC+BC
三人中至多有两人投进的事件为 ABC
因此
496.0504.017.08.09.01
)()()(1)(1)()2(
902.0008.191.1008.156.063.072.0
7.08.09.027.08.07.09.08.09.0
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)()1(
CPBPAPA B CPA B CP
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
A B CPBCPACPABP
BCACABP
1998经济类考研题设 A,B,C是三个相互独立的随机事件,且 0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是
CABCBA
CACCBA
与与与与
.D.C
.B.A
解 由题设,A,B,C是三个相互独立的随机事件,那么其中任意两个事件或其对立事件的和,差,交与另一事件或者其对立事件是相互独立的,根据这一性质,只有 B是不成立的,
1994年经济类考研题相互独立和事件互不独立和事件互相对立和事件互不相容和事件则设
BABA
BABA
BAPBAP
BPAP
.D.C
.B.A
)(,1)|()|(
,1)(0,1)(0
D,,,
).|()|(
),|(1)|(
,1)|()|(
应填选项相互独立因此即有由解
BA
BAPBAP
BAPBAP
BAPBAP
这是因为,如果相互独立与因此即
BA
BPAPABP
BPABPBPAP
BPABPABP
BP
ABPAP
BP
BAP
BP
ABP
BAPBAP
)()()(
)()()()(
)()()(
)(1
)()(
)(
)(
)(
)(
)|()|(
2000年经济类考研题设 A,B,C三个事件两两独立,则 A,B,C
相互独立的充分必要条件是 ( )
A,A与 BC独立 B,AB与 A+C独立
C,AB与 AC独立 D,A+B与 A+C独立
解,选项 B,C,D的两个事件中都出现事件 A,因此都不可能独立,因此考察选项 A,
如 A与 BC独立,则 P(ABC)=P(A)P(BC)
但 A,B,C两两独立,因此 P(BC)=P(B)P(C)
因此 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),即 A,B,C相互独立,反之亦然,因此,应填选项 A.
1、重要的公共基础课,是土木工程、交通工程、机械工程与自动化、环境与设备工程，材料工程、计算机应用与信息工程、电子与电气自动化工程、应用力学工程与企业管理、会计学与金融学、建筑工程等各个学科专业主干课的学习基础。
2、考研的重要内容：考研的数学试卷 150分，
其中概率论与数理统计内容约 40分。
3、今后工作的重要工具：工作中遇到的大量问题，要用数理统计的方法去处理。
课程结构概率论数理统计 随机过程概率论基本概念与古典概率一维随机变量 二维随机变量随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计数理统计基本概念参数估计 假设检验方差分析 回归分析因材施教班讲第一章 概率论的基本概念第一节 随机事件和样本空间一、随机试验随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，在大量重复试验或观察中又呈现某种固有的规律性 (统计规律性 )。
试验举例：
E1：掷一颗骰子，观察出现的点数。
E2：记录某电话交换台一分钟内接到的呼叫次数。
E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命。
以上试验共有的特点：
1、可以在相同的条件下重复进行 ;
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先确定试验的所有可能结果 ;
3、进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
具有上述特点的试验称为随机试验（试验）。
随机事件（事件）：在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情。一般用大写字母 A,B,C… 表示事件。
基本事件（样本点）,在一次随机试验中，它的每一个可能出现的结果都是一个随机事件，我们称其为基本事件（样本点）。
样本空间（基本事件空间）：试验的基本事件全体所组成的集合，记作 Ω。
E1,Ω=｛ 1,2,3,4,5,6｝
E2,Ω=｛ 0,1,2,3,… ｝
E3,Ω=｛ t ｜ ｝0?t
必然事件 Ω：在一定条件下必然会发生的事件。
不可能事件?：在一定条件下必定不会发生的事件。
二、样本空间、随机事件事件与基本事件的关系：
若事件 A发生，则 A所含的某个基本事件一定发生 ;
若 A所含的某个基本事件发生，便说 A发生。
三、事件的关系与运算
1,A B,若事件 A发生，必然导致事件 B发生。
若 A B,B A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A=B。?
2,A B,事件 A与事件 B至少有一个发生。
我们称其为事件 A与事件 B的并事件（或称和）。
,事件 至少有一个发生。 )A( n
1k
k21
nAAA nAAA?，,21
3,(AB),事件 A与事件 B同时发生。
我们称其为事件 A与事件 B的积事件（或称交）。
BA?
