第9章 正弦稳态电路的分析本章重点正弦稳态电路的分析
9.3
正弦稳态电路的功率
9.4
复功率
9.5
最大功率传输
9.6
阻抗和导纳
9.1
首页
z 重点：
1,阻抗和导纳；选择题
2,正弦稳态电路的分析；（要结合12章的三相电，计算题
3,功率因数的提高；（计算题，重点，10分）
返回
9.1 阻抗和导纳
1,阻抗正弦稳态情况下
I
&
Z
U
&
+
-
无源线性网络
I
&
U
&
+
-
∠==
z
φZ
I
U
Z ||
def
&
&
欧姆定律的相量形式
iuz
ψψ=
=
I
U
Z
阻抗模阻抗角返回 上页 下页当无源网络内为单个元件时有：
R
I
U
Z ==
&
&
L
XL
I
U
Z j j === ω
&
&
C
X
CI
U
Z j
1
j =?==
ω
&
&
Z 可以是实数，也可以是虚数。
I
&
C
U
&
+
-
I
&
R
U
&
+
-
I
&
L
U
&
+
-
表明返回 上页 下页
2,RLC串联电路
R
+
-
+
-
+
-
+
-
,
I
jω L
U
&
L
U
&
C
U
,
Cωj
1
R
U
&
L
C
R
u
u
L
u
C
i
+
-
+
-
+
-
+
-
u
R
KVL：
...,..,
1
jj I
C
ILIRUUUU
CLR
ω
ω?+=++=
IXXRI
C
LR
CL
&&
)](j[)]
1
(j[ ++=?+=
ω
ω IXR
&
)j( +=
z
ZXR
C
LR
I
U
Z?
ω
ω ∠=+=?+== j
1
jj
&
&
返回 上页 下页
Z — 复阻抗； |Z| —复阻抗的模；?
z
—阻抗角；
R —电阻(阻抗的实部)； X—电抗(阻抗的虚部)。
转换关系：
arctan
| |
22
=
+=
R
X
φ
XRZ
z
R=|Z|cos?
z
X=|Z|sin?
z
iuz
I
U
Z
ψψ=
=
或阻抗三角形
|Z|
R
X
z
返回 上页 下页分析 R,L,C 串联电路得出：
（ 1） Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠?
z
为复数，称复阻抗
（ 2） ωL > 1/ωC,X>0,?
z
>0,电路为感性，
电压超前电流。
（ 3） ωL<1/ωC,X<0,?
z
<0,电路为容性，
电压落后电流。
（ 4） ωL=1/ωC,X=0,?
z
=0,电路为电阻性，
电压与电流同相。
返回 上页 下页已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2μF,
,Hz103),60(cos25
4
×=+= ftu
o
ω
例求 i,u
R
,u
L
,u
C
.
解
V605
o
&
∠=U
画出相量模型
C
LRZ
ω
ω
1
jj?+=
5.56j
103.0103π2jj
34
=
××××=
Lω
5.26j
102.0103π2
1
j
1
j
64
=
××××
=?
Cω
5.26j5.56j15?+=
4.6354.33
o
∠=
下页上页
L
C
R
u
u
L
u
C
i
+
-
+
-
+
-
+
-
u
R
R
+
-
+
-
+
-
+
-
,
I
jω L
U
&
L
U
&
C
U
,
Cωj
1
R
U
&
返回
A 4.3149.0
4.6354.33
605
o
o
o
∠=
∠
∠
==
Z
U
I
&
&
则
A
)4.3ω(
cos2149.0
o
=
t
i
V4.3235.24.3149.015
oo
∠=?∠×== IRU
R
&&
V 6.8642.84.3149.0905.56j
ooo
∠=?∠×∠== ILU
L
&&
ω
V 4.9395.34.3149.0905.26
C
1
j
ooo
∠=?∠×?∠=?= IU
C
&&
ω
V )4.3(cos2235.2
o
= tωu
R
V )6.86(cos242.8
o
+= tωu
L
V )4.93(cos295.3
o
= tωu
C
返回 上页 下页
U
&
L
U
&
C
U
&
I
&
R
U
&
-3.4°
相量图
A 4.3149.0
o
∠=I
&
V 4.3235.2
o
∠=
R
U
&
V 6.8642.8
o
∠=
L
U
&
V 4.9395.3
o
∠=
C
U
&
返回 上页 下页正弦稳态情况下
3.导纳
I
&
Y
U
&
+
-
无源线性网络
I
&
U
&
+
-
S ||
y
φY
U
I
Y ∠==
&
&
定义导纳
uiy
ψψ=
U
I
Y =
导纳模导纳角返回 上页 下页
Z
Y
Y
Z
1
,
1
==
对同一二端网络:
当无源网络内为单个元件时有：
C
B
C
U
I
Y
j
j
=
=
=
ω
&
&
G
RU
I
Y ===
1
&
&
L
B
LU
I
Y j
j
1
===
ω
&
&
Y 可以是实数，也可以是虚数。
下页上页
I
&
C
U
&
+
-
I
&
R
U
&
+
-
I
&
L
U
&
+
-
表明返回
Y—复导纳； |Y| —复导纳的模；?
y
—导纳角；
G —电导(导纳的实部)； B —电纳(导纳的虚部)；
arctan
| |
22
=
+=
G
B
φ
BGY
y
G=|Y|cos?
y
B=|Y|sin?
y
转换关系：
或导纳三角形
|Y|
G
B
y
uiy
U
I
Y
ψψ=
=
下页上页返回
（ 1） Y=G+j(ωC-1/ωL)=|Y|∠?
y
为复数，称复导纳；
（ 2） ωC >1/ωL,B>0,?
y
>0,电路为容性，
电流超前电压。
相量图：选电压为参考向量，
0=
u
ψ
分析 R,L,C 并联电路得出：
U
&
GI
,
CI
.
