投资学
2006年第 1版张中华 主编课件制作：
中南财经政法大学中国投资研究中心
,投资学,课程组高等教育出版社 2006 版权所有第 6章投资风险与投资组合
6- 2
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有本章内容
投资风险与风险溢价
单一资产收益与风险的计量
投资组合的风险与收益：马科维兹模型
夏普单指数模式：市场模型
以方差测量风险的前提及其检验
6- 3
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券投资风险的界定及类型
什么是无风险证券?
– 无风险证券一般有以下假定
假设其真实收益是事先可以准确预测的，即其收益率是固定的；
不存在违约风险及其它风险（如通胀风险）。
现实中的无风险证券
– 现实中，真正的无风险证券是不存在，几乎所有的证券都存在着不同程度的风险；
– 即使国债，虽然违约风险很小，可以忽略，但也可能存在通货膨风险；
– 在实际中，一般用 短期国债 作为无风险资产的代表。
因为在短期内，通胀风险较小，基本可以忽略。
6- 4
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券投资风险的界定及类型
证券投资风险是指因未来的信息不完全或不确定性而带来经济损失的可能性。
证券投资风险系统性风险,引起市场上所有证券的投资收益发生变动并带来损失可能性的风险,是单个投资者所无法消除的。
非系统性风险,仅引起单项证券投资的收益发生变动并带来损失可能性的风险。 单个投资者通过持有证券的多元化加以消除市场风险利率风险购买力风险政治风险等企业经营风险财务风险流动性风险等
6- 5
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有风险溢价
风险溢价的含义
– 是投资者因承担风险而获得的超额报酬
– 各种证券的风险程度不同，风险溢价也不相同
– 风险收益与风险程度成正比，风险程度越高，风险报酬也越大险收益＋风险溢价证券投资总收益＝无风
6- 6
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产持有期收益率
单一资产持有期收益率的含义
– 指从购入证券之日至售出证券之日所取得的全部收益与投资本金之比。
持有期股息、利息收入证券期初价格证券期末价格持有期收益率
t
t
t
t
t
ttt
t
D
p
p
r
p
Dpp
r
1
1
1
6- 7
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产持有期收益率
持有期收益率案例,
– 投资者张某 2005年 1月 1日以每股 10元的价格购入 A
公司的股票，预期 2006年 1月 1日可以每股 11元的价格出售，当年预期股息为 0.2元。 A公司股票当年的持有期收益率是多少？
%1210 2.01011Ar
6- 8
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一证券期望收益率
单一证券期望收益率的含义
– 由于投资者在购买证券时，并不能确切地知道在持有期末的收益率，因此，持有期末的收益率是一个随机变量。
– 对于一个随机变量，我们关心的是它可能取哪些值及其相应的概率大小。
– 期望收益率 是所有情形下收益的概率加权平均值。
1
i
i
n
ii
i
i
i
hr
h
r
第 种 情 形 发 生 的 概 率
－ 第 种 情 形 下 的 收 益 率
6- 9
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产期望收益率
单一资产期望收益率案例,
– 在上例中,A公司的股票在 1年后上升到 11元，股息为 0.2元，都是预期的。在现实中，未来股票的价格是不确定的，其预期的结果可能在两种以上。
– 例如，我们预期价格为 11元的概率为 50%，上升为
12元的概率为 25%，下降为 8元的概率为 25%。 则 A
股票的预期收益率为多少？
1
0,1 0 0,5 0,2 0 0,2 5 0,2 0 0,2 5
10%
n
ii
i
hr?
6- 10
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产期望收益率
单一资产期望收益率的估计
– 由于证券收益的概率分布较难准确得知，一般用历史收益率的样本均值来代替期望收益率。
1
1() n
i
t
E R R R
n?