)(
1
21
n
k
kn AAAA
事件 同时发生。 nAAA,，,?21
4,A-B,事件 A发生而事件 B不发生。
我们称其为事件 A与事件 B的差。
5,AB=?,事件 A与事件 B不能同时发生。
我们称事件 A与事件 B是互不相容的。
BA?6,= Ω 且 AB=?:事件 A与事件 B中必然有一个发生，
且只有一个发生。
我们称事件 A与事件 B互为对立事件，记为 B= 。A
显然，有 =A,=?,= Ω 。A
事件的运算规律,事件的运算满足交换律、分配律、结合律、德莫根 (Demorgan)律。 (参见教材 P6)
若事件 称是两两互不相容的。,，，，，，,mjijiAA ji?21 m
AA,,?1
第二节,频率与概率一、频率定义 1.1 在相同条件下，重复进行 n次试验 E，随机事件 A
在 n次试验中出现的次数 m称为频数,m/n称为事件 A的频率，记为,即)(Af
n
)(Afn =m/n频率的性质设随机试验 E的样本空间为 Ω,A,B为 E的两个 随机事件，
则在 n次试验中，频率具有以下性质,
1)(0 Af n1.
2,1)(
nf
3,若 AB=?，则
)()()( BfAfBAf nnn
说明,
性质 3对随机试验 E中任意 m个两两互不相容的事件也成立，即
iA
mi,，,?21?
)()(
11
i
m
i
n
m
i
in AfAf?
二、概率的定义定义 1.2 (概率的定义 )
设 E是随机试验,Ω是 E的样本空间。对于 E的每一个事件 A，赋予一实数，记为 P(A)。若 P(A)满足以下条件,
1,对于任何事件 A，有 ；0)(?AP
2,对于两两互不相容的事件 有?，，,21?iA i
)()(
11
i
i
i
i APAP?
3,1)(P
三、概率的性质性质 1 0)(P
性质 2 (概率的有限可加性 )
设 两两互不相容，则 niA i,，，,?21?
)()(
11
n
i
i
n
i
i APAP?
性质 3 设 是 A的对立事件，则A
)(1)( APAP
性质 4 设 A,B为二事件，则
)()()()( ABPBPAPBAP
推广,
)()1()(
)()()(
21
1
1
111
n
n
kj
nkji
i
nji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAP
AAPAPAP
特别，有
)()()(
)()()()()(
A B CPBCPACP
ABPCPBPAPCBAP
性质 5 设 A,B为二事件，若,则有
1) P(B-A)=P(B)-P(A)
2)
BA?
)()( APBP?
性质 6 1)(?AP
笫三节、古典概型和几何概型特点,
1) 试验的样本空间中的基本事件只有有限个，记为
｝，，，｛ n21
2) 每个基本事件发生的概率是相同的，即
)()()( 21 nPPP
具有以上特点的随机现象称为等可能概型，又称古典概型。
对古典概型，有 ni
nP i,，，,?21
1)(
古典概型计算需知,
1) 样本空间 Ω中包含的基本事件数 ;
2) 事件 A中包含的基本事件数。
一、古典概型加法原理,
设完成一件事有 m种方式，第 种方式有 种方法，
则完成这件事共有 种方法。
i in
m
i
in
1乘法原理,
设完成一件事有 m个步骤，第 个步骤有 种方法，则完成这件事共有 种方法。
i in
m
i
in
1排列公式,
1) 从 m个不同元素中不重复地选取 n个元素进行排列，则排列的种数为当 n=m时，称 为全排列公式。
！
！
)()( nm
mPA n
m
n
m
！mAP mmm
n
kAP?
中包含的基本事件数中包含的基本事件数A)(
2) 从 m个不同元素中可重复地选取 n个元素进行排列，共有 种方法。 nmmmm
2) 若从 m个不同元素中可重复地选取 n个元素，组成一组而不管其顺序，所有不同组合的总数为
！！
！
)1(
)1(
1?
mn
nmC n
nm
组合公式,
1) 若从 m个不同元素中不重复地选取 n个元素，组成一组而不管其顺序，称为从 m个不同元素中选取 n个元素的组合。所有不同组合的总数，记作 或 。n
mC
n
m
！！
！
)( nmn
mC
n
m n
m
公式：
!nCA nmnm?
