第8章 相量法本章重点复数
8.1
正弦量
8.2
相量法的基础
8.3
电路定律的相量形式
8.4
首页
z 重点：
1,正弦量的相量表示(填空）
2,电路定理的相量形式（学习基础）
返回
8.1 复数
F
b
Re
Im
a
o
θ
|F|
1,复数的表示形式
baF j+=
代数式
) 1(j 为虚数单位?=
θj
|| eFF =
指数式
bajFeFF j)sin(cos||||
j
+=+== θθ
θ
三角函数式
θ
θ
∠== ||||
j
FeFF
极坐标式返回 上页 下页
F
b
Re
Im
a
o
θ
|F|
几种表示法的关系：
baF j+=
θ
θ
∠== ||||
j
FeFF
=
+=
a
b
θ
baF
arctan
||
22
=
=
θ
θ
sin||
cos||
F b
Fa
或
2,复数运算
①加减运算 —— 采用代数式返回 上页 下页若 F
1
=a
1
+jb
1
,F
2
=a
2
+jb
2
则 F
1
± F
2
=(a
1
± a
2
)+j(b
1
± b
2
)
F
1
F
2
Re
Im
o
F
1
+F
2
-F
2
F
1
Re
Im
o
F
1
-F
2
F
1
+F
2
F
2
图解法返回 上页 下页
②乘除运算 —— 采用极坐标式若 F
1
=|F
1
| θ
1
,F
2
=|F
2
| θ
2
2121
)(j
21
j
2
j
121
2121
θθ
θθθθ
+∠=
=?=?
+
FF
eFFeFeFFF
则:
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
||
||
||
||
21
1
θθ
||F
||F
e
F
F
eF
eF
θF
θF
F
F
θθ
θ
θ
=
==
∠
∠
=
模相乘角相加模相除角相减返回 上页 下页例 1
2510475 =?∠+∠
oo
)226.4j063.9()657.3j41.3(?++=原式
569.0j47.12?=
o
61.248.12?∠=
解
③旋转因子复数 e
jθ
=cosθ +jsinθ =1∠ θ
F
Re
Im
0
F? e
jθ
θ
下页上页
F? e
jθ
旋转因子返回
j
2
π
sinj
2
π
cos
,
2
π
2
π
j
+=+=
=
e
θ
j)
2
π
sin(j)
2
π
cos(,
2
π
2
π
j
=?+?=?=
eθ
特殊旋转因子
Re
Im
0
F
Fj+
Fj?
F?
1)πsin(j)πcos(,π
πj
=±+±=±=
±
eθ
+j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
注意返回 上页 下页
8.2 正弦量
1,正弦量
z瞬时值表达式
i(t)=I
m
cos(ω t+ψ)
t
i
0
T
波形
T
f
1
=
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kΤ )
z周期 T 和频率 f
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
单位：赫(兹) Hz
单位：秒 s
返回 上页 下页
z正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
z研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
优点
①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、
积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
返回 上页 下页
2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)cos()(
k
n
1k
k
θω +=
∑
=
tkAtf
结论对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
返回 上页 下页
(1) 幅 值 (振幅、最大值) I
m
(2) 角频率 ω
2,正弦量的三要素
(3) 初 相位 ψ
T
f
π2
π2 ==ω
单位,rad/s,弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
i(t)=I
m
cos(ω t+ψ)
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
返回 上页 下页注意同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
一般规定
ψ =0
ψ =π/2
ψ =－ π/2
,|ψ |≤π。
i
o
ψ
ωt
返回 上页 下页
3,同频率正弦量的相位差设 u(t)=U
m
cos(ω t+ψ
u
),i(t)=I
m
cos(ω t+ψ
i
)
相位差,? = (ω t+ψ
u
)- (ω t+ψ
i
)= ψ
u
-ψ
i
等于初相位之差规定,|? | ≤π (180° )
返回 上页 下页
z? >0,u超前 i? 角,或 i 滞后 u? 角,(u 比 i 先到达最大值 )；
z? <0,i 超前 u? 角，或 u 滞后 i? 角,i 比 u 先到达最大值）。
下页上页返回
ω t
u,i
u
i
ψ
u
ψ
i
o
计算下列两正弦量的相位差。
例
)15 π100sin(10)(
)30 π100cos(10)( )2(
0
2
0
1
=
+=
tti
tti
)2π π100cos(10)(
)4π3 π100cos(10)( )1(
2
1
=
+=
tti
tti
)45 π200cos(10)(
)30 π100cos(10)( )3(
0
2
0
1
+=
+=
ttu
ttu
)30 π100cos(3)(
)30 π100cos(5)( )4(
0
2
0
1
+?=
=
tti
tti
04π5)2π(4π3 >==?