6- 11
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产的风险
单一资产风险的衡量
– 为了计量的便利，一般将投资风险定义为投资预期收益的变异性或波动性 (Variability) 。
– 在统计上，投资风险的高低一般用收益率的方差或标准差来度量。
%525.0
%25)10.00 2 0(25.0)10.010.0(50.0)10.020.0(25.0
][
2
222
2
1
2
S
rh i
n
i
i
6- 12
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产的风险
单一资产风险的估计
– 在实际生活中，预测股票可能的收益率，并准确地估计其发生的概率是非常困难的。
– 为了简便，可用历史的收益率为样本，并假定其发生的概率不变，计算样本平均收益率，并以实际收益率与平均收益率相比较，以此确定该证券的风险程度。
n
i
i RRn
1
22 )(
1
1?
公式中用 n-1，旨在消除方差估计中的统计偏差。
6- 13
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产的风险
单一资产风险的估计案例
– 假设 B公司近 3年的收益率分别为 20%,30%
和 -20%。求样本平均收益率和方差。
3
1
3
2
1
2 2 2
11
( 0.2 0.3 0.2 ) 0.1
3
1
()
1
1
[ ( 0.2 0.1 ) ( 0.3 0.1 ) ( 0.2 0.1 ) ]
31
0.07
i
i
i
i
RR
n
RR
n
6- 14
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的收益与风险
背景介绍
– 马科维兹是现代投资组合理论的创始者，他在 1952年发表题为,证券组合选择：投资的有效分散化,的论文，用方差（或标准差）计量投资风险；
– 论述了怎样使投资组合在一定风险水平之下，取得最大可能的预期收益率。
– 他在创立投资组合理论的同时，也用数量化的方法提出了确定最佳投资资产组合的基本模型。这被财务与金融学界看做是现代投资组合理论的起点，并被誉为财务与金融理论的一场革命。
– 1959年，他又出版了同名的著作，进一步系统阐述了他的资产组合理论和方法。
– 马科维兹的资产组合理论奠定了现代投资组合理论的基石，此后，经济学家一直在利用数量方法不断丰富和完善投资组合的理论和方法。
6- 15
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有马科维兹模型
马科维兹模型的假设
– 证券收益具有不确定性
– 证券收益之间具有相关性
– 投资者都遵守主宰原则 (Dominance rule)
– 投资者都是风险的厌恶者
– 证券组合降低风险的程度与组合证券数目相关
6- 16
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的期望收益率
投资组合的期望收益率的计算
– 投资组合的期望收益率是该组合中各种证券期望收益率的加权平均值，权重（ x）等于每一证券初始投资额占投资本金的比例。
－组合中证券的数量的预期收益率证券的投资比例－第投资组合的预期收益率
n
i
中种证券投资价值在组合i
1
i
i
p
n
i
iip
X
X
6- 17
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的期望收益率
案例 1,计算组合的期望收益率证券名称 组合中的股份数 每股初始市价 权重 每股期末期望值 期望收益率
A 100 40 0.2325 46.48 16.2%
B 200 35 0.4070 43.61 24.6%
C 100 62 0.3605 76.14 22.8%
资产组合 1 22%
0,2 3 2 5 1 6,2 % 0,4 0 7 2 4,6 % 0,3 6 0 5 2 2,8 %
22%
p
6- 18
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的期望收益率
权重与卖空
– 组合的权重可以为正值，也可以为负值。负值意味着卖空某种证券。
– 卖空证券与卖出自己拥有的证券并非完全一样
– 卖空通常是指投资者向经纪人（券商）借入一定数量的某种证券事先卖掉，在一定时间后再归还，并支付相应报酬的行为。
A
1
A
AB
x
xx
所 购 买 的 （ 或 卖 空 的 ） 证 券 的 金 额投 资 于 该 资 产 组 合 中 的 自 有 资 金 额
6- 19
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的期望收益率
权重与卖空
– 案例 2,投资者自有资金 1000元，卖空证券 B收入 600元，将
1600元全部用于购买证券 A。假设证券 A的 期望 收益率为 20%，
证券 B的 期望 收益率为 10%。那么，（ 1）组合的权重为多少？
（ 2）则组合的 期望 收益率为多少？
1.6
0.6
1.6 0.2 ( 0.6) 0.1
0.26
A
B
P A A B B
x
x
r x r x r
证明
A 3 2 0 0,2 1 6 0 0
B 6 0 6 0 0 6 6 0
10
2 6 0 1 0 0 0 2 6
买 入 证 券 收 益 为 （ ）
卖 出 证 券 损 失 （ － ）
（ 重 新 购 回 的 成 本,价 格 上 涨 了 ％ ）
整 体 收 益,本 金,收 益 率 ％
6- 20
