第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析动态电路的方程及其初始条件
7.1
一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7.7
一阶电路的零输入响应
7.2
一阶电路和二阶电路的冲激响应
7.8*
一阶电路的零状态响应
7.3
卷积积分
7.9*
一阶电路的全响应
7.4
状态方程
7.10*
二阶电路的零输入响应
7.5
二阶电路的零状态响应和全响应
7.6
动态电路时域分析中的几个问题
7.11*
首页本章重点
2.一阶的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；（计算题，12分左右）
z 重点
1.动态电路方程的建立及初始条件的确定
（选择题）；
3.一阶的阶跃响应概念及求解。（填空题）
返回
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1,动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
返回 下页上页例电阻电路
0
t
i
2
/ RUi
S
=
)(
21
RRUi
S
+=
+
-
u
s
R
1
R
2
（ t = 0）
i
过渡期为零返回 下页上页电容电路
(t → ∞)
+
–
u
CU
s
R
C
i
+
-
k
+
–
u
CU
s
R
C
i
(t = 0)
+
-
i = 0,u
C
= U
s
i = 0,u
C
= 0
k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：
k未动作前，电路处于稳定状态：
下页上页前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态
t
1
U
S
u
c
t
0
i
R
U
S
有一过渡期返回电感电路
(t → ∞)
+
–
u
LU
s
R
i
+
-
k
+
–
u
LU
s
R
i
(t = 0)
+
-
L
u
L
= 0,i=U
s
/R
i = 0,u
L
= 0
k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：
k未动作前，电路处于稳定状态：
前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态
t
1
U
S
/R
i
t
0
u
L
S
U
有一过渡期返回 下页上页
(t → ∞)
+
–
u
LU
s
R
i
+
-
k
(t → ∞)
+
–
u
L
下页上页
k未动作前，电路处于稳定状态：
u
L
= 0,i=U
s
/R
k断开瞬间
i = 0,u
L
= ∞
工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。
注意
U
s
R
i
+
k
-
返回电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L,C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
t
w
p
= ∞?p0t
下页上页返回
2,动态电路的方程
)(
d
d
SC
C
tuu
t
u
RC =+
应用 KVL和电容的 VCR得：
若以电流为变量：
)(d
1
S
tuti
C
Ri =+
∫
(t >0)
+
–
u
CU
s
R
C
i
+
-
)(
SC
tuuRi =+
t
u
Ci
d
d
C
=
RC电路例
t
tu
C
i
t
i
R
d
)(d
d
d
S
=+
返回 下页上页
RL电路
)(
SL
tuuRi =+
)(
d
d
S
tu
t
i
LRi =+
应用 KVL和电感的 VCR得,
t
i
Lu
d
d
L
=
若以电感电压为变量,)(d
SLL
tuutu
L
R
=+
∫
(t >0)
+
–
u
L
U
s
R
i
+
-
t
tu
t
u
u
L
R
d
)(d
d
d
SL
L
=+
返回 下页上页一阶电路有源电阻电路一个动态元件结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。
返回 下页上页
)(
d
d
d
d
SC
C
2
C
2
tuu
t
u
RC
t
u
LC =++
)(
SC
tuuuRi
L
=++
二阶电路
t
u
Ci
d
d
C
=
2
C
2
d
d
d
d
t
u
LC
t
i
Lu
L
==
(t >0)
+
–
u
L
U
s
R
i
+
-
C
u
C
＋－
RLC电路应用 KVL和元件的 VCR得,
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。
返回 下页上页一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。
①描述动态电路的电路方程为微分方程；
②动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。
0)(
d
d
01
≥=+ ttexa
t
x
a
0)(
d
d
d
d
01
2
2
2
≥=++ ttexa
t
x
a
t
x
a
二阶电路 二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。
下页上页结论返回电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。
高阶电路
0)(
d
d
d
d
d
d
01
1
1
1
≥=++++
ttexa
t
x
a
t
x
a
t
x
a
n
n
n
n
n
n
L
动态电路的分析方法
①根据 KVL,KCL和 VCR建立微分方程；
下页上页返回
②求解微分方程复频域分析法时域分析法经典法状态变量法数值法卷积积分本章采用拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
下页上页返回
3.电路的初始条件认为换路在 t=0时刻进行
① t = 0
＋
与 t = 0
－
的概念
0
－
换路前一瞬间
0
＋
换路后一瞬间
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
<
→
=
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
>
→
+
=
初始条件为 t = 0
＋
时 u,i 及其各阶导数的值。
注意
0
f(t)
)0()0(
+?
= ff
0
－
0
＋
)0()0(
+?
≠ ff
t
返回 下页上页图示为电容放电电路，电容原先带有电压 U
o
,求开关闭合后电容电压随时间的变化。
例解
0
d
d
=+
c
c
u
t
u
RC
)0( 0 ≥=+ tuRi
c
特征根方程：
01=+RCp
RCp 1?=
通解：
o
Uk =
RC
t
pt
c
keketu
==)(
代入初始条件得：
RC
t
oc
eUtu
=)(
R
－
+
C
i
u
C
(t=0)
在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
下页上页明确返回
i
u
c
C
+
-
②电容的初始条件
ξξ d)(
1
)(
∫
∞?
=
t
C
i
C
tu
ξξξξ d)(
1
d)(
1
0
0
∫∫
+=
∞?
t
i
C
i
C
ξξ d)(
1
)0(
0
∫
+=
t
C
i
C
u
ξξ d)(
1
)0()0(
0
0
∫
+
+=
+
i
C
uu
CC
0
t = 0
+
时刻当 i(ξ)为有限值时返回 下页上页
u
C
(0
+
) = u
C
(0
－
)
q (0
+
) = q (0
－
)
电荷守恒q=C u
C
结论换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
返回 下页上页
i
L
u
L
+
-
③电感的初始条件
ξξ d)(
1
)(
∫
∞?
=
t
L
u
L
ti
ξξξξ d))(
1
d)(
1
0
0
∫∫
+=
∞?
t
u
L
u
L
ξξ d)(
1
)0()0(
0
0
∫
+
+
+= u
L
ii
LL
t = 0
+
时刻
0
ξξ d)(
1
)0(
0
∫
+=
t
L
u
L
i
当 u为有限值时返回 下页上页
ψ
L
(0
＋
)= ψ
L
(0
－
)
i
L
(0
＋
)= i
L
(0
－
)
磁链守恒
L
Li=ψ
结论换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
返回 下页上页
ψ
L
(0
+
)= ψ
L
(0
－
)
i
L
(0
+
)= i
L
(0
－
)
q
c
(0
+
) = q
c
(0
－
)
u
C
(0
+
) = u
C
(0
－
)
④换路定律
①电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）
换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）
换路前后保持不变。
注意
②换路定律反映了能量不能跃变。
返回 下页上页
(1) 由 0
－
电路求 u
C
(0
－
)
⑤电路初始值的确定
u
C
(0
－
)=8V
(2)由换路定律
u
C
(0
+
) = u
C
(0
－
)=8V
mA2.0
10
810
)0( =
=
+C
i
(3) 由 0
+
等效电路求 i
C
(0
+
)
i
C
(0
－
)=0 i
C
(0
+
)
例 1
求 i
C
(0
+
)
电容开路下页上页
+
-
10V
i
i
C
+
u
C
-S
10k
40k
+
-
10V
+
u
C
-
10k
40k
+
8V
-
0
+
等效电路
+
-
10V
i i
C
10k
电容用电压源替代注意返回
)0()0(
+?
