第十三讲 数学期望
重点：数学期望的定义与计算难点：函数的数学期望
一、数学期望的定义
1.离散型R.V.的数学期望
引例：掷一枚骰子，掷出第面得分，某人掷了次，求其所得的平均分。
定义1.设离散型R.V.的分布律 P{X=xn}=pn n=1,2,…
若级数绝对收敛，则称为R.V.X的数字期望或平均值（简称期望或均值），记作E(X)或EX，即，当发散时，称R.V.X的数学期望不存在。
注：1）数学期望实际上是对x1,x2,…,xn,…的加权平均，
例1.设R.V.X服从（0-1）分布，求E(X)。
解：的分布率为
例2.设~P(λ)，求E(X)
2.连续型R.V.的数学期望
定义2.设连续型R.V.X的分布密度为f(x)，若绝对收敛，则称为的数学期望。记作E(X)，即,当发散时，X的数学期望不存在。
例3.设X~π(λ)，求E(X)。
=
例4.设X~N(μ,σ2)，求E(X)。
=
二、随机变量函数的数学期望
定理1.设y =g(x)是连续函数，X为一R.V.，Y =g(X)
（1）X是离散型R.V.，其分布律为P{X=xi}=pi i=1,2,…
（2）X是连续型R.V.，其密度函数为f(x)
推广：对于二维R.V.(X,Y)
（1）若(X,Y)为离散型R.V.，其分布率为P{X=xi,Y=yj}= pij，i,j=1,2,…,g(x,y)为二元连续函数，
（2）若(X,Y)为连续型R.V.，其分布密度为f(x,y)，g(x,y)为二元连续函数
例5.设的分布律为
例6.设R.V.X服从(0,π)上的均匀分布，Y=sinX，求E(Y)
例7.设R.V.(X,Y)的密度函数为
求E(XY)。
三、数学期望的性质
性质1,E(C)= C
性质2,E(X+C)= E(X)+C
性质3,E(kX)= kE(X)
性质4,E(X+Y)= E(X)+ E(Y)
证明：设(X,Y)为连续型R.V.，其密度函数为f(x,y)，则
推论1,E(X1+X2+…+Xn) =E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)
推论2,E(aX+bY)=aE (X)+bE(Y)，其中a,b为常数性质5.若X,Y独立，则E(XY)=E (X)E(Y)
证明：设(X,Y)为连续型R.V.，其密度函数为f(x,y)，则由于X,Y独立f(x,y)= fX(x) fY(y)于是
推论：若X1,X2,…,Xn相互独立，则E(X1X2…Xn) =E(X1)E(X2)…E(Xn)
例8.设X1,X2,…,Xn相互独立且服从分布，则由再生性，X1+X2+…+Xn服从二项分布，求该二项分布的期望。
解：设Xi的分布率为
1 0
则X1+X2+…+Xn~B(n,p)，由于E(Xi)=p,i=1,2,…,n，所以E(X1+X2+…+Xn)= np
例9.设一电路中电流I（安）与电阻R（欧）是两个相互独立的R.V.，其概率密度分别为
求电压V=IR均值。