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合的风险
协方差
– 是衡量两种证券收益在一个共同周期中相互影响的方向和程度。
正的协方差意味着资产收益同向变动
负的协方差意味着资产收益反向变动
– 协方差的大小是无限的，从理论上来说，其变化范围可以从负无穷大到正无穷大。
1
1
(,) [ ( ) ] [ ( ) ]
1
(,) [ ( ) ( ) ]
1
n
A B A B i A i A B i B
i
N
ABA B A B A i B i
i
C o v R R p R E R R E R
C o v R R R R R R
N
6- 21
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合的风险
相关系数
– 根据相关系数的大小，可以判定 A,B两证券收益之间的关联强度。
AB
AB
AB
6- 22
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合的风险
投资组合的方差（风险）
– 要计算投资组合的方差，必须先知道该投资组合中所有证券之间的协方差。例如证券 A,B,C的协方差矩阵如下,A A B A C A
_______________________________________
S e c A B C
_______________________________________
A C ov ( r,r ) C ov ( r,r ) C ov ( r,r )
A B B B C B
A C B C C C
2
A A A A B B
B C ov ( r,r ) C ov ( r,r ) C ov ( r,r )
C C ov ( r,r ) C ov ( r,r ) C ov ( r,r )
_______________________________________
C ov ( r,r ) = σ ( r ) C ov ( r,r ) =C ov ( r,r
A
)
6- 23
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合的风险
投资组合的方差（风险）
– 要计算投资组合的方差，还必须知道该投资组合中每一证券的权重，并对协方差矩阵中的元素进行估计，
按以下方式建立一个新的矩阵：
A B C
________________________________________ ____
x x x
Se c A B C
____
2
A A B A C A
2
B A B B C B
C A C
________________________________________
x A ( r ) C o v ( r,r ) Cov ( r,r )
x B Co v ( r,r ) ( r ) Cov ( r,r )
x C Co v ( r,r )
2
B C C
Cov ( r,r ) ( r )
________________________________________ ____
组合方差的计算方法：
将矩阵中每一个协方差称以其所在行和列的组合权重，然后将所有的乘积加总。
6- 24
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的风险
投资组合的方差（风险）
思考：如何证明证券 A,B的方差？
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 2 (,)
2 (,) 2 (,)
:
( ) ( ) (,)
P A A B B C C A B A B
A C A C B C B C
N N N
P i i i j i j
i i j
ij
r x r x r x r x x C ov r r
x x C ov r r x x C ov r r
n
r x r x x C ov r r
如 果 是 种 股 票
2 2 2 2 2P A B(r ) (r ) (r ) 2 (,)A B A B A Bx x x x C o v r r
6- 25
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的风险
影响投资组合风险的因素
– 投资组合中个别证券风险的大小
– 投资组合中各证券之间的相关系数
– 证券投资比例的大小假定投资组合中各成分证券的标准差及权重一定，
投资组合风险的高低就取决于成分证券间的相关系数。
成份证券相关系数越大，投资组合的相关度高，风险也越大；相反，相关系数小，投资组合的相关度低，风险也就小。
6- 26
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合数量与资产组合的风险
投资组合具有降低非系统性风险的功能，但风险降低的极限为分散掉全部非系统性风险，而系统性风险是无法通过投资组合加以回避的。
6- 27
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有有效组合与有效边界
有效边界,所有有效组合的集合。在解析几何上，
效率边界为投资组合在各种既定风险水平下，各预期收益率最大的投资组合所连成的轨迹。
有效组合,按主宰法则决定的投资组合。即在同一风险水平下，预期收益率高的投资组合；或在同一收益率水平，风险水平越低的组合。
6- 28
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
pr
_
p?