I
&
y
LI
,
2222
)(
LCGBG
IIIIII?+=+=
I
B
返回 上页 下页
（ 3） ωC<1/ωL,B<0,?
y
<0,电路为感性，
电流落后电压；
2222
)(
CLGBG
IIIIII?+=+=
U
&
GI
.
LI
.
I
&
y
C
I
.
等效电路
I
&
U
&
BI
&
eq
j
1
Cω
R
I
&
R
+
-
返回 上页 下页例 1
图示电路对外呈现感性还是容性？
解 等效阻抗为：
=
+
∠
+?=
++
+
+?=
75.4j5.5
4j8
1.5325
6j3
)4j3(5
)4j3(5
6j3
0
Z
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
电路对外呈现容性接 4
返回 上页 下页
9.3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
0,KVL
0,KCL
==
=
=
∑
∑
UYIIZU
U
I
&&&&
&
&
或
,元件约束关系
:正弦电路相量分析
==
=
=
∑
∑
GuiRiu
u
i
0,KVL
0,KCL
或
,元件约束关系
:电阻电路返回 上页 下页结论
1.引入相量法，电阻电路和正弦电流 电路 依 据的电路定律是相似的。
2.引入 电路 的相 量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。
3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网 络 定 理 和 分 析 方 法 都 推 广 应用于正弦稳态的相量分析中。直流 （ f =0)是一个特例。
返回 上页 下页例 2
列写电路的回路电流方程和结点电压方程
S
I
&
Lωj
Cω
1
j
S
U
&
+
_
R
1
R
2
R
3
R
4
解
1
I
&
2
I
&
4
I
&
3
I
&
回路方程
S
UIRILRILRR
&&&&
=?+?++
3221121
)j()j( ωω
0)j()j(
33112431
=?+?+++ IRILRILRRR
&&&
ωω
0
1
j)
1
j(
42312332
=+++ I
C
IRIRI
C
RR
&&&&
ωω
S
II
&&
=
4
下页上页
+
_
s
u
s
i
L
R
1
R
2
R
3
R
4
C
返回
1n
U
&
2n
U
&
3n
U
&
Sn
UU
&&
=
1
结点方程
0
11
)
11
j
1
(
3
3
1
2
2
321
=++
+
nnn
U
R
U
R
U
RRLR
&&&
ω
Snnn
IUCU
R
UC
RR
&&&&
=++
12
3
3
43
j
1
)j
11
( ωω
下页上页
S
I
&
Lωj
Cω
1
j?
S
U
&
+
_
R
1
R
2
R
3
R
4
返回
,?,45,? 30
,30j,A 904
3
21
o
S
IZZ
ZZI
&
&
求电流已知
==
==∠=：
例 3
S31
)//( IZZ
&
Z
2
Z
1
//Z
3
Z
I
&
+
-
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
Z
3
I
&
=
= 15j15
30j30
)30j(30
//
31
ZZ解方法 1：电源变换
ZZZZ
ZZI
I
++
=
231
31S
//
)//(
&
&
4530j15j15
)15j15(4j
+
=
o
o
36.9-5
455.657
∠
∠
=
A9.8113.1
o
∠=
返回 上页 下页方法 2：戴维宁等效变换
Z
eq
Z
0
U
&
+
-
I
&
+
-
0
U
&
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
3
V4586.84 )//(
o
310
∠== ZZIU
S
&&
求开路电压：
求等效电阻：
45j15//
231
=+= ZZZZ
eq
A9.8113.1
4545j15
4586.84
o
0
0
∠=
+?
∠
=
+
=
o
&
&
ZZ
U
I
返回 上页 下页用叠加定理计算电流
2
I
&
V45100,
o
S
∠=U
&
已 知
,?3050,?3050 A,04
o
3
o
31
o
S
∠=∠==∠= ZZZI
&
例 5
Z
2
S
I
& Z
1
Z
3
2
I
&
S
U
&
+
-
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
3
2
I
′
&
解
:)( )1(
SS
短路单独作用 UI
&&
32
3
S2
ZZ
Z
II
+
=
′
&&
oo
o
o
30503050
3050
04
∠+?∠
∠
×∠=
A3031.2
350
30200
o
o
∠=
∠
=
返回 上页 下页
Z
2
S
I
& Z
1
Z
3
2
I
&
S
U
&
+
-
Z
2
Z
1
Z
3
2
I
′′
&
S
U
&
+
-
:)( )2( S
S
开路单独作用
IU
32
S
2
ZZ
U
I
+
=
′′
&
&
350
45100
o
∠?
