第4章 电路定理首页本章重点叠加定理
4.1
替代定理
4.2
戴维宁定理和诺顿定理
4.3
最大功率传输定理
4.4
特勒根定理
4.5*
互易定理
4.6*
对偶原理
4.7*
z 重点:
熟练掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。
重点是戴维南定理、叠加定理、最大功率的求解（必考计算）
返回
1,叠加定理在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流( 或电压)
的代数和。
4.1 叠加定理
2,定理的证明
(G
2
+G
3
)u
n1
=G
2
u
s2
+G
3
u
s3
+i
S
1
G
1
i
s1
G
2
u
s2
G
3
u
s3
i
2
i
3
+
–
+
–
1
应用结点法：
返回 上页 下页
32
1
32
33
32
22
1
GG
i
GG
uG
GG
uG
u
SSS
n
+
+
+
+
+
=
或表示为：
)3(
1
)2(
1
)1(
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
++=
++=
支路电流为：
)3(
3
)2(
3
)1(
3
32
13
3
3
32
32
2
32
23
3313
)()()(
iii
GG
iG
u
GG
GG
u
GG
GG
Guui
S
SSSn
++=
+
+
+
+
+
=?=
)3(
2
)2(
2
)1(
2332211
32
12
32
323
2
2
32
23
2212
)()(
iiiububib
GG
iG
GG
uGG
u
GG
GG
Guui
SSS
SS
SSn
++=++=
+
+
+
+
+
=?=
下页上页
G
1
i
s1
G
2
u
s2
G
3
u
s3
i
2
i
3
+
–
+
–
1
返回结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
①叠加定理只适用于线性电路。
②一个电源作用，其余电源为零，置零原则：
电压源为零 — 短路。
电流源为零 — 开路。
返回 上页 下页
=
G
1
i
s1
G
2
u
s2
G
3
u
s3
i
2
i
3
+
–
+
–
)1(
2
i
)1(
3
i
G
1
i
s1
G
2
G
3
i
s1
单独作用三个电源共同作用
G
1
G
3
)2(
3
i
)2(
2
i
u
s2
+
–
G
1
G
3
u
s3
+
–
)3(
2
i
)3(
3
i
+ +
u
s2
单独作用 u
s3
单独作用返回 上页 下页
③功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。
④ u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
⑤ 含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。
4,叠加定理的应用返回 上页 下页例 1
下页上页计算电压 u,电流 i。
解 画出分电路图
u
（ 1）
＋
－
10V
2i
(1)
＋
－
1?
2?
＋
－
i
（ 1）
＋
受控源始终保留
u
＋
－
10V
2i
＋
－
1?
i 2?
＋
－
5A
u
(2)
2i
(2)
i
(2)
＋
－
1?
2?
＋
－
5A
返回
u
（ 1）
＋
－
10V
2i
(1)
＋
－
1?
2?
＋
－
i
（ 1）
＋
u
(2)
2i
(2)
i
(2)
＋
－
1?
2?
＋
－
5A
)12/()210(
)1()1(
+?= ii
V6321
)1()1()1()1(
==+×= iiiu
A2
)1(
=i10V电源作用：
5A电源作用：
02)5(12
)2()2()2(
=++×+ iii
A1
)2(
=i
V2)1(22
)2()2(
=?×?=?= iu
A1)1(2 =?+=i
V826 =+=u
返回 上页 下页
5.齐性原理线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流) 也 增大(或减小)同样的倍数。是叠加定理的特例注意
①当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
②具有可加性 。
返回 上页 下页求电流 i
R
L
=2? R
1
=1? R
2
=1? u
s
=51V，
例
i
R
1
R
1
R
1
R
2
R
L
+
–
u
s
R
2
R
2
+
–
2V
2A
+–
3V
+–
8V
+
–
21V
+
–
u
s
'
=34V
3A8A21A
5A
13A
i '=1A
采用倒推法：设 i'=1A
则
A5.11
34
51
'
'
'
s
s
'
s
s
=×=== i
u
u
i
u
u
i
i
即解返回 上页 下页例 2
封装好的电路如图，已知下列实验数据：
2
0V,4A,6
8V,4A,
12V,4A,
SS
SS
SS
uiUV
ui
ui
===
==
==
当当 电流源不消耗功率问当 求电流源吸收的功率下页上页研究激励和响应关系的实验方法解 根据叠加定理
2
2
64 0
04 8
1.5,0.75
0.75 12 1.5 4 3
SS
ubiau
b
ba
ab
uV
= +
=+
=+
==?
=?×+×=?
代入实验数据：
返回下页上页返回
2
2
6
0
VV
V=9V
=
0V,
-9+6=-3V
4A,6
8V,4A,
12V,4A,
12V,4A
S
S
SS
SS
SS
SS
S
S
S
uiUV
ui
ui
u
i
i
u
i
UV
u
u
=
===
==
=
=
×
=
=?
=
表明 单独作用时,
表明,共同作用时电流源电压等于,
说明 =8 单独当当 电流源不消耗功率问当 求电产生的电压为-6
12
=12 产生的电压根据齐性定理 （-6）
8
那么 叠加产生的流源吸收的功独电压率单
2
0V,4A,6
8V,4A,
12V,4A,
SS
SS
SS
uiUV
ui
ui
===
==
==
当当 电 流源不消耗功率问当 求电流源吸收的功率
4.2 替代定理
1.替代定理对 于 给定的任意一个电路，若某一支路电压为 u
k
、电流为 i
k
，那么这条支路就可以用一个电压等于 u
k
的独立电压源，或者用一个 电流等于
i
k
的独立电流源,或 用 R=u
k
/i
k
的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。
返回 上页 下页
+
–
u
k
支路
k
i
k
+
–
u
k
i
k
下页上页
i
k
+
–
u
k
R=u
k
/i
k
返回
2,定理的证明证毕 !
返回 上页 下页例求图示电路的支路电压和电流解
[ ]
A10
10//)105(5/110
1
=
++=i
A65/3
12
== ii
A45/2
13
== ii
V6010
2
== iu
替代替代以后有：
A105/)60110(
1
=?=i
A415/60
3
==i
替代后各支路电压和电流完全不变。
＋
－
i
3
10?
5? 5?
110V 10?
i
2
i
1
＋
－
u
注意
＋
－
i
3
10?
5? 5?
110V
i
2
i
1
＋
－
返回 上页 下页替代前后 KCL,KVL关 系相同,其余支路的
u,i关系不变。用 u
k
替代后，其余支路电压不变
(KVL)，其余支路电流也不变，故第 k条支路 i
k
也不变 (KCL)。
原因原因注意
①替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
返回 上页 下页若使
,
8
1
II
x
= 试求 R
x
通过例题我们来看看有效性
0.5?