≠
LL
uu
i
L
(0
+
)= i
L
(0
－
) =2A
V842)0(?=×?=
+L
u
例 2
t = 0时闭合开关 k,求 u
L
(0
+
)
①先求
A2
41
10
)0( =
+
=
L
i
②应用换路定律:
电感用电流源替代
)0(
L
i
解电感短路下页上页
i
L
+
u
L
-
L
10V
S
1? 4?
+
-
i
L
10V
1? 4?
+
-
③由 0
+
等效电路求 u
L
(0
+
)
2A
+
u
L
-
10V
1? 4?
+
-
注意返回求初始值的步骤:
小结
1.由换路前电路（稳定状态）求 u
C
(0
－
)和 i
L
(0
－
)；
2.由换路定律得 u
C
(0
+
) 和 i
L
(0
+
)。
3.画 0
+
等效电路。
a,换路后的电路
b,电容（电感）用电压源（电流源）替代。
（取 0
+
时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。
4.由 0
+
电路求所需各变量的 0
+
值。
返回 下页上页采用,808”公式分析一阶电路的数学原理一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：
τ
t
eAtftf
+
′
= )()(
cbf
t
f
a =+
d
d
其解答一般形式为：
特解
Atff +
′
=
+
+ 0
)()0(
+
′
=
+ 0
)()0( tffA
令 t = 0
+
返回 上页 下页
τ
t
efftftf
++
′
+
′
= )]0()0([)()(
直流激励时,)()0()( ∞=
′
=
′
+
fftf
τ
t
effftf
+
∞?+∞= )]()0([)()(
A
∞
+
时间常数初始值稳态解三要素
f
f
τ
)0(
)(
分析一阶电路问题转为求解电路的 808（三要素）的问题。
用 t→ ∞的稳态电路求解用 0
+
等效电路求解注意返回 上页 下页
7.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。
零输入响应
1.RC电路的零输入响应已知 u
C
(0
－
)=U
0
i
S(t=0)
+
–
u
R
C
+
–
u
C R
0=+?
CR
uu
t
u
Ci
C
d
d
=
u
R
= Ri
返回 下页上页
0
)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
=
=+
+
RC
p
1
=
特征根特征方程
RCp+1=0
t
RC
eA
1
=
pt
C
eAu =
则
i
S(t=0)
+
–
u
R
C
+
–
u
C R
代入初始值 u
C
(0
+
)=u
C
(0
－
)=U
0
A=U
0
返回 下页上页
0
0
≥=
teUu
RC
t
c
0
0
0
≥===
teIe
R
U
R
u
i
RC
t
RC
t
C
RC
t
RC
t
C
e
R
U
RC
eCU
t
u
Ci
==?=
0
0
)
1
(
d
d
或
τ
t
effftf
+
∞?+∞= )]()0([)()(
用,808”看看已知 u
C
(0
－
)=U
0
() 0
C
u ∞ =
0
()
t
ft Ue
τ
=
代入数值得到返回 下页上页表明
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
t
U
0
u
C
0
连续函数
I
0
t
i
0
跃变
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC有关;
令 τ =RC,称 τ为一阶电路的时间常数
[] [ ] [ ][][] [] []秒伏安秒欧伏库欧法欧=
=
=== RCτ
返回 下页上页
τ
11
=?=
RC
p
τ = RC
时间常数 τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
U
0
t
u
c
0 τ小
τ大
τ 大→过渡过程时间长
τ 小→过渡过程时间短下页上页返回注意,这里的R是指从动态元件看进去后一端口的输入电阻（等效电阻），实际上在求稳态的值（,8”
值）经常要用戴维宁定理。
U
0
0.368U
0
0.135U
0
0.05U
0
0.007U
0
t
0 τ 2τ 3τ 5τ
τ
t
c
eUu
=
0
U
0
U
0
e
-1
U
0
e
-2
U
0
e
-3
U
0
e
-5
注意
a,τ,电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。
工程上认为,经过 3τ－ 5τ,过渡过程结束。
返回 下页上页
RC
t
eUu
0C
=
b,时间常数 τ 的几何意义：
t
1
时刻曲线的斜率等于
τ＝ t
2
－ t
1
21
1C
1C
0C
0)(
)(
1
d
d
11
tt
tu
tue
U
t
u
t
t
t
=?=?=
ττ
τ
U
0
t
u
c
0
τ
t
1
t
2
)(368.0)(
1C2C
tutu =
次切距的长度下页上页返回电容不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕.
③能量关系
tRiW
R
d
0
2
∫
∞
=
设 u
C
(0
+
)=U
0
电容放出能量：
2
0
2
1
CU
电阻吸收（消耗）能量：
tRe
R
U
RC
t
d)(
2
0
0
∞
∫
=
2
0
2
1
CU=
te
R
U
RC
t
d
2
0
2
0
∞
∫
=
∞
=
0
2
2
0
|)
2
(
RC
t
e
RC
R
U
u
C
R
+
－
C
返回 下页上页例 1
图示电路中的电容原充有 24V电压，求 k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
i
3
S
3?
+
u
C
2?
6?
5F
－
i
2
i
1
+
u
C
4?
5F
－
i
1
t >0
等效电路解这是一个求一阶 RC 零输入响应问题，有：
0
0C
≥=
teUu
RC
t
s 2045 V 24
0
=×=== RCU τ
返回 下页上页
i
3
S
3?
+
u
C
2?
6?
5F
－
i
2
i
1
+
u
C 4?
