第二讲 概率的定义和古典概型
重点：概率的性质、古典概型中随机事件概率的计算。
难点：古典概型中随机事件概率的计算。
一、概率的定义
一个随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，但我们希望知道事件发生的可能性大小，并且用数来刻划它。我们称用来刻画事件发生可能性大小的数为事件发生的概率。在概率论发展初期，概率是用频率来定义，称为概率的统计定义。它的优点是比较直观，但是通过频率来求概率，需要做的试验次数多、费时、费力，不严格，并且也不利于理论上的推广。概率的另一个定义就是柯尔莫哥洛夫给出的公理化定义。
定义 1 对于随机试验E，随机事件A在一次试验中可能出现也可能不出现，在相同条件下试验n次，事件A发生r次，则称fn(A)=r/n为事件A发生的频率。
定义2 （概率的统计定义）在相同条件下重复n次试验，当n很大时，事件A发生的频率在一个常数附近摆动，并且随n的增大，这种摆动“大致上”越来越小，我们称这个常数为事件A的概率，记为P(A)。
频率的性质：
(1) 0≤fn(A)≤1 （非负性）；
(2) fn(Ω)=1,fn(φ)=0 （规范性）
(3)若AB=φ，则fn(A+B)=fn(A) +fn(B) （有限相加性）
根据频率的性质及概率的统计定义,我们给出概率的公理化定义。
定义3 （概率的公理化定义）设E是随机试验，Ω是样本空间，对于任意的事件，定义一个实的集函数P(A)，满足
(1) 0≤P(A)≤1 （非负性）
(2)P(Ω)=0（规范性）；
(3) 对于可列个两两互斥的随机事件A1，A2，…，An，…有： 。（可列可加性）。
则称P(A)为事件A发生的概率。
注 概率P是定义在Ω的所有子集上的一个实值集函数，其自变量是任意随机事件A，函数值是0~1.0之间的实数。
概率的性质：
性质1 P(φ)=0,
性质2 (有限可加性) 设A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则
性质3 对任意事件A，有
性质4 若则P(B-A)=P(B)-P(A)
注 对任意事件A,B,有P(B-A)=P(B)-P(AB)
性质5 P(A∪B)= P(A) +P(B)-P(AB)
性质6 若则P(B)≥P(A)
注 性质5可推广到有限个事件并的情形，如三个事件的并的概率为
例1 某厂两台机床,甲机床发生故障的概率为0.1，乙机床发生故障的概率为0.2，两台机床同时发生故障的概率为0.05，试求
(1) 甲，乙至少有一台发生故障的概率；
(2) 甲，乙都不发生故障的概率；
(3）甲，乙不都发生故障的概率；
（4）甲发生故障，乙不发生故障的概率。
解：令A表“机床甲发生故障”，B表“机床乙发生故障”，则P(A)=0.1,P(B)=0.2，P(A∩B)=0.05.
（1）A∪B表“机床甲与乙至少有一台发生故障”,故P(A∪B)= P(A) +P(B)-P(AB)=0.25;
(2) 表“机床甲与乙都不发生故障”，故
(3) 表“机床甲与乙不都发生故障”，故；
（4）表“甲发生故障，乙不发生故障”，故。
例2 设P(A)=1/3,P(B)=1/2在下列三种情况下，求的值
(1) A与B互斥; (2); (3) P(AB)=1/8.
解 （1）当A与B互斥时，,所以;
（2）当时，;
（3）由性质4的注可得，.
二,古典概型与几何概型
1、古典概型定义4 称满足下列条件的概率问题为古典概型（等可能概型）：
所有可能结果只有有限个，即样本空间只有有限个基本事件；
每个基本事件发生的可能性相同，即等可能发生。
设 由古典概型定义知，从而，于是可得古典概型的计算公式
。
注 此公式只适用于古典概型，使用公式前注意验证建立的样本空间是否属于古典概型。
例3 设有个人都以相同的概率进入间房子的每一间，每间房子可容纳人数不限，求下列事件的概率：
1） A：“某指定的间房中各有一人”；
2） B：“恰有间房子各有一人”；
3） C：“某指定的一间房中恰有人”
解 样本空间所含基本事件数为，A中所包含的基本事件数为！，B中所包含的基本事件数为！，C中所包含的基本事件数为，所以
。
注 此例题是一个古典概型典型问题中的特殊情形，它的一般模型是：将个球放入个盒子中（），假设每个球等可能地放入每个盒子中，且每个盒子放入的球数目不限。许多实际问题都可归结这个典型模型，如封信放入个邮筒中，只鸡放入个笼子中等。
例4 十个号码装于一个袋中，从中任取个，问大小在中间的号码恰为的概率。
解 从十个号码中任取三个共有种取法，而大小在中间的取法有种，所以所求的概率为
。
上例更一般的提法是：一个袋中装有个球，其中个标有号码，个标有号码“2”，，个标有号码，今从中任取个球，求恰有个标号为的概率，且+，同理可得所求概率为
。
上式称为超几何概率。
例5 台同型号的电视机中，有40台一等品，60台二等品，从中任取3台，在有放回抽取和无放回两种抽取方法中求事件台都是二等品}，事件={2台一等品，1台二等品}的概率。
有放回抽样情形
解答略。
无放回抽样情形此时样本空间所含的基本事件数为，中所含的基本事件为，中所含的基本事件为，所以
一般地，有放回抽样与无放回抽样所得的概率不同，特别是在抽取的对象数目不大时更是如此，但当抽取对象的数目较大时，有放回和无放回抽取所得的结果相差甚微。
2．几何概型
实验的结果有无穷多个，每个结果出现的可能性相同的概率问题就是所谓的几何概型问题。
设某一随机实验的样本空间是欧氏空间的某一区域（可以是一维空间的一段线段，二维空间的一块平面区域，三维空间的某一立体区域甚至是维空间的一区域），基本事件就是区域的一个点，且在区域内等可能出现，设是中的任一区域，基本事件落在区域的概率为
其中表示度量（一维空间中是长度，二维空间中是面积，三维空间中是体积等等）。
例6 在时间间隔内（0，T）的任何瞬间，两个不相关的信号均等可能进入收音机，当且仅当这两个信号进入收音机的时间间隔不大于时，收音机才受到干扰，求收音机受到干扰的概率。
解：以和分别表示两个信号进入收音机的瞬间时刻，由假定可知，样本空间是由点构成的边长为的正方形，其面积为，当时收音机受到干扰，如图所示，由几何概率的定义知所求概率为
。