0.5?
10V
3?
1?
R
x
I
x
–+
U
I
0.5?
＋
－
0.5?
0.5?
10V
3?
1?
R
x
I
x
–+
U
I
0.5?
＋
－
0.5?
0.5?
1?I
0.5?
I
8
1
例 1
若使试求 R
x
,
8
1
II
x
=
3,替代定理的应用解 用替代：
返回 上页 下页
0.5?
0.5?
10V
3?
1?
R
x
I
x
–+
U
I
0.5?
＋
－
13
23
12 3
11
(1 )
0.5 0.5
11 1
()
0.5 0.5 0.5
11 111
()
0.5 0.5 0.5 0.5 8
UUI
UUI
UU UI
+?×=
+?×=?
×?×+ + =?
3
1
40
UI=
R
x
=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2?
求电流 I
1
例 2
解 用替代：
A5.2
6
15
42
42
6
7
1
==
+
×
+=I
6?
5?
7V
3? 6?
I
1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2?
4?
4A
＋
－
7V
I
1
返回 上页 下页
4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中，常常碰到只需研究某一支路 的 电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算 简 化 。 戴 维 宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
返回 上页 下页
1,戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和 电阻 的串 联组 合 来 等效置换；此电压源的电压等 于外 电路 断开 时 端 口处的开路电压 u
oc
，而电阻等于一端口的输入电 阻
（或等效电阻 R
eq
）。
a
b
i
u
+
-
A
i
a
b
R
eq
U
oc
+
-
u
+
-
返回 上页 下页例
10?
10?
+
–
20V
+
–
U
oc
a
b
+
–
10V
1A
5?
2A
+
–
U
oc
a
b
应用电源等效变换
5?
15V
a
b
R
eq
U
oc
+
-
返回 上页 下页
I
例
10?
10?
+
–
20V
+
–
U
oc
a
b
+
–
10V
5?
15V
a
b
R
eq
U
oc
+
-
应用电戴维宁定理
(1) 求开路电压 U
oc
(2) 求输入电阻 R
eq
A5.0
20
1020
=
=I
510//10
eq
==R
V1510105.0
oc
=+×=U
两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。
注意返回 上页 下页
2.定理的证明
+
替代叠加
A中独立源置零
a
b
i
+
–
u
N
A
u'
a
b
+
–
A
oc
uu =
'
iRu
eq
=
''
a
b
i
+
–
u
N
u''
a
b
i
+
–
A
R
eq
返回 上页 下页
iRuuuu
eqoc
=+=
'''
i
+
–
u
N
a
b
R
eq
U
oc
+
-
返回 上页 下页
3.定理的应用
（1）开路电压 U
oc
的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于 将外电路断开时的开路电压 U
oc
，电压源方向与所求开 路电压方向有关。计算 U
oc
的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。
（2）等效电阻的计算等效电阻为将一端口网络内部独立 电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：
返回 上页 下页
①当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y互换的方法计算等效电阻；
2 3
方法更有一般性。
③开路电压，短路电流法。
②外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；
i
u
R
eq
=
sc
oc
eq
i
u
R =
下页上页
u
a
b
i
+
–
N
R
eq
i
a
b
R
eq
U
oc
+
-
u
+
-
a
b
u
i
+
–
N
R
eq
返回
① 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变
(伏 -安特性等效)。
② 当一端口内部含有受控 源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。
下页上页注意例 1
计算 R
x
分别为 1.2?、
5.2?时的电流 I
I
R
x
a
b
+–
10V
4?
6?
6?
4?
解断开 R
x
支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：
返回
②求等效电阻 R
eq
R
eq
=4//6+6//4=4.8?
③ R
x
=1.2?时,
I= U
oc
/(R
eq
+ R
x
) =0.333A
R
x
=5.2?时,
I= U
oc
/(R
eq
+ R
x
) =0.2A
下页上页
U
oc
= U
1
- U
2
= -10×4/(4+6)+10 × 6/(4+6)
= 6-4=2V
①求开路电压
b
+–
10V
4?
6?
6?
4? +
-
U
oc
I a
b
U
oc
+
–
R
x
R
eq
+ U
1
-
+ U
2
-
b
4?
6
6?
4 +
-
U
oc
返回例 2
3?
3?
6?
I
+
–
9V
+
–
U
0
+–
6I
3?
6?
I
+
–
9V
+
–
U
0C
+–
6I
+
–
U
I
o
求电压 U
o
解
①求开路电压 U
oc
U
oc
=6I+3I
I=9/9=1A
U
oc
=9V
②求等效电阻 R
eq
方法1：加压求流独立源置零
U=6I+3I=9I U =9 × (2/3)I
0
=6I
o
I=I
o
×6/(6+3)=(2/3)I
o
R
eq
= U /I
o
=6?
返回 上页 下页计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
求负载 R
L
消耗的功率例 3
解
①求开路电压 U
oc
注意
100?
50?
+
–
40V
R
L
+–
50V
I
1
4I
1
50?
5?
下页上页
100?
50?
I
1
4I
1
50?
+
–
40V
返回
A1.0
1
=I
V10100
1oc
== IU
②求等效电阻 R
eq
100?
50?
+
–
40V
I
1
50?
200I
1
+
–
U
oc
–
+
I
sc100
50
+
–
40V
I
1
50
200I
1
–
+
40100200100
111
=++ III
用开路电压、短路电流法
A4.0100/40
sc
==I
254.0/10
sc
oc
eq
===
I
U
R
I
sc
50?
+
–
40V
50?
返回 上页 下页例 4
已知开关 S
1 A ＝ 2A
2 V ＝ 4V
求开关 S打向 3，电压 U等于多少。
U
oc
R
eq
5?
＋
－
50V
I
L
+
–
10V
25?
A2
30
60
525
50
==
+
+
=
oc
L
U
I
W20455
2
=×==
LL
IP
A V
5?
U
+
－
S
1
3
2 1A
线性含源网络
+
-
5?
U
+
－
1A
2?
4V
+
－
解
2=
eq
R
V4A 2 ==
ocSc
Ui
V1141)52( =+×+=U
返回 上页 下页
4,诺顿定理任何一个含源线性一端口电路，对外电路 来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，
电阻等于该一端口的输入电阻。
一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经 电 源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。
a
b
i
u
+
-
A
a
b
R
eq
I
sc
注意返回 上页 下页注意
①若一端口网络的等效电阻 R
eq
= 0,该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。
②若一端口网络的等效电阻 R
eq
=∞,该一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。
a
b
A
R
eq
=0
＋
－
U
oc
a
b
A
R
eq
=∞
I
sc
返回 上页 下页
4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不 同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。
i
U
oc
+
–
R
eq
R
L
i
+
–
u
A
负载应用戴维宁定理返回 上页 下页
2
)(
Leq
oc
L
RR
u
RP
+
=
R
L
P
0
P
max
0
)(
)(2)(
4
2
2'
=
+
+?+
=
Leq
LeqLLeq
oc
RR
RRRRR
uP
eqL
RR =
eq
oc
R
u
P
4
2
max
=
对 P求导：
最大功率匹配条件返回 上页 下页
R
L
为何值时能获得最大功率，并求最大功率例
①求开路电压 U
oc
20
21 R
UII ==
A2
21
=+II
A1
21
== II
解
20?