5F
－
i
1
0 V24
20
≥=
teu
t
c
分流得：
A64
20
1
t
C
eui
==
A4
3
2
20
12
t
eii
==
A2
3
1
20
13
t
eii
==
返回 下页上页
2,RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0
L
R
p?=
特征根
0
1
)0()0( I
RR
U
ii
S
LL
=
+
==
+
00
d
d
L
L
≥=+ tRi
t
i
L
pt
Aeti =)(
L
A= i
L
(0
+
)= I
0
t >0
i
L
S(t=0)
U
S
L
+
–
u
L
R
R
1
+
-
i
L
+
–
u
L
R
代入初始值
0)(
00L
≥==
teIeIti
t
L
R
pt
返回 下页上页
RL
t
L
L
eRI
t
i
Ltu
/
0
)(
==
d
d
0)(
/
0
≥=
teIti
RL
t
L
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
表明
i
L
+
–
u
L
R
返回 下页上页
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R有关;
令 称 为一阶 RL电路时间常数
τ = L/R
][][][][][][秒欧安秒伏欧安韦欧亨
=
=
===
R
L
τ
时间常数 τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
τ 大→过渡过程时间长 τ 小→过渡过程时间短返回 下页上页电感不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕。
③能量关系
tRiW
R
d
∫
∞
=
0
2
设 i
L
(0
+
)=I
0
电感放出能量：
2
0
2
1
LI
电阻吸收（消耗）能量：
tReI
RL
t
d
2
/
0
0
)(
∞
∫
=
i
L
+
–
u
L
R
2
0
2
1
LI=
teRI
RL
t
d
/
2
0
2
0
∞
∫
=
∞
=
0
2
2
0
|)
2
/
(
RC
t
e
RL
RI
返回 下页上页
t=0时,开关 S由 1→ 2，求电感电压和电流及开关两端电压 u
12
。
例 2
i
+
–
u
L
6?
6H
t >0
i
L
S(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?
+
－
u
L
2?
1
2
解
A2
63
6
6//324
24
)0()0( =
+
×
++
==
+ LL
ii
s1
6
6
===
R
L
τ
66//)42(3 =++=R
返回 下页上页
t >0
i
L
S(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?
+
－
u
L
2?
1
2
i
+
–
u
L
6?
6H
0 V12A 2
≥?===
te
t
i
Luei
t
L
L
t
L
d
d
V424
2
424
12
t
L
e
i
u
+=×+=
返回 下页上页
②衰减快慢取决于时间常数 τ
小结
τ = R C τ = L/R
RC
电路
RL
电路
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
③同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
④一阶电路的零输入响应和初始值成正比，
称为零输入线性（类似齐性定理）。
返回 下页上页
i
S(t=0)
U
S
+–
u
R
C
+
–
u
C
R
u
C
(0
－
)=0
+
–
τ
t
effftf
+
∞?+∞= )]()0([)()(
(0 ) 0,( )
cCs
uuU
+
用,808”来做
= ∞=
已知 u
C
(0
－
)=0,可求得
() (1 )
t
s
fU U e
τ
=?
代入数值得到
RCτ =
而
)0( )1(
S
SSC
≥?=?=
teUeUUu
RC
t
RC
t
RC
t
e
R
U
t
u
Ci
==
SC
d
d
从以上式子可以得出：
7.3 一阶电路的零状态响应动态元件初始能量为零，由 t >0电路中外加激励作用所产生的响应。
零状态响应
SC
C
d
d
Uu
t
u
RC =+
方程：
解答形式为：
CCC
uuu
′′
+
′
=
1.RC电路的零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页
i
S(t=0)
U
S
+–
u
R
C
+
–
u
C
R
u
C
(0
－
)=0
+
–
非齐次线性常微分方程返回特解（强制分量）
C
u
′
SC
C
d
d
Uu
t
u
RC =+
的特解
SC
Uu =
′
与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解通解（自由分量，暂态分量）
C
u
′′
RC
t
Aeu
=
′′
C
的通解
0
d
d
C
C
=+u
t
u
RC
变化规律由电路参数和结构决定由初始条件 u
C
(0
+
)=0 定积分常数 A
下页上页返回
)0( )1(
S
SSC
≥?=?=
teUeUUu
RC
t
RC
t
表明
①电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：
+
稳态分量（强制分量） 暂态分量（自由分量）
-U
S
u
C
‘
u
C
“
U
S
t
u
C
0
t
i
R
U
S
0
跃变连续函数返回 下页上页
②响应变化的快慢，由时间常数 τ＝ RC决定； τ 大，
充电慢,τ 小充电就快。
③响应与外加激励成线性关系；
④能量关系
2
S
2
1
CU电容储存能量：
电源提供能量：
2
SS
0
S
d CUqUtiU ==
∫
∞
2
S
2
1
CU=
电阻消耗能量：
tR
R
U
tRi
RC
t
e d)(d
2
0
S
0
2
∫∫
∞∞
=
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
下页上页表明
R
C
+
-
U
S
返回
2,RL电路的零状态响应
SL
L
UiR
t
i
L =+
d
d
)1(
S
L
t
L
R
e
R
U
i
=
已知 i
L
(0
－
)=0，电路方程为：
LLL
iii
′′
+
′
=
t
i
L
R
U
S
0
R
U
i
S
L
A0)0(?=→=
+
t
L
R
Ae
R
U
+=
S
i
L
S(t=0)
U
S
+–
u
R
L
+
–
u
L
R
+
—
返回 下页上页
i
L
S(t=0)
U
S
+–
u
R
L
+
–
u
L
R
+
—
)1(
S
L
t
L
R
e
R
U
i
=
u
L
U
S
t
0
t
L
R
eU
t
i
Lu
==
S
L
L
d
d
返回 下页上页例 1
t=0时,开关 S打开，求 t >0后 i
L、
u
L
的变化规律。
t > 0
i
L
S
+
–
u
L
2H
R 80?
10A
200
300
i
L
+
–
u
L
2H
10A
R
eq
解这是 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
200300//20080
eq
=+=R
s01.0200/2/
eq
=== RLτ
下页上页
A10)(
L
=∞i
A)1(10)(
100
L
t
eti
=
V200010)(
100100
eqL
tt
eeRtu
=×=
返回
i
S(t=0)
U
S
+–
u
R
C
+
–
u
C
R
u
C
(0
－
)=U
0
在 t=0合上 S，
求电容响应 Uc
τ
t
effftf
+
∞?+∞= )]()0([)()(
已知 u
C
(0
－
)= U
0
,可求得
0
(0 ),( )
cCs
uUuU
+
= ∞=
0
() ( )
t
SS
fU U U U e
τ
=+?
代入数值得到而
RCτ =
用,808”来做
C0
0
()
(1 ) ( 0)
t
SS
tt
S
uU UUe
UeUe t
τ
ττ
=+?
=?+ ≥
7.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
S
d
d
Uu
t
u
RC
C
C
=+
1,全响应全响应以 RC电路为例，电路微分方程：
i
S(t=0)
U
S
+–
u
R
C
+
–
u
C
R
解答为,u
C
(t) = u
C
'
+ u
C
"
特解 u
C
'
= U
S
通解
τ
t
C
Aeu
=
′′
τ = RC
返回 下页上页
u
C
(0
－
)=U
0
由初始值定 A
u
C
(0
+
)=A+U
S
=U
0
∴ A=U
0
- U
S
0)(
0
≥?+=+=
teUUUAeUu
t
SS
t
SC
ττ
强制分量(稳态解)
自由分量(暂态解)
返回 下页上页
2,全响应的两种分解方式
①着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰全响应 = 强制分量(稳态解) +自由分量(暂态解)
u
C
"
-U
S
U
0
暂态解
u
C
'
U
S
稳态解
U
0
u
c
全解
t
u
c
0
返回 下页上页
②着眼于因果关系 便 于叠加计算
0
(1 ) ( 0)
tt
CS
uU e Ue t
ττ
=?+ ≥
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应
S(t=0)
U
S
C
+
–
R
u
C
(0
－
)=U
0
+
S(t=0)
U
S
C
+
–
R
u
C
(0
－
)=U
0
S(t=0)
U
S
C
+
–
R
u
C
(0
－
)= 0
返回 下页上页
)0()1(
0
≥+?=
teUeUu
tt
SC
ττ
零状态响应零输入响应
t
u
c
0
U
S
零状态响应全响应零输入响应
U
0
下页上页返回
t=0 时,开 关 k打开，求 t >0后的 i
L、
u
L。
例 1
解这是 RL电路全响应问题，
有：
s20/112/6.0/ === RLτ
A64/24
)0()0(
==
=
+?