= A135155.1
o
∠=
A135155.13031.2
oo
222
∠+∠=
′′
+
′
= III
&&&
返回 上页 下页已知,U=115V,U
1
=55.4V,U
2
=80V,R
1
=32?,
f=50Hz。 求：线圈的电阻 R
2
和电感 L
2
。
方法一,画相量图分析。
例 8
解
LR
UUUUUU
&&&&&&
++=+=
2
121
R
1
R
2
L
2
+
_
1
U
&
U
&
2
U
&
+
_
+
_
I
&
I
&
1
U
&
L
U
&
2
R
U
&
2
U
&
θ
2
U
&
θ
cos2
21
2
2
2
1
2
UUUUU ++=
o
1.1154237.0cos =∴?=
返回 上页 下页
oo
9.64180
2
=?=?θ
I
&
1
U
&
L
U
&
2
R
U
&
2
U
&
θ
2
U
&
θ
A73.132/4.55/
11
=== RUI
H133.0)π2/(
8.41sin ||
6.19cos ||
2.4673.1/80/||
2
222
222
22
==
==
==
===
fXL
θZX
ZR
IUZ
θ
返回 上页 下页
9.4 正弦稳态电路的功率
1,瞬时功率无源网络
+
u
i
_
iu
ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
=
=
=
)cos(2)(
cos2)(
的相位差和为
ω
ω
)]2cos([cos
)cos(2cos2)(
φtφUI
φtItUuitp
+=
==
ω
ωω
返回 上页 下页
ω t
i
o
u
)]2cos([cos)( φtφUItp?+= ω
UIcos? 恒定分量 。
UIcos (2ω t －?)
为正弦分量。
p
p 有时为正,有时为负；
p>0,电路吸收功率；
p<0,电路发出功率；
返回 上页 下页
2.有功功率（ 平均功率） P
∫
=
T
tp
T
P
0
d
1
∫
+=
T
ttUIUI
T
0
d)]2cos(cos[
1
ω?
φUI cos=
φUIP cos=
P 的单位,W（瓦）
=ψ
u
-ψ
i
,功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。
cos?,功率因数。
返回 上页 下页
cos?
1,纯电阻
0,纯电抗一般地,有,0≤?cos≤1
X<0,? <0,容性,
X>0,? >0,感性，
结论平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称 为 有功功率。表示电路实际消耗 的功 率,它不 仅 与 电压电流有效值有关，而且与 cos? 有关，这是交流和直流的很大区别,主要由 于 电 压,电 流 存 在 相位差。
返回 上页 下页
3,无功功率 Q
φUIQ sin
def
=
单位,var (乏)。
z Q>0,表示网络吸收无功功率；
z Q<0,表示网络发出无功功率。
z Q 的大小反映网络与外电路交换功率的速率。
是由储能元件 L,C的性质决定的
4,视在功率 S
)(VA,
def
伏安单位UIS =
电气设备的容量返回 上页 下页有功，无功，视在功率的关系：
有功功率,P=UIcos? 单位,W
无功功率,Q=UIsin? 单位,var
视在功率,S=UI 单位,VA
22
QPS +=
S
P
Q
功率三角形返回 上页 下页
6,任意阻抗的功率计算
P
Z
=UIcos? =I
2
|Z|cos? =I
2
R
u
i
Z
+
-
Q
Z
=UIsin? =I
2
|Z|sin? =I
2
X
＝ I
2
(X
L
＋ X
C
)=Q
L
＋ Q
C
0
0
2
2
<=
>=
CC
LL
XIQ
XIQ
ZIXRIQPS
222222
=+=+=
S
P
Q
Z
R
X
相似三角形返回 上页 下页例 1
三表法测线圈参数。
已知,f=50Hz,且测得
U=50V,I=1A,P=30W。
解法 1
VA50150 =×==UIS
var40
3050
2222
=
=?= PSQ
R
L
+
_
U
&
I
&
Z
W
A
V
*
*
=== 30
1
30
2
I
P
R
=== 40
1
40
2
I
Q
X
L
H127.0
π100
40
===
ω
L
X
L
返回 上页 下页
30
1
30
22
2
===∴=
I
P
RRIP
解法 2
50
1
50
|| ===
I
U
Z
又
22
)(|| LRZ ω+=
H127.0
314
40
3050
314
1
||
1
2222
==?=?= RZL
ω
cos?UIP =
6.0
150
30
cos =
×
==
UI
P
50
1
50
|| ===
I
U
Z
=×== 300.650cosZ?R
解法 3
408.050sin||
L
=×==?ZX
返回 上页 下页
7,功率因数的提高
P=UIcos?=Scos?
① 设 备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；
功率因数低带来的问题：
S
75kVA
负载
cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
一般用户,异 步电机 空 载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
返回 上页 下页
② 当输出相同的有功功率时，线路上电流大,
I=P/(Ucos?),线路压降损耗大。
U
&
I
&
1
I
&
2
cos?UIP = cos ↑?
↓I
i+
-
u Z
↑U
解决办法,（ 1）高压传输
（2）改进自身设备
（3）并联电容，提高功率因数 。
返回 上页 下页分析
L
R
C
U
&
I
&
L
I
&
C
I
&
+
_
C
I
&
U
&
L
I
&
1
I
&
2
特点：
并联电容后，原负载的电压和电流不变，
吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
返回 上页 下页并联电容的确定：
21
sinsin III
LC
=
代入 得将
cos
,
cos
12
U
P
I
U
P
I
L
==
)tgtg(
21
ω?==
U
P
CUI
C
)tgtg(
212
ω
=
U
P
C
C
I
&
U
&
L
I
&
1
I
&
2
首先画出相量图，根据三角关系知道：
L
R
C
U
&
I
&
L
I
&
C
I
&
+
_
根据功率关系知道：
12
cos,cos
L
UIPUIP ==
返回 上页 下页从功率角度看,
并联电容后，电源向负载输送的有功 UI
L
cos?
1
=UI cos?
2
不变，但是电源向负载输送的无功
UIsin?