例 2,(装箱问题 )
n个箱子按序编号 (彼此有区别 ),r个球按以下方式装入箱中,r<n:
1) 小球可辨，每箱容量不限；
2) 小球可辨，每箱不超过一球；
3) 小球不可辨，每箱不超过一球；
4) 小球不可辨，每箱容量不限。
设 A=｛某预先指定的 r个箱中各有一球｝，求 P(A)。
设事件 B=｛某 r个箱中各有一球｝，在第 1)种装箱中，求 P(B)
(生日问题 )：
，rrn
n
rCBP !)(? r
r
n
n
rCBP !1)(
当 n=365,r=40,P(B)=0.109。
0.9990.9970.9700.8910.7060.5070.411
100645040302320r
)(BP
古典概型的典型问题：分房问题、抽球问题、随机取数问题例 3(随机取数 ) 在 1~2000的整数中 随机地取一个数，求取到的数既不能被 6整除，又不能被 8整除的概率。
设 A=｛取到的数能被 6整除｝,B=｛取到的数能被 8整除｝。
欲求 )( BAP
例 4(分房问题 ) 将 15名新生随机地分配到三个班级中去，这
15名新生中有 3名是优秀生。
1) 设 A=｛每个班级分到一名优秀生｝，求 P(A)；
2) 设 B=｛ 3名优秀生分到同一班级｝，求 P(B)。
例 5(抽球问题 ) 设箱中有 a+b张奖券，其中 a张中奖,b张不中奖。现将奖券一张张摸出，求第 k次摸出中奖奖券的概率。
)1( bak
计算古典概型的解题步骤：
1,根据题目要求，确定基本事件和样本空间 Ω；
2,设出需求概率的事件 A，此时应注意 A是否确由某些基本事件所组成；
3,确定 Ω与 A中包含的基本事件数，计算 P(A)。
实际推断原理 (小概率原理 )：
概率很小的事件在一次试验中几乎不发生。
二、几何概型特点：
1、试验的可能结果有无数个，且能找到一个度量大于零的区域 G，使试验的所有可能结果与区域 G中的点一一对应。
2、试验的每个可能结果出现的可能性相同。
度量：长度、面积、体积等设事件 A所有可能结果与区域 G的某个子域 g中的点一一对应，则
P(A)=g的度量 /G的度量第四节 条 件 概 率一 条 件 概 率二 乘 法 定 理三 全概率公式和贝叶斯公式目 录 索 引第一章 概率论的基本概念返回主目录一 条 件 概 率条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。
它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B
发生的概率。
吸烟有害健康
S
ABB
A
第一章 概率论的基本概念返回主目录条 件 概 率设 A,B是某随机试验中的两个事件，且 0?AP
则称事件 B在“事件 A已发生”这一附加条件下的概率为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率
，简称为 B在 A之下的条件概率，记为
ABP
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 1 盒中有 4个外形相同的球，它们的标号分别为 1,2,3,4，每次从盒中取出一球，有放回地取两次．
则该试验的所有可能的结果为
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
其中 (i,j)表示第一次取 i号球，第二次取 j号球第一章 概率论的基本概念返回主目录设 A={ 第一次取出球的标号为 2 }
B={ 取出的两球标号之和为 4 }
则事件 B所含的样本点为
(1,3) (2,2) (3,1)
因此事件 B的概率为,
163?BP
ABP
若我们考虑在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率并记此概率为,
由于已知事件 A已经发生，则该试验的所有可能结果为第一章 概率论的基本概念返回主目录
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
这时，事件 B是在事件 A已经发生的条件下的概率
，因此这时所求的概率为
41?ABP
注,由例 1可以看出，事件在“条件 A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．
因此，有必要引入下面的定义：
第一章 概率论的基本概念返回主目录称为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率，
简称为 B在 A之下的条件概率。
在例 1 中，我们已求得
4
1,
16
3 ABPBP
第一章 概率论的基本概念
0?AP
设 A,B是某随机试验中的两个事件，且
AP ABPABP?
则还可求得
161,164 ABPAP
AP ABPABP?
故有 返回主目录条件概率的性质：
01?ABPB,有非负性：对任意事件
；规范性,12?ASP
11
21
3
n
n
n
n
n
ABPABP
BBB
则两互不相容，
两，，，，事件可列可加性：如果随机第一章 概率论的基本概念返回主目录例 2已知某家庭有 3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
则 878111 APAP
86?ABP
7
6
8
7
8
6
AP
ABP
ABP
所以解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 }
B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
第一章 概率论的基本概念返回主目录二、乘法公式由条件概率的计算公式
AP
ABPABP?
我们得
ABPAPABP?
这就是两个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念返回主目录多个事件的乘法公式个随机事件，且为，，，设 nAAA n?21
0121nAAAP?
