第三章 多维随机变量及其分布一、多维随机变量的概念定义 3.1 设 Ω是随机试验 E的样本空间，
是定义在 Ω上的 n个随机变量。将其构成一个 n维 有序数组称?为 n维随机变量 (或称 n维随机向量 ),称为?的第 i个分量。
nii,，，,?21
i?
).( 21 n,，,
二、二维随机变量的分布函数定义 3.2
设 (?,?)为 二维随机变量，对任何实数 x,y，二元函数称为 (?,?)的联合分布函数，简称 (?,?)的分布函数。
)()( yxPyxF,，
)()()()()( 111221222121 yxFyxFyxFyxFyyxxP,，，，,
1x 2x
1y
2y
(?,?)的联合分布函数 F(x,y)的性质：
1,F(x,y)关于 x,y是不减的；
2,F(-?,y)=F(x,-?)=0,F(+?,+?)=1；，,1)(0 yxF
3,F(x,y)关于 x,y均右连续；
4.
0)()()()( 11122122
2121
yxFyxFyxFyxF
yyxx
，，，，
，有，
三,二维 离散型随机变量若二维随机变量 (?,?)的所有可能取值能表示成的形式，则称 (?,?)为二维 离散型随机变量，称 为 (?,?)的 分布律 或概率分布 (或称?,?的 联合 分布律 )。
，，，，,21)(?jiyx ji
，，，，,21)( jiyxPp jiij
定义 3.3
ijjj
i
i
ppy
ppy
xx
1
1111
1
\(?,?)分布律的表格表示二维随机变量 (?,?)的分布函数
yy
xx
ij
j
i
pyxF )(,
二维随机变量 (?,?)的 分布律的性质
1.
2.,1
0
1 1
i j
ij
ij
p
p ；
例 1 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7。今各投两次，用?,?分别记 两人投中的次数。试求：
1)?,?的联合 分布律；
2) 两人投中的次数相同的概率；
3) 甲比乙投中的次数多的概率。
例 2 (2002年数学三考研试题十一题第 1小题 )
设随机变量 U在区间 [-2,2]上服从均匀分布，随机变量试求 X和 Y的 联合 概率分布。
.11
11
11
11
U
U
Y
U
U
X
若，
，若，
｛；若，
，若，
｛
例 3 (2001年数学一考研试题十一题 )
设某班车起点站上客数 X服从参数为?(?>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0<p<1)，且中途下车与否相互独立。以 Y表示在中途下车的人数，求：
(1) 在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；
(2) 二 维随机变量 (X,Y)的 概率 分布。
四、二维连续型随机变量定义 3.4 设二维随机变量 (?,?)的分布函数是 F(x,y)，若存在非负函数 f(x,y)，使对任何实数 x,y，都有则称 (?,?)是 连续型随机变量，称 f(x,y)是 (?,?)的 概率密度 (密度函数 )，或称?与?的 联合 概率密度 。
x y
du dvvufyxF )()(,，
概率密度 f(x,y)的性质
1.
2.
3.
.)())((
)(D
1)(
0)(
D
d xd yyxfDP
D
d xd yyxf
yxf
，，
的概率落在区域，是平面的一个区域，点设
，；，
例 4,已知二维随机变量 (?,?)的 密度函数为
1) 设 D={(x,y)｜ x+y<3}。求 P((?,?)?D);
2) 求 (?,?)的分布函数。
.0
42 208/)6()(
其它，；，，｛, yxyxyxf
思考题 (2003年数学一考研试题填空题 )
设二维随机变量 (?,?)的 密度函数为
).1(
.0
106)(Pyxxyxf 求：
其它，；，｛，
二维均匀分布设 D是平面上有界区域，其面积为 A。若 (?,?)的概率密度为则称 (?,?)服从区域 D上的均匀分布。
.0
)(/1
)(
其它，；，若，
｛，
DyxA
yxf
二维正态分布设 (?,?)的概率密度为则称 (?,?)服从 参数 为 的正态分布，记为
，，，，
，
100 ]}
)())((
2
)(
[*
)1(2
1
e x p {
12
1
)(
212
2
2
2
21
21
2
1
2
1
22
21
yyx
x
yxf
,，，,2121
).()( 222121,，，，～,N
五、边缘分布定义 3.5 设 (?,?)的分布函数为 F(x,Y)，称?的分布函数为 (?,?)关于?的 边缘 分布函数，称?的分布函数 为 (?,?)