2
<UI
L
sin?
1
减少了，减少的这部分无功由电容,产生,来补偿，使感性负载吸收的无功不变，
而功率因数得到改善。
返回 上页 下页已知,f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos?
1
=0.6，要使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C,并联前后电路的总电流各为多大？
o
11
13.53 6.0cos =?= φφ
例解
o
22
84.25 9.0cos =?= φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
21
2
μ
ω
=?
×
×
=
=
oo
φφ
U
P
C
A8.75
6.0220
1010
cos
3
1
=
×
×
===
U
P
II
L
未并电容时：
A5.50
9.0220
1010
cos
3
2
=
×
×
==
U
P
I
下页上页
L
R
C
U
&
I
&
L
I
&
C
I
&
+
_
返回并联电容后：
若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应增加多少并联电容,此时电路的总电流是多大？
o
22
19.18 95.0cos =?= φφ
解
o
11
84.25 9.0cos =?= φφ
F 103 )8.191tg5.842tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
21
2
μ
ω
=?
×
×
=
=
oo
φφ
U
P
C
A8.47
95.0220
1010
3
=
×
×
=I
cos? 提高后，线路上总电流减少，但继续提高 cos? 所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将 cos? 提高到 0.9即可。
注意返回 上页 下页
9.5 复功率
1,复功率功率,来计算功率，引入“复和为了用相量 IU
&&
VA
*
单位IUS
&&
=
U
&
I
&
负载
+
_
定义：
jsinjcos
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS
iu
+=+=
∠=∠=?∠=
也可表示为：
XIRIX)I(RZIIIZIUS
2222**
jj +=+==?==
&&&&
)(or
*2****
YUYUUYUUIUS =?===
&&&&
下页上页返回
.守恒 视在功率复功率守恒,不
2121
SSSUUU +≠∴+≠Q
结论
S
① 是 复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；
=
=
∑
∑
=
=
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
0)j(
11
∑∑
==
==+
b
k
k
b
k
kk
SQP
注意把 P,Q,S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；
S
d
复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即
e
返回 上页 下页求电路各支路的复功率例
+
_
U
&
10
∠
0
o
A
10?
j25?
5
-
j15
1
I
&
2
I
&
解 1
)15j5//()25j10(?+=Z
V)1.37(236 010
oo
∠=×∠= ZU
&
VA 1424j1882010)1.37(236
oo
=∠×?∠=
发
S
VA 1920j768)
25j10
1
(236
*2
*
1
2
1
+=
+
== YUS
吸
VA 3345j1113
*
2
2
2
== YUS
吸发吸吸
SSS =+
21
返回 上页 下页
9.6 最大功率传输
Z
i
= R
i
+ jX
i
,Z
L
= R
L
+ jX
L
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
U
I
ZZ
U
I
+++
=
+
=
2
Li
2
Li
2
SL
2
L
)()(
XXRR
UR
IRP
+++
==有功功率负载有源网络等效电路
S
U
Z
L
Z
i
I
&
+
-
返回 上页 下页正弦电路中负载获得最大功率 P
max
的条件讨论
2
Li
2
SL
)( RR
UR
P
+
=
①若 Z
L
= R
L
+ jX
L
可任意改变
i
2
S
max
4R
P =
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
UR
P
+++
=
a)先设 R
L
不变,X
L
改变显然，当 X
i
+ X
L
=0,即 X
L
=-X
i
时,P 获得最大值。
b)再讨论 R
L
改变时,P 的最大值下页上页当 R
L
= R
i
时,P 获得最大值
Z
L
= Z
i
*
最佳匹配条件
R
L
= R
i
X
L
=-X
i
返回
②若 Z
L
= R
L
+ jX
L
只允许 X
L
改变获得最大功率的条件是,X
i
+ X
L
=0,即 X
L
=-X
i
2
Li
2
SL
max
)( RR
UR
P
+
=
最大功率为
③若 Z
L
= R
L
为纯电阻负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
U
I
RZ
U
I
++
=
+
=
电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
UR
P
++
=
iiiL
L
ZXRR
R
P
=+=?=
22
0
d
d
,获得最大功率条件令模匹配下页上页返回电路如图，求：1,R
L
=5?时其消耗的功率；
2,R
L
=?能获得最大功率，并求最大功率；
3.在 R
L
两端并联一电容，问 R
L
和 C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。
A)6.26(89.0
55j5
010
1,
o
o
∠=
++
∠
=I
&
例解
+=
××+=+=
5j5
105010j5j
65
Li
XRZ
W4589.0
22
=×==
LL
RIP
+
_
U
&
10∠ 0
o
V
50μΗ
R
L
5?
I
&
ω =10
5
rad/s
获最大功率当 07.755,2
2222
==+=＋
iiL
XRR
返回 上页 下页
A)5.22(766.0
07.75j5
010
o
o
∠=
++
∠
=I
&
W15.407.7766.0
22
=×==
LL
RIP
下页上页
+
_
10∠ 0
o
V
50μΗ
R
L
5?
I
&
C
R
Y
L
j
1
3,ω+=
+
_
10∠ 0
o
V
50μΗ
R
L
5?