LL
ii
A6)(
20 t
L
eti
=
′
零输入响应：
A)1(
12
24
)(
20 t
L
eti
=
″
零状态响应：
i
LS(t=0)
+
–
24V
0.6H
4?
+
－
u
L
8?
A42)1(26)(
202020 ttt
L
eeeti
+=?+=
全响应：
返回 上页 下页或求出稳态分量：
A212/24)( ==∞
L
i
全响应：
A2)(
20 t
L
Aeti
+=
6＝ 2＋ A A=4
代入初值有：
返回 上页 下页
V2)0()0( ==
+ CC
uu
V667.01)1//2()( =×=∞
C
u s23
3
2
eq
=×== CRτ
例 2
已知,t=0 时合开关，求换路后的 u
C
(t)
解
t
u
c
2
(V)
0.667
0
τ
t
C
euuutu
+
∞?+∞= )]()0([)()(
CCC
1A
2?
1?
3F
+
-
u
C
033.1667.0)667.02(667.0
5.05.0
≥+=?+=
t eeu
tt
C
返回 上页 下页已知,t=0时开关由 1→ 2,求换路后的 u
C
(t)
例 2
解
808：
2A
4?
1?
0.1F
+
u
C
－
+
－
4?
i
1
2i
1
8V
+
－
1
2
4?
+
－
4?
i
1
2i
1
u
+
－
V8)0()0(?==
+ CC
uu
V12624)(
111
==+=∞ iiiu
C
10/10
11
==→= iuRiu
eq
返回 上页 下页
τ
t
euuutu
+
∞?+∞= )]()0([)()(
CCCC
V2012]128[12)(
C
tt
eetu
=+=
s11.010
eq
=×== CRτ
返回 上页 下页
7.5 二阶电路的零输入响应
u
C
(0
+
)=U
0
i(0
+
)=0
0
2
=++
C
CC
u
t
u
RC
t
u
LC
d
d
d
d
1,二阶电路的零输入响应电路方程：
0
R
L
C
+
-
i
u
c
已知：
=?+
CL
uuRi
C
L
u i
iC u L
tt
==
d d
dd
以电容电压为变量：
0
2
=++ i
t
i
RC
t
i
LC
d
d
d
d
以电感电流为变量：
返回 上页 下页以电容电压为变量时的初始条件：
u
C
(0
+
)=U
0
i(0
+
)=0
0
0
=
+
=t
C
t
u
d
d
0
2
=++
C
CC
u
t
u
RC
t
u
LC
d
d
d
d
电路方程：
01
2
=++ RCPLCP
特征方程：
L
CLRR
P
2
/4
2
±?
=
LCL
R
L
R 1
)
2
(
2
2
±?=
特征根：
返回 上页 下页
L
CLRR
P
2
/4
2
±?
=
LCL
R
L
R 1
)
2
(
2
2
±?=
特征根：
2,零状态响应的三种情况二个不等负实根 2
C
L
R >
二个相等负实根 2
C
L
R =
二个共轭复根 2
C
L
R <
下页上页返回最后根据微分方程解的形式确定响应解的形式。
7.7 一阶电路的阶跃响应
1,单位阶跃函数
t
ε (t)
0
1
>
<
=
)0(1
)0(0
)(
t
t
tε
z 定义
z 单位阶跃函数的延迟
t
ε (t-t
0
)
t
0
0
1
>
<
=?
)(1
)(0
)(
0
0
0
tt
tt
ttε
返回 上页 下页
z 单位阶跃函数的作用
t = 0 合闸 u(t) = E
)(tε①在电路中模拟开关的动作
S
U
S
u(t)
)(
S
tU ε
u(t)
t = 0 合闸 i(t) = I
s
)(tε
I
s
)(ti
k
)(tI
S
ε
u(t)
返回 上页 下页
②起始一个函数
t
f (t)
0
)()sin(
00
tttt ε
t
0
③延迟一个函数下页上页
t
f(t)
0 t
0
)()sin( tt ε
)
0
ttt?
返回
z 用单位阶跃函数表示复杂的信号
)()()(
0
ttttf= εε
ε(t)
t
f(t)
1
0
1
t
0
t
f(t)
0
t
0
-ε (t-t
0
)
例 1
例 2
)4()3()1(2)(= ttttf εεε
1
t
1
f(t)
0
2
43
返回 上页 下页
1
t
1
f(t)
0
2
43
)4()3(
)1()()(
+=
tt
tttf
εε
εε
例 3
返回 上页 下页
2,一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。
阶跃响应
i
C
+
–
u
C
R
u
C
(0
－
)=0
)(tε
)( )1()(
tetu
RC
t
C
ε
=
)(
1
)(
te
R
ti
RC
t
ε
=
返回 上页 下页假如激励在 t = t
0
时加入，
则响应从 t =t
0
开始。
t
i
C
0
t- t
0
ε
RC
C
e
R
i
1
= ( t - t
0
)
)(
1
0
tte
R
RC
ε
- t
不要写为：
i
C
ε (t -t
0
)
C
+
–
u
C
R
R
1
t
0
注意返回 上页 下页求图示电路中电流 i
C
(t）例
)5.0(10)(10= ttu
S
εε
10k
10k
u
s
+
-
i
c
100
μ
F
u
C
(0
－
)=0
0.5
10
t(s)
u
s
(V)
0
5k
0.5u
s
+
-
i
c
100
μ
F
u
C
(0
－
)=0
等效返回 上页 下页
)5.0(10)(10= ttu
S
εε
应用叠加定理
10 ( )tε
5k+
-
i
c
100
μ
F
10 ( 0.5)tε
5k+
-
i
c
100
μ
F
阶跃响应为：
s5.010510100
36
=×××==
RCτ
)(tε
5k+
-
i
c
100
μ
F
mA )(
5
1
d
d
2
C
te
t
u
Ci
t
C
ε
==
)( )1()(
2t
tetu
C
ε
=
返回 上页 下页由齐次性和叠加性得实际响应为：
22(0.5)
11
10[ ( ) ( 0.5)]
55
tt
C
ietetεε
=
22(0.5)
2[ ( ) ( 0.5)] mA
tt
ete tεε
=
返回 上页 下页
7.1
一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7.7
一阶电路的零输入响应
7.2
一阶电路和二阶电路的冲激响应
7.8*
一阶电路的零状态响应
7.3
卷积积分
7.9*
一阶电路的全响应
7.4
状态方程
7.10*
二阶电路的零输入响应
7.5
二阶电路的零状态响应和全响应
7.6
动态电路时域分析中的几个问题
7.11*
首页本章重点
2.一阶的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；（计算题，12分左右）
z 重点
1.动态电路方程的建立及初始条件的确定
（选择题）；
3.一阶的阶跃响应概念及求解。（填空题）
返回
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1,动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
返回 下页上页例电阻电路
0
t
i
2
/ RUi
S
=
)(
21
RRUi
S
+=
+
-
u
s
R
1
R
2
（ t = 0）
i
过渡期为零返回 下页上页电容电路
(t → ∞)
+
–
u
CU
s
R
C
i
+
-
k
+
–
u
CU
s
R
C
i
(t = 0)
+
-
i = 0,u
C
= U
s
i = 0,u
C
= 0
k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：
k未动作前，电路处于稳定状态：
下页上页前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态
t
1
U
S
u
c
t
0
i
R
U
S
有一过渡期返回电感电路
(t → ∞)
+
–
u
LU
s
R