+
–
20V
a
b
2A
+
–
U
R
R
L
10?
20
R
U
20
+
–
20V
a
b
2A
+
–
U
R
10
20
R
U
＋
－
U
oc
I
1
I
2
V602020102
2
=++×= IU
oc
返回 上页 下页
②求等效电阻 R
eq
20?
+
–
I
a
b
U
R
10?
20
R
U
U
I
2
I
1
+
_
2
21
III ==
20==
I
U
R
eq
IIIU 202/2010 =×+=
③由最大功率传输定理得:
20==
eqL
RR
时其上可获得最大功率
W45
204
60
4
22
max
=
×
==
eq
oc
R
U
P
返回 上页 下页注意
①最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;
②一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
③计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.
返回 上页 下页
4.5
*
特勒根定理
1,特勒根定理 1
任何时刻，一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
∑
=
=
b
k
kk
iu
1
0
功率守恒任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。
表明返回 上页 下页
46
5
1
23
4
2
3
1
定理证明：
应用 KCL:
0
654
=++? iii
0
421
=++? iii
0
632
=?+? iii
1
2
3
∑
=
+++=
b
k
kk
iuiuiuiu
1
662211
L
63252421
3323111
)()(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
++?
++?+?
支路电压用结点电压表示返回 上页 下页
46
5
1
23
4
2
3
1
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
=?+?+
++?+
++?
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
2,特勒根定理2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
返回 上页 下页
),(
kk
iu
)
,
(
kk
iu
46
5
1
23
4
2
3
1
46
5
1
23
4
2
3
1
∑
=
=
b
k
kk
iu
1
0
∑
=
=
b
k
kk
iu
1
0
拟功率定理返回 上页 下页定理证明：
对电路 2应用 KCL:
0
654
=++? iii
0
421
=++? iii
0
632
=?+? iii
1
2
3
∑
=
+++=
b
k
kk
iuiuiuiu
1
662211
L
63252421
3323111
)(
)(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
++?
++?+?
0)
(
)
()
(
6323
65424211
=?+?+
++?+++?
iiiu
iiiuiiiu
n
nn
返回 上页 下页例 1
① R
1
=R
2
=2?,U
s
=8V时,I
1
=2A,U
2
=2V
② R
1
=1.4?,R
2
=0.8?,U
s
=9V时,I
1
=3A,求此时的 U
2
解 把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2
由 (1)得,U
1
=4V,I
1
=2A,U
2
=2V,I
2
=U
2
/R
2
=1A
2
2
22
1
1
)45(
3
844139
,
∧∧∧
∧
∧
==
=
=×?=
U//RUI
AI
V..U
得由 (2)
–
+
U
1
+
–
U
s
R
1
I
1
I
2
–
+
U
2
R
2
无源电阻网络返回 上页 下页
–
+
4.8V
+
– –
+
无源电阻网络
3A
2
)45(
∧
U/
2
∧
U
–
+
4V
+
–
1A
–
+
2V
无源电阻网络
2A
),(
)(
)(
11
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk
∑∑
=
∧∧
=
∧∧
++?=++?
128.425.1234
22
×+×?=×+×?
∧∧
UU
V6.15.1/4.2
2
==
∧
U
返回 上页 下页例 2
解已知,U
1
=10V,I
1
=5A,U
2
=0,I
2
=1A V10
2
=
∧
U
.
1
∧
U求
)()(
2
2
1
12
2
1
1
IUIUIUIU
∧∧∧∧
+?=?+
11 2
∧∧
= IU
V1
1
=
∧
U
)(
2
2
2
1
1
1
1
IUIU
U
U
∧∧
∧
+?=×
110)5(
2
10
1
1
×+?×=×
∧
∧
U
U
下页上页
–
+
U
1
–
+
U
2
I
2
I
1
P
2?
1
∧
U
2
∧
U
1
∧
I 2
∧
I
–
+
–
+
P
返回注意应用特勒根定理：
①电路中的支路电压必须满足 KVL;
②电路中的支路电流必须满足 KCL;
③电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （ 否则公式中加负号）
④定理的正确性与元件的特征全然无关。
返回 上页 下页
4.6
*
互易定理互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（ 响应）互换位置后，同一激励所产 生的 响应 并 不 改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是 对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于 网络的灵敏度分析和测量技术等方面。
返回 上页 下页
1,互易定理对一个仅含电阻的二端口电路 N
R
，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
返回 上页 下页
z 情况 1
激励 电压源 电流响应
i
2
线性电阻网络
N
R
+
–
u
S1
a
b
c
d
(a)
线性电阻网络
N
R
+
–
a
b
c
d
i
1
u
S2
(b)
2211
2
1
1
2
iuiu
u
i
u
i
SS
SS
== 或则端口电压电流满足关系：
注意当 u
S1
= u
S2
时,i
2
= i
1
返回 上页 下页证明:
0
0
11
==
∑∑
==
∧ b
k
kk
b
k
k
k
iuiu 和
0
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
1
∑
∑∑
=
∧∧∧
=
∧∧∧
=
∧
=++=
++=
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
iiRiuiu
iuiuiuiu
0
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
1
∑
∑∑
=
∧∧∧
=
∧∧∧
=
∧
=++=
++=
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得：
iuiu iuiu
2
2
1
1
2211
∧∧
+=+
由特勒根定理：
即：
下页上页返回将图 (a)与图 (b)中端口条件代入，即:
,0,0,
2
21
211 SS
uuuuuu ====
∧∧
0
0
221211
iuiiiu
SS
+×=×+
2211
2
1
1
2
iuiu
u
i
u
i
SS
SS
== 或证毕！
即：
i
2
线性电阻网络
N
R
+
–
u
S1
a
b
c
d
(a)
下页上页线性电阻网络
N
R
+
–
a
b
c
d
i
1
u
S2
(b)
返回激励 电流源 电压响应
z 情况2
+
–
u
2
线性电阻网络
N
R
i
S1
a
b
c
d
(a)
+
–
u
1
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
(b)
i
S2
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u
== 或则端口电压电流满足关系：
注意当 i
S1
= i
S2
时,u
2
= u
1
返回 上页 下页
z 情况3
2211
2
1
1
2
iuiu
u
u
i
i
SS
SS
== 或则端口电压电流在数值上满足关系：
当 i
S1
= u
S2
时,i
2
= u
1
下页上页激励电流源电压源图 b
图 a
电流响应电压图 b
图 a
注意
+
–
u
S2
+
–
u
1
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
(b)
i
2
线性电阻网络
N
R
i
S1
a
b
c
d
(a)
返回应用互易定理分析电路时应注意：
① 互 易前后应保持网络的拓扑结构不变,仅 理想电源搬移；
②互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致
（要么都关联，要么都非关联)；
③ 互 易定理只适用于线性电阻网络在单一电 源激励下，端口两个支路电压电流关系。
④含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
返回 上页 下页求 (a)图电流 I,(b)图电压 U
例 1
1?