I
&
C
2
2
2
L
)(1
j
)(1j1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
CR
R
Y
Z
ω
ω
ωω +
+
=
+
==
=
+
=
+
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
ω
ω
ω
当获最大功率
1
10
=
=
FC
R
L
μ
A1
10
010
o
=
∠
=I
&
W551
2
max
=×==
i
RIP
返回
9.3
正弦稳态电路的功率
9.4
复功率
9.5
最大功率传输
9.6
阻抗和导纳
9.1
首页
z 重点：
1,阻抗和导纳；选择题
2,正弦稳态电路的分析；（要结合12章的三相电，计算题
3,功率因数的提高；（计算题，重点，10分）
返回
9.1 阻抗和导纳
1,阻抗正弦稳态情况下
I
&
Z
U
&
+
-
无源线性网络
I
&
U
&
+
-
∠==
z
φZ
I
U
Z ||
def
&
&
欧姆定律的相量形式
iuz
ψψ=
=
I
U
Z
阻抗模阻抗角返回 上页 下页当无源网络内为单个元件时有：
R
I
U
Z ==
&
&
L
XL
I
U
Z j j === ω
&
&
C
X
CI
U
Z j
1
j =?==
ω
&
&
Z 可以是实数，也可以是虚数。
I
&
C
U
&
+
-
I
&
R
U
&
+
-
I
&
L
U
&
+
-
表明返回 上页 下页
2,RLC串联电路
R
+
-
+
-
+
-
+
-
,
I
jω L
U
&
L
U
&
C
U
,
Cωj
1
R
U
&
L
C
R
u
u
L
u
C
i
+
-
+
-
+
-
+
-
u
R
KVL：
...,..,
1
jj I
C
ILIRUUUU
CLR
ω
ω?+=++=
IXXRI
C
LR
CL
&&
)](j[)]
1
(j[ ++=?+=
ω
ω IXR
&
)j( +=
z
ZXR
C
LR
I
U
Z?
ω
ω ∠=+=?+== j
1
jj
&
&
返回 上页 下页
Z — 复阻抗； |Z| —复阻抗的模；?
z
—阻抗角；
R —电阻(阻抗的实部)； X—电抗(阻抗的虚部)。
转换关系：
arctan
| |
22
=
+=
R
X
φ
XRZ
z
R=|Z|cos?
z
X=|Z|sin?
z
iuz
I
U
Z
ψψ=
=
或阻抗三角形
|Z|
R
X
z
返回 上页 下页分析 R,L,C 串联电路得出：
（ 1） Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠?
z
为复数，称复阻抗
（ 2） ωL > 1/ωC,X>0,?
z
>0,电路为感性，
电压超前电流。
（ 3） ωL<1/ωC,X<0,?
z
<0,电路为容性，
电压落后电流。
（ 4） ωL=1/ωC,X=0,?
z
=0,电路为电阻性，
电压与电流同相。
返回 上页 下页已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2μF,
,Hz103),60(cos25
4
×=+= ftu
o
ω
例求 i,u
R
,u
L
,u
C
.
解
V605
o
&
∠=U
画出相量模型
C
LRZ
ω
ω
1
jj?+=
5.56j
103.0103π2jj
34
=
××××=
Lω
5.26j
102.0103π2
1
j
1
j
64
=
××××
=?
Cω
5.26j5.56j15?+=
4.6354.33
o
∠=
下页上页
L
C
R
u
u
L
u
C
i
+
-
+
-
+
-
+
-
u
R
R
+
-
+
-
+
-
+
-
,
I
jω L
U
&
L
U
&
C
U
,
Cωj
1
R
U
&
返回
A 4.3149.0
4.6354.33
605
o
o
o
∠=
∠
∠
==
Z
U
I
&
&
则
A
)4.3ω(
cos2149.0
o
=
t
i
V4.3235.24.3149.015
oo
∠=?∠×== IRU
R
&&
V 6.8642.84.3149.0905.56j
ooo
∠=?∠×∠== ILU
L
&&
ω
V 4.9395.34.3149.0905.26
C
1
j
ooo
∠=?∠×?∠=?= IU
C
&&
ω
V )4.3(cos2235.2
o
= tωu
R
V )6.86(cos242.8
o
+= tωu
L
V )4.93(cos295.3
o
= tωu
C
返回 上页 下页
U
&
L
U
&
C
U
&
I
&
R
U
&
-3.4°
相量图
A 4.3149.0
o
∠=I
&
V 4.3235.2
o
∠=
R
U
&
V 6.8642.8
o
∠=
L
U
&
V 4.9395.3
o
∠=
C
U
&
返回 上页 下页正弦稳态情况下
3.导纳
I
&
Y
U
&
+
-
无源线性网络
I
&
U
&
+
-
S ||
y
φY
U
I
Y ∠==
&
&
定义导纳
uiy
ψψ=
U
I
Y =
导纳模导纳角返回 上页 下页
Z
Y
Y
Z
1
,
1
==
对同一二端网络:
当无源网络内为单个元件时有：
C
B
C
U
I
Y
j
j
=
=
=
ω
&
&
G
RU
I
Y ===
1
&
&
L
B
LU
I
Y j
j
1
===
ω
&
&
Y 可以是实数，也可以是虚数。
下页上页
I
&
C
U
&
+
-
I
&
R
U
&
+
-
I
&
L
U
&
+
-
表明返回
Y—复导纳； |Y| —复导纳的模；?
y
—导纳角；
G —电导(导纳的实部)； B —电纳(导纳的虚部)；
arctan
| |
22
=
+=
G
B
φ
BGY
y
G=|Y|cos?
y
B=|Y|sin?
y
转换关系：
或导纳三角形
|Y|
G
B
y
uiy
U
I
Y
ψψ=
=
下页上页返回
（ 1） Y=G+j(ωC-1/ωL)=|Y|∠?
y
为复数，称复导纳；
（ 2） ωC >1/ωL,B>0,?
y
>0,电路为容性，
电流超前电压。
相量图：选电压为参考向量，
0=
u
ψ
分析 R,L,C 并联电路得出：
U
&
GI
,
CI
.