则有
121213
12121
nn
n
AAAAPAAAP
AAPAPAAAP
这就是 n个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 4 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了 n次都未取出黑球的概率．
解：
次都未取出黑球取了设 nB?
niiA i,，，次取出白球第?21
则
nAAAB?21?
由乘法公式，我们有第一章 概率论的基本概念返回主目录
nAAAPBP?21?
121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP?
14
3
3
2
2
1
n
n?
1
1
n
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破，
第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。
解,以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：
.
200
3
)
2
1
1)(
10
7
1)(
10
9
1(
)()|()|()()( 112213321
APAAPAAAPAAAPBP
第一章 概率论的基本概念返回主目录三、全概率公式和贝叶斯公式
S
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB;,,2,1,,,= njijiAA ji
.21 SAAA n
定义 设 S 为试验 E 的样本空间，
为 E 的一组事件。若满足
(1)
(2)
则称 为样本空间 S 的一个 划分 。
nAAA?,,21
nAAA?,,21
第一章 概率论的基本概念返回主目录全 概 率 公 式：
设随机事件
BAAA n 以及,,,21
满足：
两两互不相容；, nAAA,,,1 21
或,2
1
SA
n
n?
,2,103 nAP n．
1n
nn ABPAPBP则有第一章 概率论的基本概念；?
1n
nAB
返回主目录全概率公式的证明由条件：
1n
nAB
得
1n
n BAB
而且由两两互不相容， nAAA,,,21
也两两互不相容；得 BABABA n,,,21
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB
S
第一章 概率论的基本概念返回主目录全概率公式的证明（续）
所以由概率的可列可加性，得
1n
n BAPBP
代入公式（ 1），得
得，再由条件?,2,10 nAP n
nnn ABPAPBAP?
11 n
nn
n
n ABPAPBAPBP
第一章 概率论的基本概念返回主目录全概率公式的使用我们把事件 B看作某一过程的结果，
因，看作该过程的若干个原把 nAAA,,,21
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
已知即 nAP
已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知，
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
BP即求第一章 概率论的基本概念返回主目录例 6 某小组有 20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为 2,6,9,3名．又若选一、二、三、
四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．
解：
标该小组在比赛中射中目设?B
4321,，级射手参加比赛选 iiiA
由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念返回主目录
4
1n n
ABPnAPBP
32.020345.020964.020685.0202
5 2 7 5.0?
第一章 概率论的基本概念返回主目录
Bayes 公 式设随机事件 BAAA
n 以及,,,21
两两互不相容；, nAAA,,,1 21
,2,103 nAP n．
满足
,,2,1,
1
)()|(
)()|(
)(
)(
)|(?n
j
j
AP
j
ABP
n
AP
n
ABP
BP
B
n
AP
B
n
AP
则第一章 概率论的基本概念
或,2
1
SA
n
n?
；?
1n
nAB
返回主目录
Bayes公式的使用我们把事件 B看作某一过程的结果，
因，看作该过程的若干个原把 nAAA,,,21
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
已知即 nAP
已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知，
如果已知事件 B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用 Bayes公式
BAP i即求第一章 概率论的基本概念返回主目录例 8 用某种方法普查肝癌，设：
A={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 }，
D={ 被检查者确实患有肝癌 }，
已知
90.0,95.0 DAPDAP
0004.0?DP而且已知：
现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 8（续）
解：
由已知，得
9 9 9 6.0,90.0 DPDAP
所以，由 Bayes公式，得
DAPDPDAPDP
DAPDP
ADP
10.09996.095.00004.0
95.00004.0
0038.0?
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 9
袋中有 10个黑球,5个白球．现掷一枚均匀的骰子，
掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出 3点的概率．
解：
设,B={ 取出的球全是白球 }
621,，，点掷出 iiA i
则由 Bayes公式，得
6
1
33
3
i
ii ABPAP
ABPAP
BAP
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 9（续）
0
6
1
6
1
6
1
5
1 15
5
3
15
3
5
i
i
i
C
C
C
C
0 4 8 3 5.0?
第一章 概率论的基本概念返回主目录例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。
元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05 S
B1 B2 B3
A
第一章 概率论的基本概念设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，
且无区别的标志。
（ 1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它 是次品 的概率。
（ 2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此 次品出自那家工厂 的可能性最大。
解,设 A 表示“取到的是一只次品”,Bi ( i=
1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,
第一章 概率论的基本概念例 10（续）
返回主目录元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
P A( ),? 0 0125
.)()|()()|()()|()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP
)(AP
P B A P B AP Ai i( | ) ( )( )?