0
有效边界
MV
可行域
有效组合与有效边界
6- 29
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资者最佳组合点的选择
投资者如何在有效组合中进行选择呢？
– 这取决于他们的投资收益与风险的偏好。
– 投资者的收益与风险偏好可用无差异曲线来描述。
– 所谓无差异是指一个相对较高的收益必然伴随着较高的风险，而一个相对较低的收益却只承受较低的风险，
这对投资者的效用是相等的。
– 将具有相同效用的投资收益与投资风险的组合集合在一起便可以画出一条无差异曲线。
6- 30
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资者最佳组合点的选择
对于不同的投资来说,无差异曲线的斜率是不同的,这取决于投资对收益与风险的态度 。 高度的风险厌恶者无差异曲线的较陡；中等风险厌恶者的无差异曲线倾斜度低于高风险厌恶者；轻微风险厌恶者的无差异曲线的倾斜度更低 。
6- 31
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资者最佳组合点的选择无差异曲线与有效边界曲线相切于 A点，
它所表示的投资组合便是最佳的组合。
6- 32
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有有效边界的微分求解法 *
均值 -方差（ Mean-variance）模型是由哈里 ·马克维茨等人于 1952年建立的，其目的是寻找有效边界。
通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。
根据主宰法则这可以转化为一个优化问题，即
（ 1）给定收益的条件下，风险最小化
（ 2）给定风险的条件下，收益最大化
6- 33
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
11
1
1
m in
s,t.,
1
nn
i j ij
ij
n
ii
i
n
i
i
ww
w r c
w
1 1 1
1
12
12
...
= (,,.,,,)
w = (,,.,,,),
n
n n n
T
n
n
c
r r r
w w w
r
若 已 知 资 产 组 合 收 益,方 差 协 方 差 矩 阵 和组 合 各 个 资 产 期 望 收 益 向 量,求 解 组 合 中 资 产 权 重向 量 则 有有效边界的微分求解法 *
6- 34
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子 λ 和 μ 来解决这一优化问题。构造 拉格朗日函数如下
1 1 1 1
L ( ) ( 1 )
n n n n
i j i j i i i
i j i i
w w w r c w
上式左右两边对 wi求导数，令其一阶条件为 0，得到方程组有效边界的微分求解法 *
6- 35
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
11
11
22
12
1
0
0
0
n
jj
j
n
jj
j
n
j nj n
jn
L
wr
w
L
wr
w
L
wr
w
和方程
1
1
1
n
ii
i
n
i
i
w r c
w
有效边界的微分求解法 *
6- 36
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
这样共有 n＋ 2方程，未知数为 wi（ i＝ 1，
2,…,n ）,λ和 μ，共有 n＋ 2个未知量，其解是存在的。
注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。
例：
– 假设三项不相关的资产，其均值分别为 1,2,3，方差都为 1，若要求三项资产构成的组合期望收益为 2，
求解最优的权重。
有效边界的微分求解法 *
6- 37
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
3
1 1 1
11
3
2 2 2
12
3
3 3 3
13
3
1 2 3
1
3
1 2 3
1
0
20
30
2 3 2
1
jj
j
jj
j
jj
j
ii
i
i
i
L
w r w
w
L
w r w
w
L
w r w
w
w r w w w
w w w w
1 0 0
0 1 0
0 0 1
由 于 1= (1,2,3 ),2T c?r
有效边界的微分求解法 *
6- 38
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
1
2
3
0
1 / 3
1 / 3
1 / 3
1 / 3
w
w
w
由此得到组合的方差为 2 13
有效边界的微分求解法 *
6- 39
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有夏普单指数模式
单指数模式假设
– 所有证券彼此不相关，即协方差为 0