I
&
y
LI
,
2222
)(
LCGBG
IIIIII?+=+=
I
B
返回 上页 下页
（ 3） ωC<1/ωL,B<0,?
y
<0,电路为感性，
电流落后电压；
2222
)(
CLGBG
IIIIII?+=+=
U
&
GI
.
LI
.
I
&
y
C
I
.
等效电路
I
&
U
&
BI
&
eq
j
1
Cω
R
I
&
R
+
-
返回 上页 下页例 1
图示电路对外呈现感性还是容性？
解 等效阻抗为：
=
+
∠
+?=
++
+
+?=
75.4j5.5
4j8
1.5325
6j3
)4j3(5
)4j3(5
6j3
0
Z
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
电路对外呈现容性接 4
返回 上页 下页
9.3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
0,KVL
0,KCL
==
=
=
∑
∑
UYIIZU
U
I
&&&&
&
&
或
,元件约束关系
:正弦电路相量分析
==
=
=
∑
∑
GuiRiu
u
i
0,KVL
0,KCL
或
,元件约束关系
:电阻电路返回 上页 下页结论
1.引入相量法，电阻电路和正弦电流 电路 依 据的电路定律是相似的。
2.引入 电路 的相 量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。
3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网 络 定 理 和 分 析 方 法 都 推 广 应用于正弦稳态的相量分析中。直流 （ f =0)是一个特例。
返回 上页 下页例 2
列写电路的回路电流方程和结点电压方程
S
I
&
Lωj
Cω
1
j
S
U
&
+
_
R
1
R
2
R
3
R
4
解
1
I
&
2
I
&
4
I
&
3
I
&
回路方程
S
UIRILRILRR
&&&&
=?+?++
3221121
)j()j( ωω
0)j()j(
33112431
=?+?+++ IRILRILRRR
&&&
ωω
0
1
j)
1
j(
42312332
=+++ I
C
IRIRI
C
RR
&&&&
ωω
S
II
&&
=
4
下页上页
+
_
s
u
s
i
L
R
1
R
2
R
3
R
4
C
返回
1n
U
&
2n
U
&
3n
U
&
Sn
UU
&&
=
1
结点方程
0
11
)
11
j
1
(
3
3
1
2
2
321
=++
+
nnn
U
R
U
R
U
RRLR
&&&
ω
Snnn
IUCU
R
UC
RR
&&&&
=++
12
3
3
43
j
1
)j
11
( ωω
下页上页
S
I
&
Lωj
Cω
1
j?
S
U
&
+
_
R
1
R
2
R
3
R
4
返回
,?,45,? 30
,30j,A 904
3
21
o
S
IZZ
ZZI
&
&
求电流已知
==
==∠=：
例 3
S31
)//( IZZ
&
Z
2
Z
1
//Z
3
Z
I
&
+
-
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
Z
3
I
&
=
= 15j15
30j30
)30j(30
//
31
ZZ解方法 1：电源变换
ZZZZ
ZZI
I
++
=
231
31S
//
)//(
&
&
4530j15j15
)15j15(4j
+
=
o
o
36.9-5
455.657
∠
∠
=
A9.8113.1
o
∠=
返回 上页 下页方法 2：戴维宁等效变换
Z
eq
Z
0
U
&
+
-
I
&
+
-
0
U
&
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
3
V4586.84 )//(
o
310
∠== ZZIU
S
&&
求开路电压：
求等效电阻：
45j15//
231
=+= ZZZZ
eq
A9.8113.1
4545j15
4586.84
o
0
0
∠=
+?
∠
=
+
=
o
&
&
ZZ
U
I
返回 上页 下页用叠加定理计算电流
2
I
&
V45100,
o
S
∠=U
&
已 知
,?3050,?3050 A,04
o
3
o
31
o
S
∠=∠==∠= ZZZI
&
例 5
Z
2
S
I
& Z
1
Z
3
2
I
&
S
U
&
+
-
Z
2
S
I
&
Z
1
Z
3
2
I
′
&
解
:)( )1(
SS
短路单独作用 UI
&&
32
3
S2
ZZ
Z
II
+
=
′
&&
oo
o
o
30503050
3050
04
∠+?∠
∠
×∠=
A3031.2
350
30200
o
o
∠=
∠
=
返回 上页 下页
Z
2
S
I
& Z
1
Z
3
2
I
&
S
U
&
+
-
Z
2
Z
1
Z
3
2
I
′′
&
S
U
&
+
-
:)( )2( S
S
开路单独作用
IU
32
S
2
ZZ
U
I
+
=
′′
&
&
350
45100
o
∠?