关于?的 边缘 分布函数。
)(xF?
)(yF?
边缘分布函数和联合分布函数间的关系：
).(lim)( )(lim)( yxFyFyxFxF xy,；,
几何意义
x
y
离散型随机变量的边缘分布函数
.)(
)(
1
1
yy i
ij
x yy
ij
xx j
ij
xx y
ij
ji j
ii j
ppyF
ppxF
；
定义 3.6 设 (?,?)为离散型随机变量，分别称为 (?,?)关于?和?的边缘分布律。
11
)( )(
i
ijjj
j
ijii pyPppxPp 和联合分布律与边缘分布律的表
1
i
j
p
y
y
ji pxx1
1
11
1
1
1
1
1111
j
ij
j
j
i
ijijj
i
ii
pp
ppp
ppp
连续型随机变量的边缘分布函数
.)()()(
)()(
dxvxfdvd x d vvxfyF
dyyufduxF
yy
x
，，；，
定义 3.7
设 (?,?)为连续型随机变量，称分别为 (?,?)关于?和?的 边缘 概率密度。
dxyxfyfdyyxfxf )()( )()(,和,
结论：设 则,，，，，～,)()( 222121 N
).( )( 222211,～，，～ NN
六、条件分布问题：设 (?,?)为二维 离散型随机变量，其分布律和边缘分布律分别为
，，，
，，，
，，，，，
21)(
21)(
21)(
1
1
jpyPp
ipxPp
jiyxPp
i
ijjj
j
ijii
jiij
)( ji yxP ｜
定义 3.8
设 (?,?)为二维 离散型随机变量，对于 固定的 j，若为在 条件下?的条件分布律；
对于 固定的 i，若,称为在 条件下?的条件分布律。
，，，｜称,21/)( 0)( ippyxPyP jijjij
0)( ixP?
jy
ix
，，，｜ 21 /)( jppxyP iijij
定义 3.9
设对任何?>0，有,若则称此极限为 在?=y条件下?的条件分布函数,记为
0)( yyP
)](/
)([lim)(lim
00
yyP
yyxPyyxP,｜
存在，
).()()( yxPyxFyxF ｜｜｜｜
问题：设连续型随机变量 (?,?)的分布函数为 F(x,y)，概率密度函数为 f(x,y)，且 f(x,y)在点 处连续,?的边缘密度函数 在 处亦连续,问：
)( 00 yx,
)(yf? 0y,0)(
0?yf?
)( 00?yxF ｜
注,假设积分和求导可交换次序，或假定分布函数中两个积分均一致收敛。
结论：
)(
)(
)(
0
0
00
0
yf
dxyxf
yxF
x
，
｜
定义 3.10 设 (?,?)为连续型随机变量，其密度函数为 f(x,y)，
边缘密度函数分别为 和 。
若 >0，称为在?=y条件下,?的条件概率 密度函数 (条件 密度 )。
若 >0，称为在? =x条件下,?的条件概率 密度函数 (条件 密度 )。
)(yf?
)(yf? )(/)()()( yfyxfyxfyxf,｜｜｜
)(/)()()( xfyxfxyfxyf,｜｜｜
例 6 随机点 A(?,?)在一椭圆内的任意位置是等概率的，椭圆的主半径为 a与 b，并分别与坐标轴 OX和 OY相重合。求：
1) 每一直角坐标的概率密度；
2) 它们相互的 条件 密度。
()fx?