6?
I
+
–
12V
2?
(a)
4? 1?
6?
I
+
–
12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4?
+
–
U6?
6A
(b)
1
2?
4?+
–
U
6?
6A
解 利用互易定理
A5.1
2
1
6//61
12
=×
+
=I
V623 =×=U
返回 上页 下页例 2
求电流 I
2?
1?
2?
4?
+
–
8V
2?
I
a
bc
d
解 利用互易定理
I
1
= I
'
×2/(4+2)=2/3A
A2
4
8
2//12//42
8
'
==
++
=I
I
1
I
2
I'
2?
1?
2?
4?
+
–
8V
2?
I
a
b
c
d
I
2
= I
'
×2/(1+2)=4/3A
I= I
1
-I
2
= - 2/3A
返回 上页 下页例 3
测得 a图中 U
1
＝ 10V,U
2
＝ 5V,求 b图中的电流 I
解 1
）开路电压(V5
1
①利用互易定理知c图的
=u
下页上页
U
1
+
–
+
–
U
2
线性电阻网络
N
R
2A
a
b
c
d
(a)
5?
2A
+
–
I
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
(b)
(c)
+
–
1
U
2A
+
–
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
返回
R
eq
(c)
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
戴维宁等效电路
5?
5?
+
–
5V
a
b
I
②结合a图，知c图的等效电阻：
5
2
10
2
1
===
u
R
eq
A5.0
55
5
=
+
=I
返回 上页 下页
U
1
+
–
+
–
U
2
线性电阻网络
N
R
2A
a
b
c
d
(a)
5?
2A
+
–
I
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
(b)
解 2
应用特勒根定理：
iuiu iuiu
2
2
1
1
2211
∧∧
+=+
0)2(
5 )2(5
10
2
11
×+?×=?×+
∧
uii
A5.0
1
== Ii
返回 上页 下页例 4
问图示电路 α与 μ取何关系时电路具有互易性解在 a-b端加电流源，解得：
[]
S
cd
I
II
UIUU
3)1(
3 )1(
3
++=
++=
++=
αμ
αμ
μ
在 c-d端加电流源，解得：
1?
3?
1?
+
–
μU
αI
a
b
c
d
I
+
– U
I
S
1?
3?
1?
+
–
μU
αI
a
b
c
d
I
+
– U
I
S
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
μααμ
αμαμα
+?+=
++?=++?=
返回 上页 下页如要电路具有互易性，则：
cdab
UU =
[ ] )3(3)1( μααμαμ +?+=++
2
μ
α =
结论一般有受控源的电路不具有互易性。
返回 上页 下页
4.7
*
对偶原理
1,对偶原理在对偶电路中，某些元素之间的 关系 (或方程 )
可以通过对偶元素的互换而相互转换 。对 偶原 理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结 。
2,对偶原理的应用根据对偶原理，如果在某电路中导出某 一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。
返回 上页 下页例1
+
_
R
1
R
n
+
_
u
k
i
+
_
u
1
+
_
u
n
u
R
k
i
n
R
1
R
2
R
k
R
n
i
+
u
i
1
i
2
i
k
_
串联电路和并联电路的对偶
=
=
=
∑
=
u
R
R
u
R
u
i
RR
k
k
n
k
k
分压公式电流总电阻
1
=
=
=
∑
=
i
G
G
i
G
i
u
GG
k
k
n
k
k
分流公式电压总电导
1
返回 上页 下页结论将串联电路中的电压 u与并联电路中的电流 i
互换，电阻 R与电导 G互换，串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻 R与电导 G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。
返回 上页 下页例2
网孔电流与结点电压的对偶
＋
－
i
m1
R
1
u
s1
＋
－
u
s2
R
3
R
2
i
m2
网孔电流方程
=++?
=?+
2S2m321m2
1S2m21m21
)(
)(
uiRRiR
uiRiRR
结点电压方程
u
n1
G
1
i
s1
i
s2
G
3
G
2
u
n2
=++?