4π3π24π5?=?=?
000
135)105(30 ==?
)105π100cos(10)(
0
2
= tti
不能比较相位差
21
ωω ≠
000
120)150(30 ==?
)150π100cos(3)(
0
2
= tti
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
结论解返回 上页 下页
8.3 相量法的基础
1,问题的提出电路方程是微分方程：
)(
d
d
d
d
2
tuu
t
u
RC
t
u
LC
C
CC
=++
R
L
C
+
-
u
C
i
L
u
+
-
两个正弦量的相加：如 KCL,KVL方程运算：
) cos(2
111
ψω += tIi
) cos(2
222
ψω += tIi
返回 上页 下页
i
1
i
1
+i
2
→i
3
i
2
ω
ω
ω
角频率同 频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用
I
1
I
2
I
3
有效值
Ψ
1
Ψ
2
Ψ
3
初相位
ω t
u,i
i
1
i
2
o
i
3
结论正弦量 复数变换的思想返回 上页 下页造一个复函数
) j(
2)(
Ψt
IetF
+
=
ω
无物理意义
3,正弦量的相量表示
) sin(2j) cos(2 ΨtIΨtI +++= ωω
)() cos(2)](Re[ tiΨtItF =+= ω
对 F(t) 取实部任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
是一个正弦量有物理意义结论
) j(
2)( ) cos(2
Ψt
IetFΨtIi
+
=?+=
ω
ω
返回 上页 下页
F(t) 还可以写成
tt
eIeIetF
ωω
ψ
jj
22)(
j
&
==
复常数正弦量对应的相量
F(t) 包含了三要素,I,Ψ,ω，
复常数包含了两个要素,Ι,Ψ 。
) cos(2)( ΨIIΨtIti ∠=?+=
ω
相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位注意返回 上页 下页
) cos(2)( θUUθtUtu ∠=?+=
ω
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例1
试用相量表示 i,u,
)V6014t311.1cos(3
A)30314cos(4.141
o
o
=
+=
u
ti
解
V60220 A,30100
oo
∠=∠=
UI
,50Hz A,1550
=∠=
fI
o
已 知例 2
试写出电流的瞬时值表达式。
解
A )15314cos(250
o
+= ti
返回 上页 下页在复平面上用向量表示相量的图
z 相量图
ΨIIΨtωIti ∠=→+=
&
) cos(2)(
θUUθtUtu ∠=→+=
&
) cos(2)( ω
Ψ
θ
U
I
+1
+j
返回 上页 下页
4,相量法的应用
①同频率正弦量的加减
)2Re() cos(2)(
)2Re() cos(2)(
j
2
222
j
1
111
t
t
eUΨtUtu
eUΨtUtu
ω
ω
ω
ω
=+=
=+=
jj
12
12
jj j
12 12
() () () Re( 2 ) Re( 2 )
Re(2 2 ) Re(2( ) )
tt
tt t
ut u t u t U e U e
Ue Ue U U e
ωω
ωω ω
=+= +
=+
U
&
21
UUU
&&&
+=
相量关系为：
结论同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
返回 上页 下页
i
1
± i
2
= i
3
321
III
&&&
=±
例
V )60314cos(24)(
V )30314cos(26)(
o
2
1
+=
+=
ttu
ttu
o
oo
&&&
604306
21
∠+∠=+= UUU
V604
V 306
o
2
o
1
∠=
∠=
U
U
&
&
46.3j23j19.5 +++= 46.6j19.7 +=
V9.4164.9
o
∠=
V )9.41314cos(264.9)()()(
o
21
+=+=∴ ttututu
返回 上页 下页借助相量图计算
V604 V 306
o
2
o
1
∠=∠= UU
&&
+1
+j
o
30
1
U
&
o
60
2
U
&
o
9.41
U
&
+1
+j
o
9.41
U
&
o
60
2
U
&
o
30
1
U
&
首尾相接返回 上页 下页
8.4 电路定律的相量形式
1,电阻元件 VCR的相量形式时域形式：
ii
ΨRIUΨII ∠=∠=
R
&&
相量形式：
相量模型
)cos(2)(
i
ΨtIti += ω
)cos(2)()(
R i
