第十四讲 方差、协方差和相关系数
重点：方差的定义、性质与计算
一、方差的定义
定义1,X为一R.V.，若E[X- E(X)]2存在，则称之为R.V.X的方差，记作D(X)、Var(X)或σ2(X)，即D(X)= E[X- E(X)]2,称为R.V.X的标准差或均方差，记作σ(X)。
若X为离散型R.V.，其分布率为P{X=xn}=pn n=1,2,…则
若X为连续型R.V.，其密度函数为f(x)，则
由数学期望的性质可得到方差的另一计算公式D(X)=E(X 2)- E2 (X)
例1.设R.V.X服从0-1分布，其分布率为
求D(X)
解：E(X)=p E(X 2)=p
例2.设R.V.X~ P(λ),求D(X)
例3.设R.V.X~U(a,b),求D(X)。
例4.设R.V.X~π(λ),求D(X)。
例5,设R.V.X ~N(μ,σ2)，求D(X)。
特别地，若R.V.X~ N(0,1) D(X)=1
二、方差的性质
性质1.若X=C，则D(X)=0
性质2,D(X+C)= D(X)
性质3,D(CX)= C2D(X)
推论：D(aX+b)= a2D(X)
性质4,若X,Y独立，则D(X±Y)= D(X)+ D(Y)
推论：若X1,X2,…,Xn相互独立，则
例6.设X1,X2,…,Xn独立且服从0-1分布，则X1+X2+…+Xn ~ B(n,p)，求此二项分布的方差。
解：由,Xi服从0-1分布，D(Xi)= p(1-p)，又X1,X2,…,Xn独立同分布
三、协方差、相关系数和矩
1,协方差与相关系数
定义1.设有二维R.V.(X,Y)，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称它为R.V.X与R.V.Y之间的协方差，记为Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，而
称为R.V.X与R.V.Y之间的相关系数。
若ρXY=0，则称R.V.X与R.V.Y不相关，反之则称X与Y相关或相依。
由协方差的定义，可以得到下面两个公式
协方差具有以下性质
（1）
（2）
（3）
定理1.设相关系数ρXY存在，则
（1）
（2）|ρXY|=1的充要条件是R.V.X与R.V.Y依概率1线性相关，即存在常数b和a≠0，使得P{Y=aX+b}=1
定理2.若X与Y相互独立，则X与Y不相关；反之不成立。
证明：X与Y相互独立
反例：设R.V.X的分布率为则
。
从而
即X与Y不相关，但显然X与Y不独立。
2.矩和协方差矩阵
定义2,设X与Y是R.V.
（1）若存在，则称之为X的阶原点矩；
（2）若存在，则称之为X的阶中心矩；
（3）若存在，则称之为X和的阶混合矩；
（4）若存在，则称之为X和的阶混合中心矩。
定义3.设维R.V.(X1,X2,…,Xn)的二阶混合中心矩
都存在，则称矩阵
为维R.V.(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵。