()fx?
结论：设对固定的 x，
对固定的 y,)).1(/)((
))1(/)((
)()(
22
12211
22
21122
2
2
2
121
，～｜；，～｜
，，，，，～，
yN
xN
N
注意事项：
1,二维随机变量的 条件分布?｜?和?｜?均是一维 随机变量，
其分段表达式的取值范围中只能出现一个变量。
2,条件密度 f(x｜ y)的定义域确定，应是先确定使的 y的范围。当 y的范围确定后，便将 y当作常数，再依据 y确定 x的相应区间。不能把 x在联合概率密度中的取值范围当作 x
在 条件 密度中的取值范围。
0)(?yf?
七、相互独立的随机变量事件 A与 B相互独立 <=>P(AB)=P(A)P(B)
)()()
)()(
yPxPyxP( ξ
yx
，
相互独立与定义 3.11
设 F(x,y),分别是 (?,?)的分布函数和?，
的 边缘分布函数。若对任何实数 x,y，均有则称?与?是相互独立的 随机变量 (?与?相互独立 )。
)()( yFxF,
)()()( yFxFyxF，
定理若 (?,?)为连续型随机变量,f(x,y)，
分别是 (?,?)的概率密度和?,?的边缘 密度函数,又设 f(x,y)，
均处处连续。则?与?相互独立的充要条件是：
)()( yfxf,
)()( yfxf,
).()()( yfxfyxf，
定理若 (?,?)为离散型随机变量,?与?相互独立的充要条件是：
对任何 i,j,).()()(
jiji yPxPyxP,
定理设?与?相互独立的充要条件是,?=0。
).()( 222121,，，，～,N
说明,?与?相互独立当且仅当 ).()()()( yfxyfxfyxf
｜，｜
例 7,已知 (?,?)的分布函数为求证,?与?相互独立。
，,)
32
)(
22
(1)( 112 ytgxtgyxF
例 8(2002年数学一考研试题 )
设?,?是任意两个相互独立的 随机变量,它们的概率密度分别为 和,分布函数分别为 和,
( )
(A) + 必为某一随机变量的概率密度。
(B) 必为某一随机变量的概率密度。
(C) + 必为某一随机变量的分布函数。
(D) 必为某一随机变量的分布函数。
)(1 xf
)(1 xf
)(1 xf
)(2 xf )(1 xF
)(1 xF
)(1 xF
)(2 xf
)(2 xf
)(2 xF
)(2 xF
)(2 xF
说明：二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布、独立随机变量的概念和结论均可推广到 n维随机变量上去。
八、两个随机变量的函数的分布结论,设 是 n维随机变量，
是 n元连续函数，则 是一维随机变量，称
为 的函数。
)( 21 n,，,? )( 21 nxxxgy,，,
)( 21 ng,，,
n,，,?21
设 (?,?)的密度函数为 f(x,y),g(x,y)为连续函数，
则?=g (?,?)为 一维 连续型随机变量，其分布函数为
。,))(()( zgPzF
，则，｜，设 })(){( zyxgyxD z
))(())(()( zDPzgPzF,，
zD
d x d yyxf )(,
zyxg
d x d yyxf
)(
)(
，
，
的密度函数。即可求出由 )()( zFzf
1,和的分布设 (?,?)的密度函数为 f(x,y),求?=?+?的密度函数。
.)()()(
dyyyzfdxxzxfzf,，?
若?与?相互独立,则?=?+?的密度函数为
.)()()()()( dyyfyzfdxxzfxfzf
这两个公式一般称为 与 的 卷积公式 。)(xf
)(yf?