ΨtRItRitu +== ω
u
R
(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系
R
+
-
R
U
I
U
R
Ψ
u
相量关系：
相位关系
IRU
&&
=
R
U
R
=RI
Ψ
u
=Ψ
i
下页上页返回瞬时功率
iup
RR
=
波形图及相量图
i
ω t
o
u
R
p
R
R
U
&
I
&
Ψ
u
=Ψ
i
U
R
I
) (cos22
2
R i
ΨtωIU +=
)] (2cos1[
R i
ΨtωIU ++=
同相位瞬时功率以 2ω交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率返回 上页 下页时域形式：
相量形式：
) cos(2)(
i
ψtIti += ω
)
2
π
cos( 2
) sin(2
d
)(d
)(
++=
+?==
i
iL
ΨtIL
ΨtIL
t
ti
Ltu
ωω
ωω
相量关系：
IXILU
LL
&&&
jj == ω
2,电感元件 VCR的相量形式
2π +=∠=
iLi
ΨLIUΨII ω
&&
i(t)
u
L
(t)
L
+
-
jω L
+
-
L
U
I
&
有效值关系,U=ω L I
相位关系,Ψ
u
=Ψ
i
+90°
相量模型返回 上页 下页
X
L
=ωL=2πfL,称为感抗，单位为? (欧姆)
B
L
=-1/ω L =-1/2πfL,称为感纳，单位为 S
感抗和感纳感抗的性质
①表示限制电流的能力；
②感抗和频率成正比。
ω
X
L
,jj ILIXU
L
&&&
ω==
U
L
U
L
UBI
L
&&&&
ωω j
11
jj =
==
相量表达式返回 上页 下页波形图及相量图功率
) (2sin
) sin()cos(
L
mLmLL
i
ii
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
+=
++==
ω
ωω
ω t
i
o
u
L
p
L
2π
L
U
&
I
&
Ψ
i
电压超前电流90
0
瞬时功率以 2ω交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。
返回 上页 下页时域形式：
相量形式：
)cos(2)(
u
ΨtUtu += ω
)
2
π
cos(2
) sin(2
d
)(d
)(
C
++=
+?==
u
u
ΨtCU
ΨtCU
t
tu
Cti
ωω
ωω
相量模型
i
C
(t)
u(t)
C
+
-
U
&
C
I
&
+
-
ωCj
1
相量关系：
IXI
C
U
C
&&&
j
1
j =?=
ω
3,电容元件 VCR的相量形式
2π
+=∠=
u
C
u
ΨCUIΨUU ω
&&
下页上页有效值关系,I
C
=ω CU
相位关系,Ψ
i
=Ψ
u
+90°
返回
X
C
=-1/ω C,称为容抗，单位为?(欧姆)
Β
C
= ω C,称为容纳，单位为 S
容抗和频率成反比
ω
|X
C
|
容抗与容纳
1
jj
C
I
C
IXU
&&&
ω
==
UCUBI
C
&&&
ωjj ==
相量表达式返回 上页 下页波形图及相量图功率
)(2sin
)sin()cos(2
C
CC
u
uuC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUIuip
+=
++==
ω t
i
C
o
u
p
C
瞬时功率以 2ω交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。
U
&
C
I
&
Ψ
u
电流超前电压 90
0
2π
返回 上页 下页
4,基尔霍夫定律的相量形式同 频 率 的 正 弦 量 加 减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中,KCL和
KVL可用相应的相量形式表示：
[ ]
∑ ∑
=++= 0 2Re)(
j
21
t
eIIti
ω
L
&&
∑
= 0)(ti
∑
= 0I
&
∑
= 0)(tu
∑
= 0U
&
流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL。
表明返回 上页 下页试判断下列表达式的正、误。
例1
= j,5
C
C
C
I
U
ω
&
&
Cωj
1
Liu,1 ω=
0
05cos5,2 ∠== ti ω
U
I
mm
j,3 CUI ω=
&
LL
j,6 ILU
&&
ω=
U
&
L
L
L
,4
I
U
X
&
&
=
m
m
I
U
=
t
i
Cu
d
d
,7 =
L
返回 上页 下页例 1
)(:),5cos(2120)( titt u 求已 知 =
+
_
15?
u
4H
0.02F
i
相量模型
U
&
j20?