= A135155.1
o
∠=
A135155.13031.2
oo
222
∠+∠=
′′
+
′
= III
&&&
返回 上页 下页已知,U=115V,U
1
=55.4V,U
2
=80V,R
1
=32?,
f=50Hz。 求：线圈的电阻 R
2
和电感 L
2
。
方法一,画相量图分析。
例 8
解
LR
UUUUUU
&&&&&&
++=+=
2
121
R
1
R
2
L
2
+
_
1
U
&
U
&
2
U
&
+
_
+
_
I
&
I
&
1
U
&
L
U
&
2
R
U
&
2
U
&
θ
2
U
&
θ
cos2
21
2
2
2
1
2
UUUUU ++=
o
1.1154237.0cos =∴?=
返回 上页 下页
oo
9.64180
2
=?=?θ
I
&
1
U
&
L
U
&
2
R
U
&
2
U
&
θ
2
U
&
θ
A73.132/4.55/
11
=== RUI
H133.0)π2/(
8.41sin ||
6.19cos ||
2.4673.1/80/||
2
222
222
22
==
==
==
===
fXL
θZX
ZR
IUZ
θ
返回 上页 下页
9.4 正弦稳态电路的功率
1,瞬时功率无源网络
+
u
i
_
iu
ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
=
=
=
)cos(2)(
cos2)(
的相位差和为
ω
ω
)]2cos([cos
)cos(2cos2)(
φtφUI
φtItUuitp
+=
==
ω
ωω
返回 上页 下页
ω t
i
o
u
)]2cos([cos)( φtφUItp?+= ω
UIcos? 恒定分量 。
UIcos (2ω t －?)
为正弦分量。
p
p 有时为正,有时为负；
p>0,电路吸收功率；
p<0,电路发出功率；
返回 上页 下页
2.有功功率（ 平均功率） P
∫
=
T
tp
T
P
0
d
1
∫
+=
T
ttUIUI
T
0
d)]2cos(cos[
1
ω?
φUI cos=
φUIP cos=
P 的单位,W（瓦）
=ψ
u
-ψ
i
,功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。
cos?,功率因数。
返回 上页 下页
cos?
1,纯电阻
0,纯电抗一般地,有,0≤?cos≤1
X<0,? <0,容性,
X>0,? >0,感性，
结论平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称 为 有功功率。表示电路实际消耗 的功 率,它不 仅 与 电压电流有效值有关，而且与 cos? 有关，这是交流和直流的很大区别,主要由 于 电 压,电 流 存 在 相位差。
返回 上页 下页
3,无功功率 Q
φUIQ sin
def
=
单位,var (乏)。
z Q>0,表示网络吸收无功功率；
z Q<0,表示网络发出无功功率。
z Q 的大小反映网络与外电路交换功率的速率。
是由储能元件 L,C的性质决定的
4,视在功率 S
)(VA,
def
伏安单位UIS =
电气设备的容量返回 上页 下页有功，无功，视在功率的关系：
有功功率,P=UIcos? 单位,W
无功功率,Q=UIsin? 单位,var
视在功率,S=UI 单位,VA
22
QPS +=
S
P
Q
功率三角形返回 上页 下页
6,任意阻抗的功率计算
P
Z
=UIcos? =I
2
|Z|cos? =I
2
R
u
i
Z
+
-
Q
Z
=UIsin? =I
2
|Z|sin? =I
2
X
＝ I
2
(X
L
＋ X
C
)=Q
L
＋ Q
C
0
0
2
2
<=
>=
CC
LL
XIQ
XIQ
ZIXRIQPS
222222
=+=+=
S
P
Q
Z
R
X
相似三角形返回 上页 下页例 1
三表法测线圈参数。
已知,f=50Hz,且测得
U=50V,I=1A,P=30W。
解法 1
VA50150 =×==UIS
var40
3050
2222
=
=?= PSQ
R
L
+
_
U
&
I
&
Z
W
A
V
*
*
=== 30
1
30
2
I
P
R
=== 40
1
40
2
I
Q
X
L
H127.0
π100
40
===
ω
L
X
L
返回 上页 下页
30
1
30
22
2
===∴=
I
P
RRIP
解法 2
50
1
50
|| ===
I
U
Z
又
22
)(|| LRZ ω+=
H127.0
314
40
3050
314
1
||
1
2222
==?=?= RZL
ω
cos?UIP =
6.0
150
30
cos =
×
==
UI
P
50
1
50
|| ===
I
U
Z
=×== 300.650cosZ?R
解法 3
408.050sin||
L
=×==?ZX
返回 上页 下页
7,功率因数的提高
P=UIcos?=Scos?
① 设 备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；
功率因数低带来的问题：
S
75kVA
负载
cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
一般用户,异 步电机 空 载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
返回 上页 下页
② 当输出相同的有功功率时，线路上电流大,
I=P/(Ucos?),线路压降损耗大。
U
&
I
&
1
I
&
2
cos?UIP = cos ↑?
↓I
i+
-
u Z
↑U
解决办法,（ 1）高压传输
（2）改进自身设备
（3）并联电容，提高功率因数 。
返回 上页 下页分析
L
R
C
U
&
I
&
L
I
&
C
I
&
+
_
C
I
&
U
&
L
I
&
1
I
&
2
特点：
并联电容后，原负载的电压和电流不变，
吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
返回 上页 下页并联电容的确定：
21
sinsin III
LC
=
代入 得将
cos
,
cos
12
U
P
I
U
P
I
L
==
)tgtg(
21
ω?==
U
P
CUI
C
)tgtg(
212
ω
=
U
P
C
C
I
&
U
&
L
I
&
1
I
&
2
首先画出相量图，根据三角关系知道：
L
R
C
U
&
I
&
L
I
&
C
I
&
+
_
根据功率关系知道：
12
cos,cos
L
UIPUIP ==
返回 上页 下页从功率角度看,
并联电容后，电源向负载输送的有功 UI
L
cos?
1
=UI cos?
2
不变，但是电源向负载输送的无功
UIsin?