i
+
-
k
+
–
u
LU
s
R
i
(t = 0)
+
-
L
u
L
= 0,i=U
s
/R
i = 0,u
L
= 0
k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：
k未动作前，电路处于稳定状态：
前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态
t
1
U
S
/R
i
t
0
u
L
S
U
有一过渡期返回 下页上页
(t → ∞)
+
–
u
LU
s
R
i
+
-
k
(t → ∞)
+
–
u
L
下页上页
k未动作前，电路处于稳定状态：
u
L
= 0,i=U
s
/R
k断开瞬间
i = 0,u
L
= ∞
工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。
注意
U
s
R
i
+
k
-
返回电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L,C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
t
w
p
= ∞?p0t
下页上页返回
2,动态电路的方程
)(
d
d
SC
C
tuu
t
u
RC =+
应用 KVL和电容的 VCR得：
若以电流为变量：
)(d
1
S
tuti
C
Ri =+
∫
(t >0)
+
–
u
CU
s
R
C
i
+
-
)(
SC
tuuRi =+
t
u
Ci
d
d
C
=
RC电路例
t
tu
C
i
t
i
R
d
)(d
d
d
S
=+
返回 下页上页
RL电路
)(
SL
tuuRi =+
)(
d
d
S
tu
t
i
LRi =+
应用 KVL和电感的 VCR得,
t
i
Lu
d
d
L
=
若以电感电压为变量,)(d
SLL
tuutu
L
R
=+
∫
(t >0)
+
–
u
L
U
s
R
i
+
-
t
tu
t
u
u
L
R
d
)(d
d
d
SL
L
=+
返回 下页上页一阶电路有源电阻电路一个动态元件结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。
返回 下页上页
)(
d
d
d
d
SC
C
2
C
2
tuu
t
u
RC
t
u
LC =++
)(
SC
tuuuRi
L
=++
二阶电路
t
u
Ci
d
d
C
=
2
C
2
d
d
d
d
t
u
LC
t
i
Lu
L
==
(t >0)
+
–
u
L
U
s
R
i
+
-
C
u
C
＋－
RLC电路应用 KVL和元件的 VCR得,
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。
返回 下页上页一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。
①描述动态电路的电路方程为微分方程；
②动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。
0)(
d
d
01
≥=+ ttexa
t
x
a
0)(
d
d
d
d
01
2
2
2
≥=++ ttexa
t
x
a
t
x
a
二阶电路 二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。
下页上页结论返回电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。
高阶电路
0)(
d
d
d
d
d
d
01
1
1
1
≥=++++
ttexa
t
x
a
t
x
a
t
x
a
n
n
n
n
n
n
L
动态电路的分析方法
①根据 KVL,KCL和 VCR建立微分方程；
下页上页返回
②求解微分方程复频域分析法时域分析法经典法状态变量法数值法卷积积分本章采用拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
下页上页返回
3.电路的初始条件认为换路在 t=0时刻进行
① t = 0
＋
与 t = 0
－
的概念
0
－
换路前一瞬间
0
＋
换路后一瞬间
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
<
→
=
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
>
→
+
=
初始条件为 t = 0
＋
时 u,i 及其各阶导数的值。
注意
0
f(t)
)0()0(
+?
= ff
0
－
0
＋
)0()0(
+?
≠ ff
t
返回 下页上页图示为电容放电电路，电容原先带有电压 U
o
,求开关闭合后电容电压随时间的变化。
例解
0
d
d
=+
c
c
u
t
u
RC
)0( 0 ≥=+ tuRi
c
特征根方程：
01=+RCp
RCp 1?=
通解：
o
Uk =
RC
t
pt
c
keketu
==)(
代入初始条件得：
RC
t
oc
eUtu
=)(
R
－
+
C
i
u
C
(t=0)
在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
下页上页明确返回
i
u
c
C
+
-
②电容的初始条件
ξξ d)(
1
)(
∫
∞?
=
t
C
i
C
tu
ξξξξ d)(
1
d)(
1
0
0
∫∫
+=
∞?
t
i
C
i
C
ξξ d)(
1
)0(
0
∫
+=
t
C
i
C
u
ξξ d)(
1
)0()0(
0
0
∫
+
+=
+
i
C
uu
CC
0
t = 0
+
时刻当 i(ξ)为有限值时返回 下页上页
u
C
(0
+
) = u
C
(0
－
)
q (0
+
) = q (0
－
)
电荷守恒q=C u
C
结论换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
返回 下页上页
i
L
u
L
+
-
③电感的初始条件
ξξ d)(
1
)(
∫
∞?
=
t
L
u
L
ti
ξξξξ d))(
1
d)(
1
0
0
∫∫
+=
∞?
t
u
L
u
L
ξξ d)(
1
)0()0(
0
0
∫
+
+
+= u
L
ii
LL
t = 0
+
时刻
0
ξξ d)(
1
)0(
0
∫
+=
t
L
u
L
i
当 u为有限值时返回 下页上页
ψ
L
(0
＋
)= ψ
L
(0
－
)
i
L
(0
＋
)= i
L
(0
－
)
磁链守恒
L
Li=ψ
结论换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
返回 下页上页
ψ
L
(0
+
)= ψ
L
(0
－
)
i
L
(0
+
)= i
L
(0
－
)
q
c
(0
+
) = q
c
(0
－
)
u
C
(0
+
) = u
C
(0
－
)
④换路定律
①电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）
换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）
换路前后保持不变。
注意
②换路定律反映了能量不能跃变。
返回 下页上页
(1) 由 0
－
电路求 u
C
(0
－
)
⑤电路初始值的确定
u
C
(0
－
)=8V
(2)由换路定律
u
C
(0
+
) = u
C
(0
－
)=8V
mA2.0
10
810
)0( =
=
+C
i
(3) 由 0
+
等效电路求 i
C
(0
+
)
i
C
(0
－
)=0 i
C
(0
+
)
例 1
求 i
C
(0
+
)
电容开路下页上页
+
-
10V
i
i
C
+
u
C
-S
10k
40k
+
-
10V
+
u
C
-
10k
40k
+
8V
-
0
+
等效电路
+
-
10V
i i
C
10k
电容用电压源替代注意返回
)0()0(
+?