-j10?
1
I
&
2
I
&
3
I
&
I
&
+
_
15?
解
0
0120∠=U
&
jj45 j20
L
XjwL==×=?
11
jjj10?
50.02
C
Xj
wC
=? =? =?
×
返回 上页 下页
CL
CLR
jj X
U
X
U
R
U
IIII
&&&
&&&&
++=++=
A9.3610681268
10
1
20
1
15
1
120
0
∠=+=+?=
+=
jjj
jj
A)9.365cos(210)(
0
+= tt i
U
&
j20?
-j10?
1
I
&
2
I
&
3
I
&
I
&
+
_
15?
返回 上页 下页
9.3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
0,KVL
0,KCL
==
=
=
∑
∑
UYIIZU
U
I
&&&&
&
&
或
,元件约束关系
:正弦电路相量分析
==
=
=
∑
∑
GuiRiu
u
i
0,KVL
0,KCL
或
,元件约束关系
:电阻电路返回 上页 下页结论
1.引入相量法，电阻电路和正弦电流 电路 依 据的电路定律是相似的。
2.引入 电路 的相 量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。
3.引入类似电阻的感抗、容抗 （阻抗）以后，
可 将 电 阻 电 路 中 讨 论 的 所 有 网络定理和分析方 法 都 推 广 应 用 于 正 弦 稳 态 的相量分析中。
直流 （ f =0)是一个特例。它的一些电阻电路中的定理在相量法中任然适用。
返回 上页 下页例 2
列写电路的回路电流方程和结点电压方程
S
I
&
Lωj
Cω
1
j
S
U
&
+
_
R
1
R
2
R
3
R
4
解
1
I
&
2
I
&
4
I
&
3
I
&
回路方程
S
UIRILRILRR
&&&&
=?+?++
3221121
)j()j( ωω
0)j()j(
33112431
=?+?+++ IRILRILRRR
&&&
ωω
0
1
j)
1
j(
42312332
=+++ I
C
IRIRI
C
RR
&&&&
ωω
S
II
&&
=
4
下页上页
+
_
s
u
s
i
L
R
1
R
2
R
3
R
4
C
返回
1n
U
&
2n
U
&
3n
U
&
Sn
UU
&&
=
1
结点方程
0
11
)
11
j
1
(
3
3
1
2
2
321
=++
+
nnn
U
R
U
R
U
RRLR
&&&
ω
Snnn
IUCU
R
UC
RR
&&&&
=++
12
3
3
43
j
1
)j
11
( ωω
下页上页
S
I
&
Lωj
Cω
1
j?
S
U
&
+
_
R
1
R
2
R
3
R
4
返回
,?,45,? 30
,30j,A 904
3
21
o
S
IZZ
ZZI
&
&
求电流已知
==
==∠=：
例 3
S31
)//( IZZ
&
Z
2
Z
1
//Z
3
Z
I
&
+
-
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
Z
3
I
&
=
= 15j15
30j30
)30j(30
//
31
ZZ解方法 1：电源变换
ZZZZ
ZZI
I
++
=
231
31S
//
)//(
&
&
4530j15j15
)15j15(4j
+
=
o
o
36.9-5
455.657
∠
∠
=
A9.8113.1
o
∠=
返回 上页 下页方法 2：戴维宁等效变换
Z
eq
Z
0
U
&
+
-
I
&
+
-
0
U
&
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
3
V4586.84 )//(
o
310
∠== ZZIU
S
&&
求开路电压：
求等效电阻：
45j15//
231
=+= ZZZZ
eq
A9.8113.1
4545j15
4586.84
o
0
0
∠=
+?