=?+
2S2n321n2
1S2n21n21
)(
)(
iuGGuG
iuGuGG
返回 上页 下页结论把 R 和 G,u
s
和 i
s
，网孔电流和结点电压等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。
所以,网孔电流,和,结点电压,是对偶元素，这两个平面电路称为对偶电路。
返回 上页 下页定理的综合应用图示线性电路，当 A支路中的电阻 R＝ 0
时，测得 B支路电压 U=U
1
,当 R＝ ∞时,U＝ U
2
,
已知 ab端口的等效电阻为 R
A
，求 R为任意值时的电压 U
例 1
U
–
+
R
R
A
a
b
A
B
线性有源网络返回 上页 下页
②应用替代定理：
U
–
+
R
R
A
a
b
A
B
线性有源网络
①应用戴维宁定理：解
R
a
b
I
+
–
U
oc
R
A
I
U
–
+
R
A
a
b
AB
线性有源网络
22
0 UkUIR ==→=→∞=
211
0
k
R
U
kUU
RUIR
A
oc
Aoc
+==→
=→=
③应用叠加定理：
21
kIkU +=
返回 上页 下页解得：
22
21
1
UkR
U
UU
k
A
oc
=
=
A
AA
oc
A
oc
R
RR
UU
U
RR
U
R
U
UU
UU
+
+=
+
×
+=
21
2
21
2
下页上页图 a为线性电路,N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流 i
1
=I
1
,i
2
＝ I
2
,求 b图中的 i’
1
例 2
N NU
S
i
2
i
1
b
a
+
-
(a)
NU
S
i'
1
b
a
+
-
(b)
返回解对图 (c)应用叠加和互易定理
21
"
1
IIi?=
N NU
S
i"
1
b
a
+
-
(c)
+
-
U
S
对图 (c)应用戴维宁定理
R
U
oc
i=0
a
+
-
U
oc
+
-
R
21
'
1
"
1
IIii?==
返回 上页
4.1
替代定理
4.2
戴维宁定理和诺顿定理
4.3
最大功率传输定理
4.4
特勒根定理
4.5*
互易定理
4.6*
对偶原理
4.7*
z 重点:
熟练掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。
重点是戴维南定理、叠加定理、最大功率的求解（必考计算）
返回
1,叠加定理在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流( 或电压)
的代数和。
4.1 叠加定理
2,定理的证明
(G
2
+G
3
)u
n1
=G
2
u
s2
+G
3
u
s3
+i
S
1
G
1
i
s1
G
2
u
s2
G
3
u
s3
i
2
i
3
+
–
+
–
1
应用结点法：
返回 上页 下页
32
1
32
33
32
22
1
GG
i
GG
uG
GG
uG
u
SSS
n
+
+
+
+
+
=
或表示为：
)3(
1
)2(
1
)1(
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
++=
++=
支路电流为：
)3(
3
)2(
3
)1(
3
32
13
3
3
32
32
2
32
23
3313
)()()(
iii
GG
iG
u
GG
GG
u
GG
GG
Guui
S
SSSn
++=
+
+
+
+
+
=?=
)3(
2
)2(
2
)1(
2332211
32
12
32
323
2
2
32
23
2212
)()(
iiiububib
GG
iG
GG
uGG
u
GG
GG
Guui
SSS
SS
SSn
++=++=
+
+
+
+
+
=?=
下页上页
G
1
i
s1
G
2
u
s2
G
3
u
s3
i
2
i
3
+
–
+
–
1
返回结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
①叠加定理只适用于线性电路。
②一个电源作用，其余电源为零，置零原则：
电压源为零 — 短路。
电流源为零 — 开路。
返回 上页 下页
=
G
1
i
s1
G
2
u
s2
G
3
u
s3
i
2
i
3
+
–
+
–
)1(
2
i
)1(
3
i
G
1
i
s1
G
2
G
3
i
s1
单独作用三个电源共同作用
G
1
G
3
)2(
3
i
)2(
2
i
u
s2
+
–
G
1
G
3
u
s3
+
–
)3(
2
i
)3(
3
i
+ +
u
s2
单独作用 u
s3
单独作用返回 上页 下页
③功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。
④ u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
⑤ 含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。
4,叠加定理的应用返回 上页 下页例 1
下页上页计算电压 u,电流 i。
解 画出分电路图
u
（ 1）
＋
－
10V
2i
(1)
＋
－
1?
2?
＋
－
i
（ 1）
＋
受控源始终保留
u
＋
－
10V
2i
＋
－
1?
i 2?
＋
－
5A
u
(2)
2i
(2)
i
(2)
＋
－
1?
2?
＋
－
5A
返回
u
（ 1）
＋
－
10V
2i
(1)
＋
－
1?
2?
＋
－
i
（ 1）
＋
u
(2)
2i
(2)
i
(2)
＋
－
1?
2?
＋
－
5A
)12/()210(
)1()1(
+?= ii
V6321
)1()1()1()1(
==+×= iiiu
A2
)1(
=i10V电源作用：
5A电源作用：
02)5(12
)2()2()2(
=++×+ iii
A1
)2(
=i
V2)1(22
)2()2(
=?×?=?= iu
A1)1(2 =?+=i
V826 =+=u
返回 上页 下页
5.齐性原理线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流) 也 增大(或减小)同样的倍数。是叠加定理的特例注意
①当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
②具有可加性 。
返回 上页 下页求电流 i
R
L
=2? R
1
=1? R
2
=1? u
s
=51V，
例
i
R
1
R
1
R
1
R
2
R
L
+
–
u
s
R
2
R
2
+
–
2V
2A
+–
3V
+–
8V
+
–
21V
+
–
u
s
'
=34V
3A8A21A
5A
13A
i '=1A
采用倒推法：设 i'=1A
则
A5.11
34
51
'
'
'
s
s
'
s
s
=×=== i
u
u
i
u
u
i
i
即解返回 上页 下页例 2
封装好的电路如图，已知下列实验数据：
2
0V,4A,6
8V,4A,
12V,4A,
SS
SS
SS
uiUV
ui
ui
===
==
==
当当 电流源不消耗功率问当 求电流源吸收的功率下页上页研究激励和响应关系的实验方法解 根据叠加定理
2
2
64 0
04 8
1.5,0.75
0.75 12 1.5 4 3
SS
ubiau
b
ba
ab
uV
= +
=+
=+
==?
=?×+×=?
代入实验数据：
返回下页上页返回
2
2
6
0
VV
V=9V
=
0V,
-9+6=-3V
4A,6
8V,4A,
12V,4A,
12V,4A
S
S
SS
SS
SS
SS
S
S
S
uiUV
ui
ui
u
i
i
u
i
UV
u
u
=
===
==
=
=
×
=
=?
=
表明 单独作用时,
表明,共同作用时电流源电压等于,
说明 =8 单独当当 电流源不消耗功率问当 求电产生的电压为-6
12
=12 产生的电压根据齐性定理 （-6）
8
那么 叠加产生的流源吸收的功独电压率单
2
0V,4A,6
8V,4A,
12V,4A,
SS
SS
SS
uiUV
ui
ui
===
==
==
当当 电 流源不消耗功率问当 求电流源吸收的功率
4.2 替代定理
1.替代定理对 于 给定的任意一个电路，若某一支路电压为 u
k
、电流为 i
k
，那么这条支路就可以用一个电压等于 u
k
的独立电压源，或者用一个 电流等于
i
k
的独立电流源,或 用 R=u
k
/i
k
的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。
返回 上页 下页
+
–
u
k
支路
k
i
k
+
–
u
k
i
k
下页上页
i
k
+
–
u
k
R=u
k
/i
k
返回
2,定理的证明证毕 !
返回 上页 下页例求图示电路的支路电压和电流解
[ ]
A10
10//)105(5/110
1
=
++=i
A65/3
12
== ii
A45/2
13
== ii
V6010
2
== iu
替代替代以后有：
A105/)60110(
1
=?=i
A415/60
3
==i
替代后各支路电压和电流完全不变。
＋
－
i
3
10?
5? 5?
110V 10?
i
2
i
1
＋
－
u
注意
＋
－
i
3
10?
5? 5?
110V
i
2
i
1
＋
－
返回 上页 下页替代前后 KCL,KVL关 系相同,其余支路的
u,i关系不变。用 u
k
替代后，其余支路电压不变
(KVL)，其余支路电流也不变，故第 k条支路 i
k
也不变 (KCL)。
原因原因注意
①替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
返回 上页 下页若使
,
8
1
II
x
= 试求 R
x
通过例题我们来看看有效性
0.5?
0.5?