≠
LL
uu
i
L
(0
+
)= i
L
(0
－
) =2A
V842)0(?=×?=
+L
u
例 2
t = 0时闭合开关 k,求 u
L
(0
+
)
①先求
A2
41
10
)0( =
+
=
L
i
②应用换路定律:
电感用电流源替代
)0(
L
i
解电感短路下页上页
i
L
+
u
L
-
L
10V
S
1? 4?
+
-
i
L
10V
1? 4?
+
-
③由 0
+
等效电路求 u
L
(0
+
)
2A
+
u
L
-
10V
1? 4?
+
-
注意返回求初始值的步骤:
小结
1.由换路前电路（稳定状态）求 u
C
(0
－
)和 i
L
(0
－
)；
2.由换路定律得 u
C
(0
+
) 和 i
L
(0
+
)。
3.画 0
+
等效电路。
a,换路后的电路
b,电容（电感）用电压源（电流源）替代。
（取 0
+
时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。
4.由 0
+
电路求所需各变量的 0
+
值。
返回 下页上页采用,808”公式分析一阶电路的数学原理一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：
τ
t
eAtftf
+
′
= )()(
cbf
t
f
a =+
d
d
其解答一般形式为：
特解
Atff +
′
=
+
+ 0
)()0(
+
′
=
+ 0
)()0( tffA
令 t = 0
+
返回 上页 下页
τ
t
efftftf
++
′
+
′
= )]0()0([)()(
直流激励时,)()0()( ∞=
′
=
′
+
fftf
τ
t
effftf
+
∞?+∞= )]()0([)()(
A
∞
+
时间常数初始值稳态解三要素
f
f
τ
)0(
)(
分析一阶电路问题转为求解电路的 808（三要素）的问题。
用 t→ ∞的稳态电路求解用 0
+
等效电路求解注意返回 上页 下页
7.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。
零输入响应
1.RC电路的零输入响应已知 u
C
(0
－
)=U
0
i
S(t=0)
+
–
u
R
C
+
–
u
C R
0=+?
CR
uu
t
u
Ci
C
d
d
=
u
R
= Ri
返回 下页上页
0
)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
=
=+
+
RC
p
1
=
特征根特征方程
RCp+1=0
t
RC
eA
1
=
pt
C
eAu =
则
i
S(t=0)
+
–
u
R
C
+
–
u
C R
代入初始值 u
C
(0
+
)=u
C
(0
－
)=U
0
A=U
0
返回 下页上页
0
0
≥=
teUu
RC
t
c
0
0
0
≥===
teIe
R
U
R
u
i
RC
t
RC
t
C
RC
t
RC
t
C
e
R
U
RC
eCU
t
u
Ci
==?=
0
0
)
1
(
d
d
或
τ
t
effftf
+
∞?+∞= )]()0([)()(
用,808”看看已知 u
C
(0
－
)=U
0
() 0
C
u ∞ =
0
()
t
ft Ue
τ
=
代入数值得到返回 下页上页表明
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
t
U
0
u
C
0
连续函数
I
0
t
i
0
跃变
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC有关;
令 τ =RC,称 τ为一阶电路的时间常数
[] [ ] [ ][][] [] []秒伏安秒欧伏库欧法欧=
=
=== RCτ
返回 下页上页
τ
11
=?=
RC
p
τ = RC
时间常数 τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
U
0
t
u
c
0 τ小
τ大
τ 大→过渡过程时间长
τ 小→过渡过程时间短下页上页返回注意,这里的R是指从动态元件看进去后一端口的输入电阻（等效电阻），实际上在求稳态的值（,8”
值）经常要用戴维宁定理。
U
0
0.368U
0
0.135U
0
0.05U
0
0.007U
0
t
0 τ 2τ 3τ 5τ
τ
t
c
eUu
=
0
U
0
U
0
e
-1
U
0
e
-2
U
0
e
-3
U
0
e
-5
注意
a,τ,电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。
工程上认为,经过 3τ－ 5τ,过渡过程结束。
返回 下页上页
RC
t
eUu
0C
=
b,时间常数 τ 的几何意义：
t
1
时刻曲线的斜率等于
τ＝ t
2
－ t
1
21
1C
1C
0C
0)(
)(
1
d
d
11
tt
tu
tue
U
t
u
t
t
t
=?=?=
ττ
τ
U
0
t
u
c
0
τ
t
1
t
2
)(368.0)(
1C2C
tutu =
次切距的长度下页上页返回电容不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕.
③能量关系
tRiW
R
d
0
2
∫
∞
=
设 u
C
(0
+
)=U
0
电容放出能量：
2
0
2
1
CU
电阻吸收（消耗）能量：
tRe
R
U
RC
t
d)(
2
0
0
∞
∫
=
2
0
2
1
CU=
te
R
U
RC
t
d
2
0
2
0
∞
∫
=
∞
=
0
2
2
0
|)
2
(
RC
t
e
RC
R
U
u
C
R
+
－
C
返回 下页上页例 1
图示电路中的电容原充有 24V电压，求 k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
i
3
S
3?
+
u
C
2?
6?
5F
－
i
2
i
1
+
u
C
4?
5F
－
i
1
t >0
等效电路解这是一个求一阶 RC 零输入响应问题，有：
0
0C
≥=
teUu
RC
t
s 2045 V 24
0
=×=== RCU τ
返回 下页上页
i
3
S
3?
+
u
C
2?
6?
5F
－
i
2
i
1
+
u
C 4?
5F
－
i
1
0 V24
20
≥=
teu
t
c
分流得：
A64
20
1
t
C
eui
==
A4
3
2
20
12
t
eii
==
A2
3
1
20
13
t
eii
==
返回 下页上页
2,RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0
L
R
p?=
特征根
0
1
)0()0( I
RR
U
ii
S
LL
=
+
==
+
00
d
d
L
L
≥=+ tRi
t
i
L
pt
Aeti =)(
L
A= i
L
(0
+
)= I
0
t >0
i
L
S(t=0)
U
S
L
+
–
u
L
R
R
1
+
-
i
L
+
–
u
L
R
代入初始值
0)(
00L
≥==
teIeIti
t
L
R
pt
返回 下页上页
RL
t
L
L
eRI
t
i
Ltu
/
0
)(
==
d
d
0)(
/
0
≥=
teIti
RL
t
L
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
表明
i
L
+
–
u
L
R
返回 下页上页
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R有关;
令 称 为一阶 RL电路时间常数
τ = L/R
][][][][][][秒欧安秒伏欧安韦欧亨
=
=
===
R
L
τ
时间常数 τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
τ 大→过渡过程时间长 τ 小→过渡过程时间短返回 下页上页电感不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕。
③能量关系
tRiW
R
d
∫
∞
=
0
2
设 i
L
(0
+
)=I
0
电感放出能量：
2
0
2
1
LI
电阻吸收（消耗）能量：
tReI
RL
t
d
2
/
0
0
)(
∞
∫
=
i
L
+
–
u
L
R
2
0
2
1
LI=
teRI
RL
t
d
/
2
0
2
0
∞
∫
=
∞
=
0
2
2
0
|)
2
/
(
RC
t
e
RL
RI
返回 下页上页
t=0时,开关 S由 1→ 2，求电感电压和电流及开关两端电压 u
12
。
例 2
i
+
–
u
L
6?