例 1,设?与?相互独立,? ～ N(0,1),?服从 (-b,b)上的均匀分布，求?=?+?的密度函数。
例 2.(2003年数学三考研试题十二题 )
设随机变量 X与 Y相互独立，其中 X的概率分布为而 Y的 概率密度为 f(y)，求 随机变量 X+Y的 概率密度 g(u)。
7.03.0
21
～X
例 3.(2001年数学三考研试题十二题 )
设随机变量 X与 Y的联合分布是正方形上的均匀分布，求随机变量 U=｜ X-Y｜的 概率密度 p(u)。
}3131){( yxyxG,｜，
y=x-u
y=x+u
1 3
1
3
y=x
｛u
2.顺序统计量的分布设 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为,
。求 M和 N的分布函数 和 。
n,，,?21
。，，，,nixF i?21)(? }m a x { 21 nM,，,
}m i n { 21 nN,，, )(xFM )(xFN
，)()()()( 21 xFxFxFxF nM
) ],(1[)](1) ] [(1[1)( 21 xFxFxFxF nN
说明,若要求 或 )} ( m a x {
1nP,,? )}( m i n { 1nP,,?
均宜用对立事件来处理。
例 4,设 相互独立，且均服从 [0,?]上的均匀分布。,求 的分布。n,,?1 }m a x {
1 nn,, )( nn
特别，若?i,i=1,…,n相互独立且服从同一分布 F(x)，则
.)](1[1)()]([)( nNnM xFxFxFxF,
3,独立随机变量的可加性
)( ii ～1) 设,且相互独立,i=1,2,…,m.则
).(
11
m
i
i
m
i
i ～
2)设,且相互独立,i=1,2,…,m.则
)( pnB ii,～?
).(
11
pnB
m
i
i
m
i
i,～
3) 设,且相互独立,i=1,2,…,m.则)(,～
ii?
).(
11
,～
m
i
i
m
i
i
4),设,且相互独立,为常数，
i=1,2,…,m.则
)( 2iii N,～ iiab，
),)(()( 22
11
iiiii
m
i
ii
m
i
i abaNba,～
以上性质分别称为泊松分布、二项分布,?-分布、正态分布的可加性。
是定义在 Ω上的 n个随机变量。将其构成一个 n维 有序数组称?为 n维随机变量 (或称 n维随机向量 ),称为?的第 i个分量。
nii,，，,?21
i?
).( 21 n,，,
二、二维随机变量的分布函数定义 3.2
设 (?,?)为 二维随机变量，对任何实数 x,y，二元函数称为 (?,?)的联合分布函数，简称 (?,?)的分布函数。
)()( yxPyxF,，
)()()()()( 111221222121 yxFyxFyxFyxFyyxxP,，，，,
1x 2x
1y
2y
(?,?)的联合分布函数 F(x,y)的性质：
1,F(x,y)关于 x,y是不减的；
2,F(-?,y)=F(x,-?)=0,F(+?,+?)=1；，,1)(0 yxF
3,F(x,y)关于 x,y均右连续；
4.
0)()()()( 11122122
2121
yxFyxFyxFyxF
yyxx
，，，，
，有，
三,二维 离散型随机变量若二维随机变量 (?,?)的所有可能取值能表示成的形式，则称 (?,?)为二维 离散型随机变量，称 为 (?,?)的 分布律 或概率分布 (或称?,?的 联合 分布律 )。
，，，，,21)(?jiyx ji
，，，，,21)( jiyxPp jiij
定义 3.3
ijjj
i
i
ppy
ppy
xx
1
1111
1
\(?,?)分布律的表格表示二维随机变量 (?,?)的分布函数
yy
xx
ij
j
i
pyxF )(,
二维随机变量 (?,?)的 分布律的性质
1.