10V
3?
1?
R
x
I
x
–+
U
I
0.5?
＋
－
0.5?
0.5?
10V
3?
1?
R
x
I
x
–+
U
I
0.5?
＋
－
0.5?
0.5?
1?I
0.5?
I
8
1
例 1
若使试求 R
x
,
8
1
II
x
=
3,替代定理的应用解 用替代：
返回 上页 下页
0.5?
0.5?
10V
3?
1?
R
x
I
x
–+
U
I
0.5?
＋
－
13
23
12 3
11
(1 )
0.5 0.5
11 1
()
0.5 0.5 0.5
11 111
()
0.5 0.5 0.5 0.5 8
UUI
UUI
UU UI
+?×=
+?×=?
×?×+ + =?
3
1
40
UI=
R
x
=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2?
求电流 I
1
例 2
解 用替代：
A5.2
6
15
42
42
6
7
1
==
+
×
+=I
6?
5?
7V
3? 6?
I
1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2?
4?
4A
＋
－
7V
I
1
返回 上页 下页
4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中，常常碰到只需研究某一支路 的 电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算 简 化 。 戴 维 宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
返回 上页 下页
1,戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和 电阻 的串 联组 合 来 等效置换；此电压源的电压等 于外 电路 断开 时 端 口处的开路电压 u
oc
，而电阻等于一端口的输入电 阻
（或等效电阻 R
eq
）。
a
b
i
u
+
-
A
i
a
b
R
eq
U
oc
+
-
u
+
-
返回 上页 下页例
10?
10?
+
–
20V
+
–
U
oc
a
b
+
–
10V
1A
5?
2A
+
–
U
oc
a
b
应用电源等效变换
5?
15V
a
b
R
eq
U
oc
+
-
返回 上页 下页
I
例
10?
10?
+
–
20V
+
–
U
oc
a
b
+
–
10V
5?
15V
a
b
R
eq
U
oc
+
-
应用电戴维宁定理
(1) 求开路电压 U
oc
(2) 求输入电阻 R
eq
A5.0
20
1020
=
=I
510//10
eq
==R
V1510105.0
oc
=+×=U
两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。
注意返回 上页 下页
2.定理的证明
+
替代叠加
A中独立源置零
a
b
i
+
–
u
N
A
u'
a
b
+
–
A
oc
uu =
'
iRu
eq
=
''
a
b
i
+
–
u
N
u''
a
b
i
+
–
A
R
eq
返回 上页 下页
iRuuuu
eqoc
=+=
'''
i
+
–
u
N
a
b
R
eq
U
oc
+
-
返回 上页 下页
3.定理的应用
（1）开路电压 U
oc
的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于 将外电路断开时的开路电压 U
oc
，电压源方向与所求开 路电压方向有关。计算 U
oc
的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。
（2）等效电阻的计算等效电阻为将一端口网络内部独立 电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：
返回 上页 下页
①当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y互换的方法计算等效电阻；
2 3
方法更有一般性。
③开路电压，短路电流法。
②外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；
i
u
R
eq
=
sc
oc
eq
i
u
R =
下页上页
u
a
b
i
+
–
N
R
eq
i
a
b
R
eq
U
oc
+
-
u
+
-
a
b
u
i
+
–
N
R
eq
返回
① 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变
(伏 -安特性等效)。
② 当一端口内部含有受控 源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。
下页上页注意例 1
计算 R
x
分别为 1.2?、
5.2?时的电流 I
I
R
x
a
b
+–
10V
4?
6?
6?
4?
解断开 R
x
支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：
返回
②求等效电阻 R
eq
R
eq
=4//6+6//4=4.8?
③ R
x
=1.2?时,
I= U
oc
/(R
eq
+ R
x
) =0.333A
R
x
=5.2?时,
I= U
oc
/(R
eq
+ R
x
) =0.2A
下页上页
U
oc
= U
1
- U
2
= -10×4/(4+6)+10 × 6/(4+6)
= 6-4=2V
①求开路电压
b
+–
10V
4?
6?
6?
4? +
-
U
oc
I a
b
U
oc
+
–
R
x
R
eq
+ U
1
-
+ U
2
-
b
4?
6
6?
4 +
-
U
oc
返回例 2
3?
3?
6?
I
+
–
9V
+
–
U
0
+–
6I
3?
6?
I
+
–
9V
+
–
U
0C
+–
6I
+
–
U
I
o
求电压 U
o
解
①求开路电压 U
oc
U
oc
=6I+3I
I=9/9=1A
U
oc
=9V
②求等效电阻 R
eq
方法1：加压求流独立源置零
U=6I+3I=9I U =9 × (2/3)I
0
=6I
o
I=I
o
×6/(6+3)=(2/3)I
o
R
eq
= U /I
o
=6?
返回 上页 下页计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
求负载 R
L
消耗的功率例 3
解
①求开路电压 U
oc
注意
100?
50?
+
–
40V
R
L
+–
50V
I
1
4I
1
50?
5?
下页上页
100?
50?
I
1
4I
1
50?
+
–
40V
返回
A1.0
1
=I
V10100
1oc
== IU
②求等效电阻 R
eq
100?
50?
+
–
40V
I
1
50?
200I
1
+
–
U
oc
–
+
I
sc100
50
+
–
40V
I
1
50
200I
1
–
+
40100200100
111
=++ III
用开路电压、短路电流法
A4.0100/40
sc
==I
254.0/10
sc
oc
eq
===
I
U
R
I
sc
50?
+
–
40V
50?
返回 上页 下页例 4
已知开关 S
1 A ＝ 2A
2 V ＝ 4V
求开关 S打向 3，电压 U等于多少。
U
oc
R
eq
5?
＋
－
50V
I
L
+
–
10V
25?
A2
30
60
525
50
==
+
+
=
oc
L
U
I
W20455
2
=×==
LL
IP
A V
5?
U
+
－
S
1
3
2 1A
线性含源网络
+
-
5?
U
+
－
1A
2?
4V
+
－
解
2=
eq
R
V4A 2 ==
ocSc
Ui
V1141)52( =+×+=U
返回 上页 下页
4,诺顿定理任何一个含源线性一端口电路，对外电路 来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，
电阻等于该一端口的输入电阻。
一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经 电 源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。
a
b
i
u
+
-
A
a
b
R
eq
I
sc
注意返回 上页 下页注意
①若一端口网络的等效电阻 R
eq
= 0,该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。
②若一端口网络的等效电阻 R
eq
=∞,该一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。
a
b
A
R
eq
=0
＋
－
U
oc
a
b
A
R
eq
=∞
I
sc
返回 上页 下页
4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不 同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。
i
U
oc
+
–
R
eq
R
L
i
+
–
u
A
负载应用戴维宁定理返回 上页 下页
2
)(
Leq
oc
L
RR
u
RP
+
=
R
L
P
0
P
max
0
)(
)(2)(
4
2
2'
=
+
+?+
=
Leq
LeqLLeq
oc
RR
RRRRR
uP
eqL
RR =
eq
oc
R
u
P
4
2
max
=
对 P求导：
最大功率匹配条件返回 上页 下页
R
L
为何值时能获得最大功率，并求最大功率例
①求开路电压 U
oc
20
21 R
UII ==
A2
21
=+II
A1
21
== II
解
20?