∠
=
+
=
o
&
&
ZZ
U
I
返回 上页 下页
8.1
正弦量
8.2
相量法的基础
8.3
电路定律的相量形式
8.4
首页
z 重点：
1,正弦量的相量表示(填空）
2,电路定理的相量形式（学习基础）
返回
8.1 复数
F
b
Re
Im
a
o
θ
|F|
1,复数的表示形式
baF j+=
代数式
) 1(j 为虚数单位?=
θj
|| eFF =
指数式
bajFeFF j)sin(cos||||
j
+=+== θθ
θ
三角函数式
θ
θ
∠== ||||
j
FeFF
极坐标式返回 上页 下页
F
b
Re
Im
a
o
θ
|F|
几种表示法的关系：
baF j+=
θ
θ
∠== ||||
j
FeFF
=
+=
a
b
θ
baF
arctan
||
22
=
=
θ
θ
sin||
cos||
F b
Fa
或
2,复数运算
①加减运算 —— 采用代数式返回 上页 下页若 F
1
=a
1
+jb
1
,F
2
=a
2
+jb
2
则 F
1
± F
2
=(a
1
± a
2
)+j(b
1
± b
2
)
F
1
F
2
Re
Im
o
F
1
+F
2
-F
2
F
1
Re
Im
o
F
1
-F
2
F
1
+F
2
F
2
图解法返回 上页 下页
②乘除运算 —— 采用极坐标式若 F
1
=|F
1
| θ
1
,F
2
=|F
2
| θ
2
2121
)(j
21
j
2
j
121
2121
θθ
θθθθ
+∠=
=?=?
+
FF
eFFeFeFFF
则:
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
||
||
||
||
21
1
θθ
||F
||F
e
F
F
eF
eF
θF
θF
F
F
θθ
θ
θ
=
==
∠
∠
=
模相乘角相加模相除角相减返回 上页 下页例 1
2510475 =?∠+∠
oo
)226.4j063.9()657.3j41.3(?++=原式
569.0j47.12?=
o
61.248.12?∠=
解
③旋转因子复数 e
jθ
=cosθ +jsinθ =1∠ θ
F
Re
Im
0
F? e
jθ
θ
下页上页
F? e
jθ
旋转因子返回
j
2
π
sinj
2
π
cos
,
2
π
2
π
j
+=+=
=
e
θ
j)
2
π
sin(j)
2
π
cos(,
2
π
2
π
j
=?+?=?=
eθ
特殊旋转因子
Re
Im
0
F
Fj+
Fj?
F?
1)πsin(j)πcos(,π
πj
=±+±=±=
±
eθ
+j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
注意返回 上页 下页
8.2 正弦量
1,正弦量
z瞬时值表达式
i(t)=I
m
cos(ω t+ψ)
t
i
0
T
波形
T
f
1
=
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kΤ )
z周期 T 和频率 f
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
单位：赫(兹) Hz
单位：秒 s
返回 上页 下页
z正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
z研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
优点
①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、
积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
返回 上页 下页
2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)cos()(
k
n
1k
k
θω +=
∑
=
tkAtf
结论对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
返回 上页 下页
(1) 幅 值 (振幅、最大值) I
m
(2) 角频率 ω
2,正弦量的三要素
(3) 初 相位 ψ
T
f
π2
π2 ==ω
单位,rad/s,弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
i(t)=I
m
cos(ω t+ψ)
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
返回 上页 下页注意同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
一般规定
ψ =0
ψ =π/2
ψ =－ π/2
,|ψ |≤π。
i
o
ψ
ωt
返回 上页 下页
3,同频率正弦量的相位差设 u(t)=U
m
cos(ω t+ψ
u
),i(t)=I
m
cos(ω t+ψ
i
)
相位差,? = (ω t+ψ
u
)- (ω t+ψ
i
)= ψ
u
-ψ
i
等于初相位之差规定,|? | ≤π (180° )
返回 上页 下页
z? >0,u超前 i? 角,或 i 滞后 u? 角,(u 比 i 先到达最大值 )；
z? <0,i 超前 u? 角，或 u 滞后 i? 角,i 比 u 先到达最大值）。
下页上页返回
ω t
u,i
u
i
ψ
u
ψ
i
o
计算下列两正弦量的相位差。
例
)15 π100sin(10)(
)30 π100cos(10)( )2(
0
2
0
1
=
+=
tti
tti
)2π π100cos(10)(
)4π3 π100cos(10)( )1(
2
1
=
+=
tti
tti
)45 π200cos(10)(
)30 π100cos(10)( )3(
0
2
0
1
+=
+=
ttu
ttu
)30 π100cos(3)(
)30 π100cos(5)( )4(
0
2
0
1
+?=
=
tti
tti
04π5)2π(4π3 >==?