– 证券的收益率与某一个指标间具有相关性
– 典型的单指数模型为市场模型，假定股票在某一给定时期与同一时期股票价格指数的回报率线性相关。
6- 40
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有市场模式下个别证券收益率
按市场模式的假定，
证券的预期收益率由市场收益率决定，可以利用回归分析法来计算某种证券的收益率。
titIiiti rar
6- 41
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有市场模式下个别证券的期望收益率和风险
iIiiIiii
IiiiIiiii
iIiii
rrV
rEErErE
rr
222
)(
)()()()(
系统风险 非系统风险
6- 42
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有市场模式下资产组合收益与风险的确定
n
i
n
i
iiiiIp
n
i
iiI
n
i
ii
Iii
n
i
i
n
i
iip
xbx
XrEaX
rEaXX
1 1
222222
11
11
)(
)(
6- 43
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有以方差测量风险的前提及其检验
以方差测量投资风险的前提
– 投资收益率呈正态分布或近似正态分布是运用计量经济模型，以标准差或方差度量投资风险的基础。
– 只有在其背后的系统是随机的时候，标准差才可以作为离散度的有效度量。
– 如果股票的收益不是正态分布的，用标准差作为相对风险的一个度量，并认为风险与收益正相关，就可能出现错误。
6- 44
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有以方差测量风险的检验
正态性检验
– 许多实证研究表明，投资收益率并不是严格正态分布的。
– 尽管实证检验的结果没有支持收益呈正态分布的假定，但占主流地位的投资理论做出的回应只是发展出替代方差的风险度量新方法。
LPM法：只有收益分布的左尾部分才被用作风险衡量的计算因子，主要用来刻画相对某一目标收益水平之下的收益率分布的特征。
VAR 法：风险资产或组合在一个给定的置信区间
（ Confidence Level）和持有期间 (Holding
Horizon)时，在正常条件下的最大期望损失。
2006年第 1版张中华 主编课件制作：
中南财经政法大学中国投资研究中心
,投资学,课程组高等教育出版社 2006 版权所有第 6章投资风险与投资组合
6- 2
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有本章内容
投资风险与风险溢价
单一资产收益与风险的计量
投资组合的风险与收益：马科维兹模型
夏普单指数模式：市场模型
以方差测量风险的前提及其检验
6- 3
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券投资风险的界定及类型
什么是无风险证券?
– 无风险证券一般有以下假定
假设其真实收益是事先可以准确预测的，即其收益率是固定的；
不存在违约风险及其它风险（如通胀风险）。
现实中的无风险证券
– 现实中，真正的无风险证券是不存在，几乎所有的证券都存在着不同程度的风险；
– 即使国债，虽然违约风险很小，可以忽略，但也可能存在通货膨风险；
– 在实际中，一般用 短期国债 作为无风险资产的代表。
因为在短期内，通胀风险较小，基本可以忽略。
6- 4
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券投资风险的界定及类型
证券投资风险是指因未来的信息不完全或不确定性而带来经济损失的可能性。
证券投资风险系统性风险,引起市场上所有证券的投资收益发生变动并带来损失可能性的风险,是单个投资者所无法消除的。
非系统性风险,仅引起单项证券投资的收益发生变动并带来损失可能性的风险。 单个投资者通过持有证券的多元化加以消除市场风险利率风险购买力风险政治风险等企业经营风险财务风险流动性风险等
6- 5
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有风险溢价
风险溢价的含义
– 是投资者因承担风险而获得的超额报酬
– 各种证券的风险程度不同，风险溢价也不相同
– 风险收益与风险程度成正比，风险程度越高，风险报酬也越大险收益＋风险溢价证券投资总收益＝无风
6- 6
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产持有期收益率
单一资产持有期收益率的含义
– 指从购入证券之日至售出证券之日所取得的全部收益与投资本金之比。
持有期股息、利息收入证券期初价格证券期末价格持有期收益率
t
t
t
t
t
ttt
t
D
p
p
r
p
Dpp
r
1
1
1
6- 7
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产持有期收益率