第一章 概率论的基本概念例 10（续）
返回主目录元件制造厂
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
B1 B2 B3
A
P B A P A B P BP A( | ) ( | ) ( )( ),,.,1 1 1 0 02 0 150 0125 0 24
第一章 概率论的基本概念例 10（续）
返回主目录
,%245.12 3)|( 1ABP
,%645.12 8)|( 2ABP
.%125.12 5.1)|( 3ABP
第一章 概率论的基本概念例 10（续）
返回主目录例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得 良好时,产品的 合格率 为 90%,而当机器发生某一 故障时,其 合格率 为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整 良好 的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？
机器调整得 良好产品合格机器发生某一 故障
B
B
A
P A B( | )? 90%
P A B( | )? 30%
第一章 概率论的基本概念返回主目录解,P B A P A B P B
P A B P B P A B P B
( | )
( | ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( )
.,
.,,,
.,
0 9 0 75
0 9 0 75 0 3 0 25
0 9
第一章 概率论的基本概念返回主目录四、事件的独立性
定义 1.4 如果事件 A发生的可能性不受事件 B发生与否的影响,即 P(A|B)=P(A),则称事件 A对于事件 B独立,
由此定义及条件概率 P(A|B)的定义有
()
( | ) ( )
()
( ) ( ) ( )
,( ) ( ) ( )
()
( | ) ( )
()
( ) ( ) ( )
,
,
P A B
P A B P A
PB
P A B P A P B
P A B P A P B
P A B
P A B P A
PB
P A B P A P B A B
A B B
A A B
因 此 必 有反 过 来 如 有则 必 有因 此 是 对 于 独 立 的 充 分必 要 条 件 而 且 可 以 看 出 如 果 对 于 独 立 则对 于 也 独 立 因 此 称 事 件 与 相 互 独 立如 A与 B独立,则
.,
)()(
)](1)[(
)()()(
)()(
)()(
,
也相互独立与与同理可知这是因为也独立与
BABA
BPAP
BPAP
BPAPAP
ABPAP
ABAPBAP
BA
在实用中
两个事件独立经常是由于两个试验独立,
且总的试验由两个试验拼成,这两个试验相互之间没有任何影响,
在解题过程中,通常题目中已经告诉你哪些事件独立或者说相互无关,
在科学实验中,两个事件是否独立是需要经过理论和实验的反复验证的,比如一种治疗方法或者一种药是否和另一种病的好转或者恶化有关系,或者完全没有关系
(独立 ).
定义 1.5
如果 n(n>2)个事件 A1,A2,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响,则称 A1,A2,…,An相互独立,
若 A1,A2,…,An相互独立,则有
P(A1A2… An)= P(A1)P(A2)… P(An)
除非两个事件之一的概率为 0,
否则两个相互独立的事件 A与 B通常是相容的,这是因为 P(AB)=P(A)P(B)不为零,
计算相互独立事件的交的概率通常是好算的,只须将它们各自的概率相乘即可,
但经常也要计算到相互独立事件的并的概率,这时候或者可以用广义加法法则,
即
P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)
=P(A)+P(B)?P(A)P(B)
如果是要求多个相互独立的事件的并的概率,则应当利用狄,摩根定理将事件的并转换为事件的交,也就是考虑事件的逆的概率,
)()()(1
)(1)(
)()(1)(1)(
21
2121
n
nn
APAPAP
AAAPAAAP
BPAPBAPBAP
但是,经常有的难题喜欢求某些独立事件的交了再并的概率,这时候不得不套用广义加法法则,尤其常用的是三个事件的并的加法法则,
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?
P(BC)+P(ABC)
例如,常见的求 AB+CD+EF的概率,则
P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)?P(ABCD)?
P(ABEF)?P(CDEF)+P(ABCDEF)
如果 A,B,C,D,E,F相互之间独立,则上式中的各个交事件的概率再变成各概率之积,
而一种非常常见的题型,就是假设
事件 A,B,C相互独立,但是问其中至少两件发生的概率,或者至少两件不发生的概率,而 A,B,C至少两件发生的事件为
AB+AC+BC,因此
P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)?