4π3π24π5?=?=?
000
135)105(30 ==?
)105π100cos(10)(
0
2
= tti
不能比较相位差
21
ωω ≠
000
120)150(30 ==?
)150π100cos(3)(
0
2
= tti
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
结论解返回 上页 下页
8.3 相量法的基础
1,问题的提出电路方程是微分方程：
)(
d
d
d
d
2
tuu
t
u
RC
t
u
LC
C
CC
=++
R
L
C
+
-
u
C
i
L
u
+
-
两个正弦量的相加：如 KCL,KVL方程运算：
) cos(2
111
ψω += tIi
) cos(2
222
ψω += tIi
返回 上页 下页
i
1
i
1
+i
2
→i
3
i
2
ω
ω
ω
角频率同 频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用
I
1
I
2
I
3
有效值
Ψ
1
Ψ
2
Ψ
3
初相位
ω t
u,i
i
1
i
2
o
i
3
结论正弦量 复数变换的思想返回 上页 下页造一个复函数
) j(
2)(
Ψt
IetF
+
=
ω
无物理意义
3,正弦量的相量表示
) sin(2j) cos(2 ΨtIΨtI +++= ωω
)() cos(2)](Re[ tiΨtItF =+= ω
对 F(t) 取实部任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
是一个正弦量有物理意义结论
) j(
2)( ) cos(2
Ψt
IetFΨtIi
+
=?+=
ω
ω
返回 上页 下页
F(t) 还可以写成
tt
eIeIetF
ωω
ψ
jj
22)(
j
&
==
复常数正弦量对应的相量
F(t) 包含了三要素,I,Ψ,ω，
复常数包含了两个要素,Ι,Ψ 。
) cos(2)( ΨIIΨtIti ∠=?+=
ω
相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位注意返回 上页 下页
) cos(2)( θUUθtUtu ∠=?+=
ω
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例1
试用相量表示 i,u,
)V6014t311.1cos(3
A)30314cos(4.141
o
o
=
+=
u
ti
解
V60220 A,30100
oo
∠=∠=
UI
,50Hz A,1550
=∠=
fI
o
已 知例 2
试写出电流的瞬时值表达式。
解
A )15314cos(250
o
+= ti
返回 上页 下页在复平面上用向量表示相量的图
z 相量图
ΨIIΨtωIti ∠=→+=
&
) cos(2)(
θUUθtUtu ∠=→+=
&
) cos(2)( ω
Ψ
θ
U
I
+1
+j
返回 上页 下页
4,相量法的应用
①同频率正弦量的加减
)2Re() cos(2)(
)2Re() cos(2)(
j
2
222
j
1
111
t
t
eUΨtUtu
eUΨtUtu
ω
ω
ω
ω
=+=
=+=
jj
12
12
jj j
12 12
() () () Re( 2 ) Re( 2 )
Re(2 2 ) Re(2( ) )
tt
tt t
ut u t u t U e U e
Ue Ue U U e
ωω
ωω ω
=+= +
=+
U
&
21
UUU
&&&
+=
相量关系为：
结论同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
返回 上页 下页
i
1
± i
2
= i
3
321
III
&&&
=±
例
V )60314cos(24)(
V )30314cos(26)(
o
2
1
+=
+=
ttu
ttu
o
oo
&&&
604306
21
∠+∠=+= UUU
V604
V 306
o
2
o
1
∠=
∠=
U
U
&
&
46.3j23j19.5 +++= 46.6j19.7 +=
V9.4164.9
o
∠=
V )9.41314cos(264.9)()()(
o
21
+=+=∴ ttututu
返回 上页 下页借助相量图计算
V604 V 306
o
2
o
1
∠=∠= UU
&&
+1
+j
o
30
1
U
&
o
60
2
U
&
o
9.41
U
&
+1
+j
o
9.41
U
&
o
60
2
U
&
o
30
1
U
&
首尾相接返回 上页 下页
8.4 电路定律的相量形式
1,电阻元件 VCR的相量形式时域形式：
ii
ΨRIUΨII ∠=∠=
R
&&
相量形式：
相量模型
)cos(2)(
i
ΨtIti += ω
)cos(2)()(
R i
