第二讲 概率的定义和古典概型
重点:概率的性质、古典概型中随机事件概率的计算。
难点:古典概型中随机事件概率的计算。
一、概率的定义
一个随机事件在一次试验中可能发生,也可能不发生,但我们希望知道事件发生的可能性大小,并且用数来刻划它。我们称用来刻画事件发生可能性大小的数为事件发生的概率。在概率论发展初期,概率是用频率来定义,称为概率的统计定义。它的优点是比较直观,但是通过频率来求概率,需要做的试验次数多、费时、费力,不严格,并且也不利于理论上的推广。概率的另一个定义就是柯尔莫哥洛夫给出的公理化定义。
定义 1 对于随机试验E,随机事件A在一次试验中可能出现也可能不出现,在相同条件下试验n次,事件A发生r次,则称fn(A)=r/n为事件A发生的频率。
定义2 (概率的统计定义)在相同条件下重复n次试验,当n很大时,事件A发生的频率在一个常数附近摆动,并且随n的增大,这种摆动“大致上”越来越小,我们称这个常数为事件A的概率,记为P(A)。
频率的性质:
(1) 0≤fn(A)≤1 (非负性);
(2) fn(Ω)=1,fn(φ)=0 (规范性)
(3)若AB=φ,则fn(A+B)=fn(A) +fn(B) (有限相加性)
根据频率的性质及概率的统计定义,我们给出概率的公理化定义。
定义3 (概率的公理化定义)设E是随机试验,Ω是样本空间,对于任意的事件,定义一个实的集函数P(A),满足
(1) 0≤P(A)≤1 (非负性)
(2)P(Ω)=0(规范性);
(3) 对于可列个两两互斥的随机事件A1,A2,…,An,…有: 。(可列可加性)。
则称P(A)为事件A发生的概率。
注 概率P是定义在Ω的所有子集上的一个实值集函数,其自变量是任意随机事件A,函数值是0~1.0之间的实数。
概率的性质:
性质1 P(φ)=0,
性质2 (有限可加性) 设A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则
性质3 对任意事件A,有
性质4 若则P(B-A)=P(B)-P(A)
注 对任意事件A,B,有P(B-A)=P(B)-P(AB)
性质5 P(A∪B)= P(A) +P(B)-P(AB)
性质6 若则P(B)≥P(A)
注 性质5可推广到有限个事件并的情形,如三个事件的并的概率为
例1 某厂两台机床,甲机床发生故障的概率为0.1,乙机床发生故障的概率为0.2,两台机床同时发生故障的概率为0.05,试求
(1) 甲,乙至少有一台发生故障的概率;
(2) 甲,乙都不发生故障的概率;
(3)甲,乙不都发生故障的概率;
(4)甲发生故障,乙不发生故障的概率。
解:令A表“机床甲发生故障”,B表“机床乙发生故障”,则P(A)=0.1,P(B)=0.2,P(A∩B)=0.05.
(1)A∪B表“机床甲与乙至少有一台发生故障”,故P(A∪B)= P(A) +P(B)-P(AB)=0.25;
(2) 表“机床甲与乙都不发生故障”,故
(3) 表“机床甲与乙不都发生故障”,故;
(4)表“甲发生故障,乙不发生故障”,故。
例2 设P(A)=1/3,P(B)=1/2在下列三种情况下,求的值
(1) A与B互斥; (2); (3) P(AB)=1/8.
解 (1)当A与B互斥时,,所以;
(2)当时,;
(3)由性质4的注可得,.
二,古典概型与几何概型
1、古典概型定义4 称满足下列条件的概率问题为古典概型(等可能概型):
所有可能结果只有有限个,即样本空间只有有限个基本事件;
每个基本事件发生的可能性相同,即等可能发生。
设 由古典概型定义知,从而,于是可得古典概型的计算公式
。
注 此公式只适用于古典概型,使用公式前注意验证建立的样本空间是否属于古典概型。
例3 设有个人都以相同的概率进入间房子的每一间,每间房子可容纳人数不限,求下列事件的概率:
1) A:“某指定的间房中各有一人”;
2) B:“恰有间房子各有一人”;
3) C:“某指定的一间房中恰有人”
解 样本空间所含基本事件数为,A中所包含的基本事件数为!,B中所包含的基本事件数为!,C中所包含的基本事件数为,所以
。
注 此例题是一个古典概型典型问题中的特殊情形,它的一般模型是:将个球放入个盒子中(),假设每个球等可能地放入每个盒子中,且每个盒子放入的球数目不限。许多实际问题都可归结这个典型模型,如封信放入个邮筒中,只鸡放入个笼子中等。
例4 十个号码装于一个袋中,从中任取个,问大小在中间的号码恰为的概率。
解 从十个号码中任取三个共有种取法,而大小在中间的取法有种,所以所求的概率为
。
上例更一般的提法是:一个袋中装有个球,其中个标有号码,个标有号码“2”,,个标有号码,今从中任取个球,求恰有个标号为的概率,且+,同理可得所求概率为
。
上式称为超几何概率。
例5 台同型号的电视机中,有40台一等品,60台二等品,从中任取3台,在有放回抽取和无放回两种抽取方法中求事件台都是二等品},事件={2台一等品,1台二等品}的概率。
有放回抽样情形
解答略。
无放回抽样情形此时样本空间所含的基本事件数为,中所含的基本事件为,中所含的基本事件为,所以
一般地,有放回抽样与无放回抽样所得的概率不同,特别是在抽取的对象数目不大时更是如此,但当抽取对象的数目较大时,有放回和无放回抽取所得的结果相差甚微。
2.几何概型
实验的结果有无穷多个,每个结果出现的可能性相同的概率问题就是所谓的几何概型问题。
设某一随机实验的样本空间是欧氏空间的某一区域(可以是一维空间的一段线段,二维空间的一块平面区域,三维空间的某一立体区域甚至是维空间的一区域),基本事件就是区域的一个点,且在区域内等可能出现,设是中的任一区域,基本事件落在区域的概率为
其中表示度量(一维空间中是长度,二维空间中是面积,三维空间中是体积等等)。
例6 在时间间隔内(0,T)的任何瞬间,两个不相关的信号均等可能进入收音机,当且仅当这两个信号进入收音机的时间间隔不大于时,收音机才受到干扰,求收音机受到干扰的概率。
解:以和分别表示两个信号进入收音机的瞬间时刻,由假定可知,样本空间是由点构成的边长为的正方形,其面积为,当时收音机受到干扰,如图所示,由几何概率的定义知所求概率为
。