2.,1
0
1 1
i j
ij
ij
p
p ；
例 1 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7。今各投两次，用?,?分别记 两人投中的次数。试求：
1)?,?的联合 分布律；
2) 两人投中的次数相同的概率；
3) 甲比乙投中的次数多的概率。
例 2 (2002年数学三考研试题十一题第 1小题 )
设随机变量 U在区间 [-2,2]上服从均匀分布，随机变量试求 X和 Y的 联合 概率分布。
.11
11
11
11
U
U
Y
U
U
X
若，
，若，
｛；若，
，若，
｛
例 3 (2001年数学一考研试题十一题 )
设某班车起点站上客数 X服从参数为?(?>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0<p<1)，且中途下车与否相互独立。以 Y表示在中途下车的人数，求：
(1) 在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；
(2) 二 维随机变量 (X,Y)的 概率 分布。
四、二维连续型随机变量定义 3.4 设二维随机变量 (?,?)的分布函数是 F(x,y)，若存在非负函数 f(x,y)，使对任何实数 x,y，都有则称 (?,?)是 连续型随机变量，称 f(x,y)是 (?,?)的 概率密度 (密度函数 )，或称?与?的 联合 概率密度 。
x y
du dvvufyxF )()(,，
概率密度 f(x,y)的性质
1.
2.
3.
.)())((
)(D
1)(
0)(
D
d xd yyxfDP
D
d xd yyxf
yxf
，，
的概率落在区域，是平面的一个区域，点设
，；，
例 4,已知二维随机变量 (?,?)的 密度函数为
1) 设 D={(x,y)｜ x+y<3}。求 P((?,?)?D);
2) 求 (?,?)的分布函数。
.0
42 208/)6()(
其它，；，，｛, yxyxyxf
思考题 (2003年数学一考研试题填空题 )
设二维随机变量 (?,?)的 密度函数为
).1(
.0
106)(Pyxxyxf 求：
其它，；，｛，
二维均匀分布设 D是平面上有界区域，其面积为 A。若 (?,?)的概率密度为则称 (?,?)服从区域 D上的均匀分布。
.0
)(/1
)(
其它，；，若，
｛，
DyxA
yxf
二维正态分布设 (?,?)的概率密度为则称 (?,?)服从 参数 为 的正态分布，记为
，，，，
，
100 ]}
)())((
2
)(
[*
)1(2
1
e x p {
12
1
)(
212
2
2
2
21
21
2
1
2
1
22
21
yyx
x
yxf
,，，,2121
).()( 222121,，，，～,N
五、边缘分布定义 3.5 设 (?,?)的分布函数为 F(x,Y)，称?的分布函数为 (?,?)关于?的 边缘 分布函数，称?的分布函数 为 (?,?)
关于?的 边缘 分布函数。
)(xF?
)(yF?
边缘分布函数和联合分布函数间的关系：
).(lim)( )(lim)( yxFyFyxFxF xy,；,
几何意义
x
y
离散型随机变量的边缘分布函数
.)(
)(
1
1
yy i
ij
x yy
ij
xx j
ij
xx y
ij
ji j
ii j
ppyF
ppxF
；
定义 3.6 设 (?,?)为离散型随机变量，分别称为 (?,?)关于?和?的边缘分布律。
11
)( )(
i
ijjj
j
ijii pyPppxPp 和联合分布律与边缘分布律的表
1
i
j
p
y
y
ji pxx1
1
11
1
1
1
1
1111
j
ij
j
j
i
ijijj
i
ii
pp
ppp
ppp
连续型随机变量的边缘分布函数
.)()()(
)()(
dxvxfdvd x d vvxfyF
dyyufduxF
yy
x
，，；，
定义 3.7
设 (?,?)为连续型随机变量，称分别为 (?,?)关于?和?的 边缘 概率密度。
dxyxfyfdyyxfxf )()( )()(,和,
结论：设 则,，，，，～,)()( 222121 N
).( )( 222211,～，，～ NN
六、条件分布问题：设 (?,?)为二维 离散型随机变量，其分布律和边缘分布律分别为
，，，
，，，
，，，，，
21)(
21)(
21)(
1
1
jpyPp
ipxPp
jiyxPp
i
ijjj
j
ijii
jiij
)( ji yxP ｜
定义 3.8
设 (?,?)为二维 离散型随机变量，对于 固定的 j，若为在 条件下?的条件分布律；
对于 固定的 i，若,称为在 条件下?的条件分布律。
，，，｜称,21/)( 0)( ippyxPyP jijjij
0)( ixP?