ΨtRItRitu +== ω
u
R
(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系
R
+
-
R
U
I
U
R
Ψ
u
相量关系：
相位关系
IRU
&&
=
R
U
R
=RI
Ψ
u
=Ψ
i
下页上页返回瞬时功率
iup
RR
=
波形图及相量图
i
ω t
o
u
R
p
R
R
U
&
I
&
Ψ
u
=Ψ
i
U
R
I
) (cos22
2
R i
ΨtωIU +=
)] (2cos1[
R i
ΨtωIU ++=
同相位瞬时功率以 2ω交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率返回 上页 下页时域形式：
相量形式：
) cos(2)(
i
ψtIti += ω
)
2
π
cos( 2
) sin(2
d
)(d
)(
++=
+?==
i
iL
ΨtIL
ΨtIL
t
ti
Ltu
ωω
ωω
相量关系：
IXILU
LL
&&&
jj == ω
2,电感元件 VCR的相量形式
2π +=∠=
iLi
ΨLIUΨII ω
&&
i(t)
u
L
(t)
L
+
-
jω L
+
-
L
U
I
&
有效值关系,U=ω L I
相位关系,Ψ
u
=Ψ
i
+90°
相量模型返回 上页 下页
X
L
=ωL=2πfL,称为感抗，单位为? (欧姆)
B
L
=-1/ω L =-1/2πfL,称为感纳，单位为 S
感抗和感纳感抗的性质
①表示限制电流的能力；
②感抗和频率成正比。
ω
X
L
,jj ILIXU
L
&&&
ω==
U
L
U
L
UBI
L
&&&&
ωω j
11
jj =
==
相量表达式返回 上页 下页波形图及相量图功率
) (2sin
) sin()cos(
L
mLmLL
i
ii
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
+=
++==
ω
ωω
ω t
i
o
u
L
p
L
2π
L
U
&
I
&
Ψ
i
电压超前电流90
0
瞬时功率以 2ω交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。
返回 上页 下页时域形式：
相量形式：
)cos(2)(
u
ΨtUtu += ω
)
2
π
cos(2
) sin(2
d
)(d
)(
C
++=
+?==
u
u
ΨtCU
ΨtCU
t
tu
Cti
ωω
ωω
相量模型
i
C
(t)
u(t)
C
+
-
U
&
C
I
&
+
-
ωCj
1
相量关系：
IXI
C
U
C
&&&
j
1
j =?=
ω
3,电容元件 VCR的相量形式
2π
+=∠=
u
C
u
ΨCUIΨUU ω
&&
下页上页有效值关系,I
C
=ω CU
相位关系,Ψ
i
=Ψ
u
+90°
返回
X
C
=-1/ω C,称为容抗，单位为?(欧姆)
Β
C
= ω C,称为容纳，单位为 S
容抗和频率成反比
ω
|X
C
|
容抗与容纳
1
jj
C
I
C
IXU
&&&
ω
==
UCUBI
C
&&&
ωjj ==
相量表达式返回 上页 下页波形图及相量图功率
)(2sin
)sin()cos(2
C
CC
u
uuC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUIuip
+=
++==
ω t
i
C
o
u
p
C
瞬时功率以 2ω交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。
U
&
C
I
&
Ψ
u
电流超前电压 90
0
2π
返回 上页 下页
4,基尔霍夫定律的相量形式同 频 率 的 正 弦 量 加 减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中,KCL和
KVL可用相应的相量形式表示：
[ ]
∑ ∑
=++= 0 2Re)(
j
21
t
eIIti
ω
L
&&
∑
= 0)(ti
∑
= 0I
&
∑
= 0)(tu
∑
= 0U
&
流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL。
表明返回 上页 下页试判断下列表达式的正、误。
例1
= j,5
C
C
C
I
U
ω
&
&
Cωj
1
Liu,1 ω=
0
05cos5,2 ∠== ti ω
U
I
mm
j,3 CUI ω=
&
LL
j,6 ILU
&&
ω=
U
&
L
L
L
,4
I
U
X
&
&
=
m
m
I
U
=
t
i
Cu
d
d
,7 =
L
返回 上页 下页例 1
)(:),5cos(2120)( titt u 求已 知 =
+
_
15?
u
4H
0.02F
i
相量模型
U
&
j20?