P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)+P(ABC)
=P(AB)+P(AC)+P(BC)?2P(ABC)
= P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)
2P(A)P(B)P(C)
而 A,B,C至少两件不发生的事件为
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)(
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
CBAPCBPCAPBAP
CBCABAP
CBCABA
因此例 1 甲,乙,丙 3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为 0.9,0.8及 0.85,求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率,
解 用事件 A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管,依题意 A,B,C相互独立,
并且 P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85
则这段时间内有机床需要工人照管的概率为
388.085.08.09.01
)()()(1)(1)(
CPBPAPA B CPA B CP
而当至少有两部机床需要照管的时候,就有机床因无人照管而停工了,这样的事件是
059.015.02.01.02
15.02.015.01.02.01.0
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)(
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
CBAPCBPCAPBAP
CBCABAP
CBCABA
因此相应的概率为例 2 若例 1中的 3部机床性能相同,设
P(A)=P(B)=P(C)=0.8,求这段时间内恰有一部机床需人照管的概率
假设事件 E为 "三部中恰有一部需人照管 ",而
D1,D2,D3为恰好甲,乙,丙机床需人照管,则
128.02.08.08.0)()()()(
128.08.02.08.0)()()()(
128.08.08.02.0)()()()(
,,
3
2
1
321
CPBPAPDP
CPBPAPDP
CPBPAPDP
CABDCBADBCAD
而 E=D1+D2+D3为三个互不相容事件之和,
而且 P(D1)=P(D2)=P(D3),都是由一个 0.2与两个 0.8相乘,因此可以写成
096.08.004.038.02.0)(
)(
384.0128.038.02.0)(
22
3
21
3
CFP
FP
CEP
为的概率部机床需要照管同理也能够算出恰有两例 3 如图所示,开关电路中开关 a,b,c,d
开或关的概率都是 0.5,且各开关是否关闭相互独立,求灯亮的概率以及若已见灯亮,开关 a与 b同时关闭的概率
a b
c
d
解 令事件 A,B,C,D分别表示开关
a,b,c,d关闭,E表示灯亮,则
E=AB+C+D
a b
c
d
P(E)=P(AB+C+D)
=P(AB)+P(C)+P(D)?P(ABC)?
P(ABD)?P(CD)+P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)+P(D)?
P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(D)?
P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)
=0.52+0.5+0.5?0.53?0.53?
0.52+0.54=0.8125
P(AB|E)=P(ABE)/P(E)
而 AB?E,故 ABE=AB,因此
3077.0
8125.0
25.0
)(
)()|(
EP
ABPEABP
甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中率为 0.9,乙的命中率为 0.8,丙的命中率为 0.7,现每人各投一次,求,
(1)三人中至少有两人投进的概率 ;
(2)三人中至多有两人投进的概率,
解,设 A="甲投进 ",B="乙投进 ",C="丙投进 "
则三人中至少两人投中的事件为
AB+AC+BC
三人中至多有两人投进的事件为 ABC
因此
496.0504.017.08.09.01
)()()(1)(1)()2(
902.0008.191.1008.156.063.072.0
7.08.09.027.08.07.09.08.09.0
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)()1(
CPBPAPA B CPA B CP
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
A B CPBCPACPABP
BCACABP
1998经济类考研题设 A,B,C是三个相互独立的随机事件,且 0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是
CABCBA
CACCBA
与与与与
.D.C
.B.A
解 由题设,A,B,C是三个相互独立的随机事件,那么其中任意两个事件或其对立事件的和,差,交与另一事件或者其对立事件是相互独立的,根据这一性质,只有 B是不成立的,
1994年经济类考研题相互独立和事件互不独立和事件互相对立和事件互不相容和事件则设
BABA
BABA
BAPBAP
BPAP
.D.C
.B.A
)(,1)|()|(
,1)(0,1)(0
D,,,
).|()|(
),|(1)|(
,1)|()|(
应填选项相互独立因此即有由解
BA
BAPBAP
BAPBAP
BAPBAP
这是因为,如果相互独立与因此即
BA
BPAPABP
BPABPBPAP
BPABPABP
BP
ABPAP
BP
BAP
BP
ABP
BAPBAP
)()()(
)()()()(
)()()(
)(1
)()(
)(
)(
)(
)(
)|()|(
2000年经济类考研题设 A,B,C三个事件两两独立,则 A,B,C
相互独立的充分必要条件是 ( )
A,A与 BC独立 B,AB与 A+C独立
C,AB与 AC独立 D,A+B与 A+C独立
解,选项 B,C,D的两个事件中都出现事件 A,因此都不可能独立,因此考察选项 A,
如 A与 BC独立,则 P(ABC)=P(A)P(BC)
但 A,B,C两两独立,因此 P(BC)=P(B)P(C)
因此 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),即 A,B,C相互独立,反之亦然,因此,应填选项 A.