+
–
20V
a
b
2A
+
–
U
R
R
L
10?
20
R
U
20
+
–
20V
a
b
2A
+
–
U
R
10
20
R
U
＋
－
U
oc
I
1
I
2
V602020102
2
=++×= IU
oc
返回 上页 下页
②求等效电阻 R
eq
20?
+
–
I
a
b
U
R
10?
20
R
U
U
I
2
I
1
+
_
2
21
III ==
20==
I
U
R
eq
IIIU 202/2010 =×+=
③由最大功率传输定理得:
20==
eqL
RR
时其上可获得最大功率
W45
204
60
4
22
max
=
×
==
eq
oc
R
U
P
返回 上页 下页注意
①最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;
②一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
③计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.
返回 上页 下页
4.5
*
特勒根定理
1,特勒根定理 1
任何时刻，一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
∑
=
=
b
k
kk
iu
1
0
功率守恒任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。
表明返回 上页 下页
46
5
1
23
4
2
3
1
定理证明：
应用 KCL:
0
654
=++? iii
0
421
=++? iii
0
632
=?+? iii
1
2
3
∑
=
+++=
b
k
kk
iuiuiuiu
1
662211
L
63252421
3323111
)()(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
++?
++?+?
支路电压用结点电压表示返回 上页 下页
46
5
1
23
4
2
3
1
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
=?+?+
++?+
++?
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
2,特勒根定理2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
返回 上页 下页
),(
kk
iu
)
,
(
kk
iu
46
5
1
23
4
2
3
1
46
5
1
23
4
2
3
1
∑
=
=
b
k
kk
iu
1
0
∑
=
=
b
k
kk
iu
1
0
拟功率定理返回 上页 下页定理证明：
对电路 2应用 KCL:
0
654
=++? iii
0
421
=++? iii
0
632
=?+? iii
1
2
3
∑
=
+++=
b
k
kk
iuiuiuiu
1
662211
L
63252421
3323111
)(
)(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
++?
++?+?
0)
(
)
()
(
6323
65424211
=?+?+
++?+++?
iiiu
iiiuiiiu
n
nn
返回 上页 下页例 1
① R
1
=R
2
=2?,U
s
=8V时,I
1
=2A,U
2
=2V
② R
1
=1.4?,R
2
=0.8?,U
s
=9V时,I
1
=3A,求此时的 U
2
解 把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2
由 (1)得,U
1
=4V,I
1
=2A,U
2
=2V,I
2
=U
2
/R
2
=1A
2
2
22
1
1
)45(
3
844139
,
∧∧∧
∧
∧
==
=
=×?=
U//RUI
AI
V..U
得由 (2)
–
+
U
1
+
–
U
s
R
1
I
1
I
2
–
+
U
2
R
2
无源电阻网络返回 上页 下页
–
+
4.8V
+
– –
+
无源电阻网络
3A
2
)45(
∧
U/
2
∧
U
–
+
4V
+
–
1A
–
+
2V
无源电阻网络
2A
),(
)(
)(
11
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk
∑∑
=
∧∧
=
∧∧
++?=++?
128.425.1234
22
×+×?=×+×?
∧∧
UU
V6.15.1/4.2
2
==
∧
U
返回 上页 下页例 2
解已知,U
1
=10V,I
1
=5A,U
2
=0,I
2
=1A V10
2
=
∧
U
.
1
∧
U求
)()(
2
2
1
12
2
1
1
IUIUIUIU
∧∧∧∧
+?=?+
11 2
∧∧
= IU
V1
1
=
∧
U
)(
2
2
2
1
1
1
1
IUIU
U
U
∧∧
∧
+?=×
110)5(
2
10
1
1
×+?×=×
∧
∧
U
U
下页上页
–
+
U
1
–
+
U
2
I
2
I
1
P
2?
1
∧
U
2
∧
U
1
∧
I 2
∧
I
–
+
–
+
P
返回注意应用特勒根定理：
①电路中的支路电压必须满足 KVL;
②电路中的支路电流必须满足 KCL;
③电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （ 否则公式中加负号）
④定理的正确性与元件的特征全然无关。
返回 上页 下页
4.6
*
互易定理互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（ 响应）互换位置后，同一激励所产 生的 响应 并 不 改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是 对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于 网络的灵敏度分析和测量技术等方面。
返回 上页 下页
1,互易定理对一个仅含电阻的二端口电路 N
R
，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
返回 上页 下页
z 情况 1
激励 电压源 电流响应
i
2
线性电阻网络
N
R
+
–
u
S1
a
b
c
d
(a)
线性电阻网络
N
R
+
–
a
b
c
d
i
1
u
S2
(b)
2211
2
1
1
2
iuiu
u
i
u
i
SS
SS
== 或则端口电压电流满足关系：
注意当 u
S1
= u
S2
时,i
2
= i
1
返回 上页 下页证明:
0
0
11
==
∑∑
==
∧ b
k
kk
b
k
k
k
iuiu 和
0
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
1
∑
∑∑
=
∧∧∧
=
∧∧∧
=
∧
=++=
++=
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
iiRiuiu
iuiuiuiu
0
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
1
∑
∑∑
=
∧∧∧
=
∧∧∧
=
∧
=++=
++=
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得：
iuiu iuiu
2
2
1
1
2211
∧∧
+=+
由特勒根定理：
即：
下页上页返回将图 (a)与图 (b)中端口条件代入，即:
,0,0,
2
21
211 SS
uuuuuu ====
∧∧
0
0
221211
iuiiiu
SS
+×=×+
2211
2
1
1
2
iuiu
u
i
u
i
SS
SS
== 或证毕！
即：
i
2
线性电阻网络
N
R
+
–
u
S1
a
b
c
d
(a)
下页上页线性电阻网络
N
R
+
–
a
b
c
d
i
1
u
S2
(b)
返回激励 电流源 电压响应
z 情况2
+
–
u
2
线性电阻网络
N
R
i
S1
a
b
c
d
(a)
+
–
u
1
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
(b)
i
S2
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u
== 或则端口电压电流满足关系：
注意当 i
S1
= i
S2
时,u
2
= u
1
返回 上页 下页
z 情况3
2211
2
1
1
2
iuiu
u
u
i
i
SS
SS
== 或则端口电压电流在数值上满足关系：
当 i
S1
= u
S2
时,i
2
= u
1
下页上页激励电流源电压源图 b
图 a
电流响应电压图 b
图 a
注意
+
–
u
S2
+
–
u
1
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
(b)
i
2
线性电阻网络
N
R
i
S1
a
b
c
d
(a)
返回应用互易定理分析电路时应注意：
① 互 易前后应保持网络的拓扑结构不变,仅 理想电源搬移；
②互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致
（要么都关联，要么都非关联)；
③ 互 易定理只适用于线性电阻网络在单一电 源激励下，端口两个支路电压电流关系。
④含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
返回 上页 下页求 (a)图电流 I,(b)图电压 U
例 1
1?