6H
t >0
i
L
S(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?
+
－
u
L
2?
1
2
解
A2
63
6
6//324
24
)0()0( =
+
×
++
==
+ LL
ii
s1
6
6
===
R
L
τ
66//)42(3 =++=R
返回 下页上页
t >0
i
L
S(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?
+
－
u
L
2?
1
2
i
+
–
u
L
6?
6H
0 V12A 2
≥?===
te
t
i
Luei
t
L
L
t
L
d
d
V424
2
424
12
t
L
e
i
u
+=×+=
返回 下页上页
②衰减快慢取决于时间常数 τ
小结
τ = R C τ = L/R
RC
电路
RL
电路
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
③同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
④一阶电路的零输入响应和初始值成正比，
称为零输入线性（类似齐性定理）。
返回 下页上页
i
S(t=0)
U
S
+–
u
R
C
+
–
u
C
R
u
C
(0
－
)=0
+
–
τ
t
effftf
+
∞?+∞= )]()0([)()(
(0 ) 0,( )
cCs
uuU
+
用,808”来做
= ∞=
已知 u
C
(0
－
)=0,可求得
() (1 )
t
s
fU U e
τ
=?
代入数值得到
RCτ =
而
)0( )1(
S
SSC
≥?=?=
teUeUUu
RC
t
RC
t
RC
t
e
R
U
t
u
Ci
==
SC
d
d
从以上式子可以得出：
7.3 一阶电路的零状态响应动态元件初始能量为零，由 t >0电路中外加激励作用所产生的响应。
零状态响应
SC
C
d
d
Uu
t
u
RC =+
方程：
解答形式为：
CCC
uuu
′′
+
′
=
1.RC电路的零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页
i
S(t=0)
U
S
+–
u
R
C
+
–
u
C
R
u
C
(0
－
)=0
+
–
非齐次线性常微分方程返回特解（强制分量）
C
u
′
SC
C
d
d
Uu
t
u
RC =+
的特解
SC
Uu =
′
与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解通解（自由分量，暂态分量）
C
u
′′
RC
t
Aeu
=
′′
C
的通解
0
d
d
C
C
=+u
t
u
RC
变化规律由电路参数和结构决定由初始条件 u
C
(0
+
)=0 定积分常数 A
下页上页返回
)0( )1(
S
SSC
≥?=?=
teUeUUu
RC
t
RC
t
表明
①电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：
+
稳态分量（强制分量） 暂态分量（自由分量）
-U
S
u
C
‘
u
C
“
U
S
t
u
C
0
t
i
R
U
S
0
跃变连续函数返回 下页上页
②响应变化的快慢，由时间常数 τ＝ RC决定； τ 大，
充电慢,τ 小充电就快。
③响应与外加激励成线性关系；
④能量关系
2
S
2
1
CU电容储存能量：
电源提供能量：
2
SS
0
S
d CUqUtiU ==
∫
∞
2
S
2
1
CU=
电阻消耗能量：
tR
R
U
tRi
RC
t
e d)(d
2
0
S
0
2
∫∫
∞∞
=
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
下页上页表明
R
C
+
-
U
S
返回
2,RL电路的零状态响应
SL
L
UiR
t
i
L =+
d
d
)1(
S
L
t
L
R
e
R
U
i
=
已知 i
L
(0
－
)=0，电路方程为：
LLL
iii
′′
+
′
=
t
i
L
R
U
S
0
R
U
i
S
L
A0)0(?=→=
+
t
L
R
Ae
R
U
+=
S
i
L
S(t=0)
U
S
+–
u
R
L
+
–
u
L
R
+
—
返回 下页上页
i
L
S(t=0)
U
S
+–
u
R
L
+
–
u
L
R
+
—
)1(
S
L
t
L
R
e
R
U
i
=
u
L
U
S
t
0
t
L
R
eU
t
i
Lu
==
S
L
L
d
d
返回 下页上页例 1
t=0时,开关 S打开，求 t >0后 i
L、
u
L
的变化规律。
t > 0
i
L
S
+
–
u
L
2H
R 80?
10A
200
300
i
L
+
–
u
L
2H
10A
R
eq
解这是 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
200300//20080
eq
=+=R
s01.0200/2/
eq
=== RLτ
下页上页
A10)(
L
=∞i
A)1(10)(
100
L
t
eti
=
V200010)(
100100
eqL
tt
eeRtu
=×=
返回
i
S(t=0)
U
S
+–
u
R
C
+
–
u
C
R
u
C
(0
－
)=U
0
在 t=0合上 S，
求电容响应 Uc
τ
t
effftf
+
∞?+∞= )]()0([)()(
已知 u
C
(0
－
)= U
0
,可求得
0
(0 ),( )
cCs
uUuU
+
= ∞=
0
() ( )
t
SS
fU U U U e
τ
=+?
代入数值得到而
RCτ =
用,808”来做
C0
0
()
(1 ) ( 0)
t
SS
tt
S
uU UUe
UeUe t
τ
ττ
=+?
=?+ ≥
7.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
S
d
d
Uu
t
u
RC
C
C
=+
1,全响应全响应以 RC电路为例，电路微分方程：
i
S(t=0)
U
S
+–
u
R
C
+
–
u
C
R
解答为,u
C
(t) = u
C
'
+ u
C
"
特解 u
C
'
= U
S
通解
τ
t
C
Aeu
=
′′
τ = RC
返回 下页上页
u
C
(0
－
)=U
0
由初始值定 A
u
C
(0
+
)=A+U
S
=U
0
∴ A=U
0
- U
S
0)(
0
≥?+=+=
teUUUAeUu
t
SS
t
SC
ττ
强制分量(稳态解)
自由分量(暂态解)
返回 下页上页
2,全响应的两种分解方式
①着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰全响应 = 强制分量(稳态解) +自由分量(暂态解)
u
C
"
-U
S
U
0
暂态解
u
C
'
U
S
稳态解
U
0
u
c
全解
t
u
c
0
返回 下页上页
②着眼于因果关系 便 于叠加计算
0
(1 ) ( 0)
tt
CS
uU e Ue t
ττ
=?+ ≥
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应
S(t=0)
U
S
C
+
–
R
u
C
(0
－
)=U
0
+
S(t=0)
U
S
C
+
–
R
u
C
(0
－
)=U
0
S(t=0)
U
S
C
+
–
R
u
C
(0
－
)= 0
返回 下页上页
)0()1(
0
≥+?=
teUeUu
tt
SC
ττ
零状态响应零输入响应
t
u
c
0
U
S
零状态响应全响应零输入响应
U
0
下页上页返回
t=0 时,开 关 k打开，求 t >0后的 i
L、
u
L。
例 1
解这是 RL电路全响应问题，
有：
s20/112/6.0/ === RLτ
A64/24
)0()0(
==
=
+?