-j10?
1
I
&
2
I
&
3
I
&
I
&
+
_
15?
解
0
0120∠=U
&
jj45 j20
L
XjwL==×=?
11
jjj10?
50.02
C
Xj
wC
=? =? =?
×
返回 上页 下页
CL
CLR
jj X
U
X
U
R
U
IIII
&&&
&&&&
++=++=
A9.3610681268
10
1
20
1
15
1
120
0
∠=+=+?=
+=
jjj
jj
A)9.365cos(210)(
0
+= tt i
U
&
j20?
-j10?
1
I
&
2
I
&
3
I
&
I
&
+
_
15?
返回 上页 下页
9.3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
0,KVL
0,KCL
==
=
=
∑
∑
UYIIZU
U
I
&&&&
&
&
或
,元件约束关系
:正弦电路相量分析
==
=
=
∑
∑
GuiRiu
u
i
0,KVL
0,KCL
或
,元件约束关系
:电阻电路返回 上页 下页结论
1.引入相量法，电阻电路和正弦电流 电路 依 据的电路定律是相似的。
2.引入 电路 的相 量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。
3.引入类似电阻的感抗、容抗 （阻抗）以后，
可 将 电 阻 电 路 中 讨 论 的 所 有 网络定理和分析方 法 都 推 广 应 用 于 正 弦 稳 态 的相量分析中。
直流 （ f =0)是一个特例。它的一些电阻电路中的定理在相量法中任然适用。
返回 上页 下页例 2
列写电路的回路电流方程和结点电压方程
S
I
&
Lωj
Cω
1
j
S
U
&
+
_
R
1
R
2
R
3
R
4
解
1
I
&
2
I
&
4
I
&
3
I
&
回路方程
S
UIRILRILRR
&&&&
=?+?++
3221121
)j()j( ωω
0)j()j(
33112431
=?+?+++ IRILRILRRR
&&&
ωω
0
1
j)
1
j(
42312332
=+++ I
C
IRIRI
C
RR
&&&&
ωω
S
II
&&
=
4
下页上页
+
_
s
u
s
i
L
R
1
R
2
R
3
R
4
C
返回
1n
U
&
2n
U
&
3n
U
&
Sn
UU
&&
=
1
结点方程
0
11
)
11
j
1
(
3
3
1
2
2
321
=++
+
nnn
U
R
U
R
U
RRLR
&&&
ω
Snnn
IUCU
R
UC
RR
&&&&
=++
12
3
3
43
j
1
)j
11
( ωω
下页上页
S
I
&
Lωj
Cω
1
j?
S
U
&
+
_
R
1
R
2
R
3
R
4
返回
,?,45,? 30
,30j,A 904
3
21
o
S
IZZ
ZZI
&
&
求电流已知
==
==∠=：
例 3
S31
)//( IZZ
&
Z
2
Z
1
//Z
3
Z
I
&
+
-
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
Z
3
I
&
=
= 15j15
30j30
)30j(30
//
31
ZZ解方法 1：电源变换
ZZZZ
ZZI
I
++
=
231
31S
//
)//(
&
&
4530j15j15
)15j15(4j
+
=
o
o
36.9-5
455.657
∠
∠
=
A9.8113.1
o
∠=
返回 上页 下页方法 2：戴维宁等效变换
Z
eq
Z
0
U
&
+
-
I
&
+
-
0
U
&
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
3
V4586.84 )//(
o
310
∠== ZZIU
S
&&
求开路电压：
求等效电阻：
45j15//
231
=+= ZZZZ
eq
A9.8113.1
4545j15
4586.84
o
0
0
∠=
+?
∠
=
+
=
o
&
&
ZZ
U
I
返回 上页 下页