jy
ix
，，，｜ 21 /)( jppxyP iijij
定义 3.9
设对任何?>0，有,若则称此极限为 在?=y条件下?的条件分布函数,记为
0)( yyP
)](/
)([lim)(lim
00
yyP
yyxPyyxP,｜
存在，
).()()( yxPyxFyxF ｜｜｜｜
问题：设连续型随机变量 (?,?)的分布函数为 F(x,y)，概率密度函数为 f(x,y)，且 f(x,y)在点 处连续,?的边缘密度函数 在 处亦连续,问：
)( 00 yx,
)(yf? 0y,0)(
0?yf?
)( 00?yxF ｜
注,假设积分和求导可交换次序，或假定分布函数中两个积分均一致收敛。
结论：
)(
)(
)(
0
0
00
0
yf
dxyxf
yxF
x
，
｜
定义 3.10 设 (?,?)为连续型随机变量，其密度函数为 f(x,y)，
边缘密度函数分别为 和 。
若 >0，称为在?=y条件下,?的条件概率 密度函数 (条件 密度 )。
若 >0，称为在? =x条件下,?的条件概率 密度函数 (条件 密度 )。
)(yf?
)(yf? )(/)()()( yfyxfyxfyxf,｜｜｜
)(/)()()( xfyxfxyfxyf,｜｜｜
例 6 随机点 A(?,?)在一椭圆内的任意位置是等概率的，椭圆的主半径为 a与 b，并分别与坐标轴 OX和 OY相重合。求：
1) 每一直角坐标的概率密度；
2) 它们相互的 条件 密度。
()fx?
()fx?
结论：设对固定的 x，
对固定的 y,)).1(/)((
))1(/)((
)()(
22
12211
22
21122
2
2
2
121
，～｜；，～｜
，，，，，～，
yN
xN
N
注意事项：
1,二维随机变量的 条件分布?｜?和?｜?均是一维 随机变量，
其分段表达式的取值范围中只能出现一个变量。
2,条件密度 f(x｜ y)的定义域确定，应是先确定使的 y的范围。当 y的范围确定后，便将 y当作常数，再依据 y确定 x的相应区间。不能把 x在联合概率密度中的取值范围当作 x
在 条件 密度中的取值范围。
0)(?yf?
七、相互独立的随机变量事件 A与 B相互独立 <=>P(AB)=P(A)P(B)
)()()
)()(
yPxPyxP( ξ
yx
，
相互独立与定义 3.11
设 F(x,y),分别是 (?,?)的分布函数和?，
的 边缘分布函数。若对任何实数 x,y，均有则称?与?是相互独立的 随机变量 (?与?相互独立 )。
)()( yFxF,
)()()( yFxFyxF，
定理若 (?,?)为连续型随机变量,f(x,y)，
分别是 (?,?)的概率密度和?,?的边缘 密度函数,又设 f(x,y)，
均处处连续。则?与?相互独立的充要条件是：
)()( yfxf,
)()( yfxf,
).()()( yfxfyxf，
定理若 (?,?)为离散型随机变量,?与?相互独立的充要条件是：
对任何 i,j,).()()(
jiji yPxPyxP,
定理设?与?相互独立的充要条件是,?=0。
).()( 222121,，，，～,N
说明,?与?相互独立当且仅当 ).()()()( yfxyfxfyxf
｜，｜
例 7,已知 (?,?)的分布函数为求证,?与?相互独立。
，,)
32
)(
22
(1)( 112 ytgxtgyxF
例 8(2002年数学一考研试题 )
设?,?是任意两个相互独立的 随机变量,它们的概率密度分别为 和,分布函数分别为 和,
( )
(A) + 必为某一随机变量的概率密度。
(B) 必为某一随机变量的概率密度。
(C) + 必为某一随机变量的分布函数。
(D) 必为某一随机变量的分布函数。
)(1 xf
)(1 xf