LL
ii
A6)(
20 t
L
eti
=
′
零输入响应：
A)1(
12
24
)(
20 t
L
eti
=
″
零状态响应：
i
LS(t=0)
+
–
24V
0.6H
4?
+
－
u
L
8?
A42)1(26)(
202020 ttt
L
eeeti
+=?+=
全响应：
返回 上页 下页或求出稳态分量：
A212/24)( ==∞
L
i
全响应：
A2)(
20 t
L
Aeti
+=
6＝ 2＋ A A=4
代入初值有：
返回 上页 下页
V2)0()0( ==
+ CC
uu
V667.01)1//2()( =×=∞
C
u s23
3
2
eq
=×== CRτ
例 2
已知,t=0 时合开关，求换路后的 u
C
(t)
解
t
u
c
2
(V)
0.667
0
τ
t
C
euuutu
+
∞?+∞= )]()0([)()(
CCC
1A
2?
1?
3F
+
-
u
C
033.1667.0)667.02(667.0
5.05.0
≥+=?+=
t eeu
tt
C
返回 上页 下页已知,t=0时开关由 1→ 2,求换路后的 u
C
(t)
例 2
解
808：
2A
4?
1?
0.1F
+
u
C
－
+
－
4?
i
1
2i
1
8V
+
－
1
2
4?
+
－
4?
i
1
2i
1
u
+
－
V8)0()0(?==
+ CC
uu
V12624)(
111
==+=∞ iiiu
C
10/10
11
==→= iuRiu
eq
返回 上页 下页
τ
t
euuutu
+
∞?+∞= )]()0([)()(
CCCC
V2012]128[12)(
C
tt
eetu
=+=
s11.010
eq
=×== CRτ
返回 上页 下页
7.5 二阶电路的零输入响应
u
C
(0
+
)=U
0
i(0
+
)=0
0
2
=++
C
CC
u
t
u
RC
t
u
LC
d
d
d
d
1,二阶电路的零输入响应电路方程：
0
R
L
C
+
-
i
u
c
已知：
=?+
CL
uuRi
C
L
u i
iC u L
tt
==
d d
dd
以电容电压为变量：
0
2
=++ i
t
i
RC
t
i
LC
d
d
d
d
以电感电流为变量：
返回 上页 下页以电容电压为变量时的初始条件：
u
C
(0
+
)=U
0
i(0
+
)=0
0
0
=
+
=t
C
t
u
d
d
0
2
=++
C
CC
u
t
u
RC
t
u
LC
d
d
d
d
电路方程：
01
2
=++ RCPLCP
特征方程：
L
CLRR
P
2
/4
2
±?
=
LCL
R
L
R 1
)
2
(
2
2
±?=
特征根：
返回 上页 下页
L
CLRR
P
2
/4
2
±?
=
LCL
R
L
R 1
)
2
(
2
2
±?=
特征根：
2,零状态响应的三种情况二个不等负实根 2
C
L
R >
二个相等负实根 2
C
L
R =
二个共轭复根 2
C
L
R <
下页上页返回最后根据微分方程解的形式确定响应解的形式。
7.7 一阶电路的阶跃响应
1,单位阶跃函数
t
ε (t)
0
1
>
<
=
)0(1
)0(0
)(
t
t
tε
z 定义
z 单位阶跃函数的延迟
t
ε (t-t
0
)
t
0
0
1
>
<
=?
)(1
)(0
)(
0
0
0
tt
tt
ttε
返回 上页 下页
z 单位阶跃函数的作用
t = 0 合闸 u(t) = E
)(tε①在电路中模拟开关的动作
S
U
S
u(t)
)(
S
tU ε
u(t)
t = 0 合闸 i(t) = I
s
)(tε
I
s
)(ti
k
)(tI
S
ε
u(t)
返回 上页 下页
②起始一个函数
t
f (t)
0
)()sin(
00
tttt ε
t
0
③延迟一个函数下页上页
t
f(t)
0 t
0
)()sin( tt ε
)
0
ttt?
返回
z 用单位阶跃函数表示复杂的信号
)()()(
0
ttttf= εε
ε(t)
t
f(t)
1
0
1
t
0
t
f(t)
0
t
0
-ε (t-t
0
)
例 1
例 2
)4()3()1(2)(= ttttf εεε
1
t
1
f(t)
0
2
43
返回 上页 下页
1
t
1
f(t)
0
2
43
)4()3(
)1()()(
+=
tt
tttf
εε
εε
例 3
返回 上页 下页
2,一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。
阶跃响应
i
C
+
–
u
C
R
u
C
(0
－
)=0
)(tε
)( )1()(
tetu
RC
t
C
ε
=
)(
1
)(
te
R
ti
RC
t
ε
=
返回 上页 下页假如激励在 t = t
0
时加入，
则响应从 t =t
0
开始。
t
i
C
0
t- t
0
ε
RC
C
e
R
i
1
= ( t - t
0
)
)(
1
0
tte
R
RC
ε
- t
不要写为：
i
C
ε (t -t
0
)
C
+
–
u
C
R
R
1
t
0
注意返回 上页 下页求图示电路中电流 i
C
(t）例
)5.0(10)(10= ttu
S
εε
10k
10k
u
s
+
-
i
c
100
μ
F
u
C
(0
－
)=0
0.5
10
t(s)
u
s
(V)
0
5k
0.5u
s
+
-
i
c
100
μ
F
u
C
(0
－
)=0
等效返回 上页 下页
)5.0(10)(10= ttu
S
εε
应用叠加定理
10 ( )tε
5k+
-
i
c
100
μ
F
10 ( 0.5)tε
5k+
-
i
c
100
μ
F
阶跃响应为：
s5.010510100
36
=×××==
RCτ
)(tε
5k+
-
i
c
100
μ
F
mA )(
5
1
d
d
2
C
te
t
u
Ci
t
C
ε
==
)( )1()(
2t
tetu
C
ε
=
返回 上页 下页由齐次性和叠加性得实际响应为：
22(0.5)
11
10[ ( ) ( 0.5)]
55
tt
C
ietetεε
=
22(0.5)
2[ ( ) ( 0.5)] mA
tt
ete tεε
=
返回 上页 下页