2
<UI
L
sin?
1
减少了，减少的这部分无功由电容,产生,来补偿，使感性负载吸收的无功不变，
而功率因数得到改善。
返回 上页 下页已知,f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos?
1
=0.6，要使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C,并联前后电路的总电流各为多大？
o
11
13.53 6.0cos =?= φφ
例解
o
22
84.25 9.0cos =?= φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
21
2
μ
ω
=?
×
×
=
=
oo
φφ
U
P
C
A8.75
6.0220
1010
cos
3
1
=
×
×
===
U
P
II
L
未并电容时：
A5.50
9.0220
1010
cos
3
2
=
×
×
==
U
P
I
下页上页
L
R
C
U
&
I
&
L
I
&
C
I
&
+
_
返回并联电容后：
若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应增加多少并联电容,此时电路的总电流是多大？
o
22
19.18 95.0cos =?= φφ
解
o
11
84.25 9.0cos =?= φφ
F 103 )8.191tg5.842tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
21
2
μ
ω
=?
×
×
=
=
oo
φφ
U
P
C
A8.47
95.0220
1010
3
=
×
×
=I
cos? 提高后，线路上总电流减少，但继续提高 cos? 所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将 cos? 提高到 0.9即可。
注意返回 上页 下页
9.5 复功率
1,复功率功率,来计算功率，引入“复和为了用相量 IU
&&
VA
*
单位IUS
&&
=
U
&
I
&
负载
+
_
定义：
jsinjcos
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS
iu
+=+=
∠=∠=?∠=
也可表示为：
XIRIX)I(RZIIIZIUS
2222**
jj +=+==?==
&&&&
)(or
*2****
YUYUUYUUIUS =?===
&&&&
下页上页返回
.守恒 视在功率复功率守恒,不
2121
SSSUUU +≠∴+≠Q
结论
S
① 是 复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；
=
=
∑
∑
=
=
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
0)j(
11
∑∑
==
==+
b
k
k
b
k
kk
SQP
注意把 P,Q,S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；
S
d
复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即
e
返回 上页 下页求电路各支路的复功率例
+
_
U
&
10
∠
0
o
A
10?
j25?
5
-
j15
1
I
&
2
I
&
解 1
)15j5//()25j10(?+=Z
V)1.37(236 010
oo
∠=×∠= ZU
&
VA 1424j1882010)1.37(236
oo
=∠×?∠=
发
S
VA 1920j768)
25j10
1
(236
*2
*
1
2
1
+=
+
== YUS
吸
VA 3345j1113
*
2
2
2
== YUS
吸发吸吸
SSS =+
21
返回 上页 下页
9.6 最大功率传输
Z
i
= R
i
+ jX
i
,Z
L
= R
L
+ jX
L
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
U
I
ZZ
U
I
+++
=
+
=
2
Li
2
Li
2
SL
2
L
)()(
XXRR
UR
IRP
+++
==有功功率负载有源网络等效电路
S
U
Z
L
Z
i
I
&
+
-
返回 上页 下页正弦电路中负载获得最大功率 P
max
的条件讨论
2
Li
2
SL
)( RR
UR
P
+
=
①若 Z
L
= R
L
+ jX
L
可任意改变
i
2
S
max
4R
P =
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
UR
P
+++
=
a)先设 R
L
不变,X
L
改变显然，当 X
i
+ X
L
=0,即 X
L
=-X
i
时,P 获得最大值。
b)再讨论 R
L
改变时,P 的最大值下页上页当 R
L
= R
i
时,P 获得最大值
Z
L
= Z
i
*
最佳匹配条件
R
L
= R
i
X
L
=-X
i
返回
②若 Z
L
= R
L
+ jX
L
只允许 X
L
改变获得最大功率的条件是,X
i
+ X
L
=0,即 X
L
=-X
i
2
Li
2
SL
max
)( RR
UR
P
+
=
最大功率为
③若 Z
L
= R
L
为纯电阻负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
U
I
RZ
U
I
++
=
+
=
电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
UR
P
++
=
iiiL
L
ZXRR
R
P
=+=?=
22
0
d
d
,获得最大功率条件令模匹配下页上页返回电路如图，求：1,R
L
=5?时其消耗的功率；
2,R
L
=?能获得最大功率，并求最大功率；
3.在 R
L
两端并联一电容，问 R
L
和 C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。
A)6.26(89.0
55j5
010
1,
o
o
∠=
++
∠
=I
&
例解
+=
××+=+=
5j5
105010j5j
65
Li
XRZ
W4589.0
22
=×==
LL
RIP
+
_
U
&
10∠ 0
o
V
50μΗ
R
L
5?
I
&
ω =10
5
rad/s
获最大功率当 07.755,2
2222
==+=＋
iiL
XRR
返回 上页 下页
A)5.22(766.0
07.75j5
010
o
o
∠=
++
∠
=I
&
W15.407.7766.0
22
=×==
LL
RIP
下页上页
+
_
10∠ 0
o
V
50μΗ
R
L
5?
I
&
C
R
Y
L
j
1
3,ω+=
+
_
10∠ 0
o
V
50μΗ
R
L
5?
I
&
C
2
2
2
L
)(1
j
)(1j1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
CR
R
Y
Z
ω
ω
ωω +
+
=
+
==
=
+
=
+
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
ω
ω
ω
当获最大功率
1
10
=
=
FC
R
L
μ
A1
10
010
o
=
∠
=I
&
W551
2
max
=×==
i
RIP
返回