)(1 xf
)(2 xf )(1 xF
)(1 xF
)(1 xF
)(2 xf
)(2 xf
)(2 xF
)(2 xF
)(2 xF
说明：二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布、独立随机变量的概念和结论均可推广到 n维随机变量上去。
八、两个随机变量的函数的分布结论,设 是 n维随机变量，
是 n元连续函数，则 是一维随机变量，称
为 的函数。
)( 21 n,，,? )( 21 nxxxgy,，,
)( 21 ng,，,
n,，,?21
设 (?,?)的密度函数为 f(x,y),g(x,y)为连续函数，
则?=g (?,?)为 一维 连续型随机变量，其分布函数为
。,))(()( zgPzF
，则，｜，设 })(){( zyxgyxD z
))(())(()( zDPzgPzF,，
zD
d x d yyxf )(,
zyxg
d x d yyxf
)(
)(
，
，
的密度函数。即可求出由 )()( zFzf
1,和的分布设 (?,?)的密度函数为 f(x,y),求?=?+?的密度函数。
.)()()(
dyyyzfdxxzxfzf,，?
若?与?相互独立,则?=?+?的密度函数为
.)()()()()( dyyfyzfdxxzfxfzf
这两个公式一般称为 与 的 卷积公式 。)(xf
)(yf?
例 1,设?与?相互独立,? ～ N(0,1),?服从 (-b,b)上的均匀分布，求?=?+?的密度函数。
例 2.(2003年数学三考研试题十二题 )
设随机变量 X与 Y相互独立，其中 X的概率分布为而 Y的 概率密度为 f(y)，求 随机变量 X+Y的 概率密度 g(u)。
7.03.0
21
～X
例 3.(2001年数学三考研试题十二题 )
设随机变量 X与 Y的联合分布是正方形上的均匀分布，求随机变量 U=｜ X-Y｜的 概率密度 p(u)。
}3131){( yxyxG,｜，
y=x-u
y=x+u
1 3
1
3
y=x
｛u
2.顺序统计量的分布设 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为,
。求 M和 N的分布函数 和 。
n,，,?21
。，，，,nixF i?21)(? }m a x { 21 nM,，,
}m i n { 21 nN,，, )(xFM )(xFN
，)()()()( 21 xFxFxFxF nM
) ],(1[)](1) ] [(1[1)( 21 xFxFxFxF nN
说明,若要求 或 )} ( m a x {
1nP,,? )}( m i n { 1nP,,?
均宜用对立事件来处理。
例 4,设 相互独立，且均服从 [0,?]上的均匀分布。,求 的分布。n,,?1 }m a x {
1 nn,, )( nn
特别，若?i,i=1,…,n相互独立且服从同一分布 F(x)，则
.)](1[1)()]([)( nNnM xFxFxFxF,
3,独立随机变量的可加性
)( ii ～1) 设,且相互独立,i=1,2,…,m.则
).(
11
m
i
i
m
i
i ～
2)设,且相互独立,i=1,2,…,m.则
)( pnB ii,～?
).(
11
pnB
m
i
i
m
i
i,～
3) 设,且相互独立,i=1,2,…,m.则)(,～
ii?
).(
11
,～
m
i
i
m
i
i
4),设,且相互独立,为常数，
i=1,2,…,m.则
)( 2iii N,～ iiab，
),)(()( 22
11
iiiii
m
i
ii
m
i
i abaNba,～
以上性质分别称为泊松分布、二项分布,?-分布、正态分布的可加性。