6?
I
+
–
12V
2?
(a)
4? 1?
6?
I
+
–
12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4?
+
–
U6?
6A
(b)
1
2?
4?+
–
U
6?
6A
解 利用互易定理
A5.1
2
1
6//61
12
=×
+
=I
V623 =×=U
返回 上页 下页例 2
求电流 I
2?
1?
2?
4?
+
–
8V
2?
I
a
bc
d
解 利用互易定理
I
1
= I
'
×2/(4+2)=2/3A
A2
4
8
2//12//42
8
'
==
++
=I
I
1
I
2
I'
2?
1?
2?
4?
+
–
8V
2?
I
a
b
c
d
I
2
= I
'
×2/(1+2)=4/3A
I= I
1
-I
2
= - 2/3A
返回 上页 下页例 3
测得 a图中 U
1
＝ 10V,U
2
＝ 5V,求 b图中的电流 I
解 1
）开路电压(V5
1
①利用互易定理知c图的
=u
下页上页
U
1
+
–
+
–
U
2
线性电阻网络
N
R
2A
a
b
c
d
(a)
5?
2A
+
–
I
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
(b)
(c)
+
–
1
U
2A
+
–
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
返回
R
eq
(c)
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
戴维宁等效电路
5?
5?
+
–
5V
a
b
I
②结合a图，知c图的等效电阻：
5
2
10
2
1
===
u
R
eq
A5.0
55
5
=
+
=I
返回 上页 下页
U
1
+
–
+
–
U
2
线性电阻网络
N
R
2A
a
b
c
d
(a)
5?
2A
+
–
I
线性电阻网络
N
R
a
b
c
d
(b)
解 2
应用特勒根定理：
iuiu iuiu
2
2
1
1
2211
∧∧
+=+
0)2(
5 )2(5
10
2
11
×+?×=?×+
∧
uii
A5.0
1
== Ii
返回 上页 下页例 4
问图示电路 α与 μ取何关系时电路具有互易性解在 a-b端加电流源，解得：
[]
S
cd
I
II
UIUU
3)1(
3 )1(
3
++=
++=
++=
αμ
αμ
μ
在 c-d端加电流源，解得：
1?
3?
1?
+
–
μU
αI
a
b
c
d
I
+
– U
I
S
1?
3?
1?
+
–
μU
αI
a
b
c
d
I
+
– U
I
S
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
μααμ
αμαμα
+?+=
++?=++?=
返回 上页 下页如要电路具有互易性，则：
cdab
UU =
[ ] )3(3)1( μααμαμ +?+=++
2
μ
α =
结论一般有受控源的电路不具有互易性。
返回 上页 下页
4.7
*
对偶原理
1,对偶原理在对偶电路中，某些元素之间的 关系 (或方程 )
可以通过对偶元素的互换而相互转换 。对 偶原 理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结 。
2,对偶原理的应用根据对偶原理，如果在某电路中导出某 一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。
返回 上页 下页例1
+
_
R
1
R
n
+
_
u
k
i
+
_
u
1
+
_
u
n
u
R
k
i
n
R
1
R
2
R
k
R
n
i
+
u
i
1
i
2
i
k
_
串联电路和并联电路的对偶
=
=
=
∑
=
u
R
R
u
R
u
i
RR
k
k
n
k
k
分压公式电流总电阻
1
=
=
=
∑
=
i
G
G
i
G
i
u
GG
k
k
n
k
k
分流公式电压总电导
1
返回 上页 下页结论将串联电路中的电压 u与并联电路中的电流 i
互换，电阻 R与电导 G互换，串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻 R与电导 G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。
返回 上页 下页例2
网孔电流与结点电压的对偶
＋
－
i
m1
R
1
u
s1
＋
－
u
s2
R
3
R
2
i
m2
网孔电流方程
=++?
=?+
2S2m321m2
1S2m21m21
)(
)(
uiRRiR
uiRiRR
结点电压方程
u
n1
G
1
i
s1
i
s2
G
3
G
2
u
n2
=++?
=?+
2S2n321n2
1S2n21n21
)(
)(
iuGGuG
iuGuGG
返回 上页 下页结论把 R 和 G,u
s
和 i
s
，网孔电流和结点电压等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。
所以,网孔电流,和,结点电压,是对偶元素，这两个平面电路称为对偶电路。
返回 上页 下页定理的综合应用图示线性电路，当 A支路中的电阻 R＝ 0
时，测得 B支路电压 U=U
1
,当 R＝ ∞时,U＝ U
2
,
已知 ab端口的等效电阻为 R
A
，求 R为任意值时的电压 U
例 1
U
–
+
R
R
A
a
b
A
B
线性有源网络返回 上页 下页
②应用替代定理：
U
–
+
R
R
A
a
b
A
B
线性有源网络
①应用戴维宁定理：解
R
a
b
I
+
–
U
oc
R
A
I
U
–
+
R
A
a
b
AB
线性有源网络
22
0 UkUIR ==→=→∞=
211
0
k
R
U
kUU
RUIR
A
oc
Aoc
+==→
=→=
③应用叠加定理：
21
kIkU +=
返回 上页 下页解得：
22
21
1
UkR
U
UU
k
A
oc
=
=
A
AA
oc
A
oc
R
RR
UU
U
RR
U
R
U
UU
UU
+
+=
+
×
+=
21
2
21
2
下页上页图 a为线性电路,N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流 i
1
=I
1
,i
2
＝ I
2
,求 b图中的 i’
1
例 2
N NU
S
i
2
i
1
b
a
+
-
(a)
NU
S
i'
1
b
a
+
-
(b)
返回解对图 (c)应用叠加和互易定理
21
"
1
IIi?=
N NU
S
i"
1
b
a
+
-
(c)
+
-
U
S
对图 (c)应用戴维宁定理
R
U
oc
i=0
a
+
-
U
oc
+
-
R
21
'
1
"
1
IIii?==
返回 上页
