第八讲 随机变量函数的分布
重点：离散型随机变量函数的分布律、连续型随机变量函数的概率密度函数。
难点：用定义法和公式法求连续型随机变量函数的概率密度函数。
设X是一随机变量，y=g(x)是的一个实值连续函数，可以证明Y=g(X)也是一个随机变量。于是，自然要问：能否根据X的分布求Y的分布？
一、离散型随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律为
-2
-1
0
1
2
0.1
0.2
0.3
0.1
0.3
求 1)2X+1； 2）X2+1的分布律。
解,由X的分布律可列出下表：
概率
0.1
0.2
0.3
0.1
0.3
-2
-1
0
1
2
-3
-1
1
3
7
5
2
1
2
10
由上表可得到：
1) 2X+1的分布律为：
-3
-1
1
3
7
概率
0.1
0.2
0.3
0.1
0.3
2) X2+1的分布律为
1
2
5
10
概率
0.3
0.3
0.1
0.3
一般地，已知离散型随机变量X分布律为 P{X=xk}= pk，k=1,2,…，可用下表求出Y=g(X)的分布律,
…
…
…
…
…
…
注 若g(xi)中有相同的取值，则把对应的概率值加起来，得到的分布律。
二、连续型随机变量函数的分布
设X是连续型随机变量，其密度函数为fX(x)，则Y=g(X)也是连续型随机变量。设FY(y)为Y的分布函数，则
；
Y的密度函数为
。
我们称这种通过分布函数求密度函数的方法为,定义法”。
例2 设随机变量X的概率密度为fX(x)，求
1）Y=a X+b a>0；2) Z= X2的概率密度；
；
。
例3 设电压V~N(0,σ2)，试求的分布解：由例2可知：V2的密度函数为
。
由上例看出，不能直接给出Y=g(X)的概率函数的计算公式，只能根据具体情况，先求，然后再求fY(y)。
当g(X)为严格单调情形时，有以下一般性的结果。
定理1 X的概率密度函数为fX(x)，函数g(x)处处可导且恒有g’(x)>0 (或g’(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为：
，
其中，，h(y)是g(x)的反函数。
证明略。
注 1） 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式求Y的密度函数。(此法称为“公式法”)
2） 若fX(x)为分段函数，注意对应的fY(y)的分段（见下面例5）。
例4 设X~ N(μ,σ2)，证明Y=a X+b (a≠0)服从正态分布。
证 X的密度函数为
。
令 y =g(x)=a x+b，其反函数为，它满足定理1的条件，故Y=a X+b (a≠0)的密度函数为
故Y服从正态分布且Y~ N(aμ+b,(aσ)2)。
特别地，当，时，有，称之为正态分布的标准化。
例5 设X~ U(0,1)，求Y=a X+b (a≠0)的概率密度。
解,y =a x+b关于x严格单调，其反函数为
故
。
，
。