持有期收益率案例,
– 投资者张某 2005年 1月 1日以每股 10元的价格购入 A
公司的股票，预期 2006年 1月 1日可以每股 11元的价格出售，当年预期股息为 0.2元。 A公司股票当年的持有期收益率是多少？
%1210 2.01011Ar
6- 8
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一证券期望收益率
单一证券期望收益率的含义
– 由于投资者在购买证券时，并不能确切地知道在持有期末的收益率，因此，持有期末的收益率是一个随机变量。
– 对于一个随机变量，我们关心的是它可能取哪些值及其相应的概率大小。
– 期望收益率 是所有情形下收益的概率加权平均值。
1
i
i
n
ii
i
i
i
hr
h
r
第 种 情 形 发 生 的 概 率
－ 第 种 情 形 下 的 收 益 率
6- 9
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产期望收益率
单一资产期望收益率案例,
– 在上例中,A公司的股票在 1年后上升到 11元，股息为 0.2元，都是预期的。在现实中，未来股票的价格是不确定的，其预期的结果可能在两种以上。
– 例如，我们预期价格为 11元的概率为 50%，上升为
12元的概率为 25%，下降为 8元的概率为 25%。 则 A
股票的预期收益率为多少？
1
0,1 0 0,5 0,2 0 0,2 5 0,2 0 0,2 5
10%
n
ii
i
hr?
6- 10
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产期望收益率
单一资产期望收益率的估计
– 由于证券收益的概率分布较难准确得知，一般用历史收益率的样本均值来代替期望收益率。
1
1() n
i
t
E R R R
n?
6- 11
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产的风险
单一资产风险的衡量
– 为了计量的便利，一般将投资风险定义为投资预期收益的变异性或波动性 (Variability) 。
– 在统计上，投资风险的高低一般用收益率的方差或标准差来度量。
%525.0
%25)10.00 2 0(25.0)10.010.0(50.0)10.020.0(25.0
][
2
222
2
1
2
S
rh i
n
i
i
6- 12
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产的风险
单一资产风险的估计
– 在实际生活中，预测股票可能的收益率，并准确地估计其发生的概率是非常困难的。
– 为了简便，可用历史的收益率为样本，并假定其发生的概率不变，计算样本平均收益率，并以实际收益率与平均收益率相比较，以此确定该证券的风险程度。
n
i
i RRn
1
22 )(
1
1?
公式中用 n-1，旨在消除方差估计中的统计偏差。
6- 13
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有单一资产的风险
单一资产风险的估计案例
– 假设 B公司近 3年的收益率分别为 20%,30%
和 -20%。求样本平均收益率和方差。
3
1
3
2
1
2 2 2
11
( 0.2 0.3 0.2 ) 0.1
3
1
()
1
1
[ ( 0.2 0.1 ) ( 0.3 0.1 ) ( 0.2 0.1 ) ]
31
0.07
i
i
i
i
RR
n
RR
n
6- 14
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的收益与风险
背景介绍
– 马科维兹是现代投资组合理论的创始者，他在 1952年发表题为,证券组合选择：投资的有效分散化,的论文，用方差（或标准差）计量投资风险；
– 论述了怎样使投资组合在一定风险水平之下，取得最大可能的预期收益率。
– 他在创立投资组合理论的同时，也用数量化的方法提出了确定最佳投资资产组合的基本模型。这被财务与金融学界看做是现代投资组合理论的起点，并被誉为财务与金融理论的一场革命。
– 1959年，他又出版了同名的著作，进一步系统阐述了他的资产组合理论和方法。
– 马科维兹的资产组合理论奠定了现代投资组合理论的基石，此后，经济学家一直在利用数量方法不断丰富和完善投资组合的理论和方法。
6- 15
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有马科维兹模型
马科维兹模型的假设
– 证券收益具有不确定性
– 证券收益之间具有相关性
– 投资者都遵守主宰原则 (Dominance rule)
– 投资者都是风险的厌恶者
– 证券组合降低风险的程度与组合证券数目相关
6- 16
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的期望收益率
投资组合的期望收益率的计算
– 投资组合的期望收益率是该组合中各种证券期望收益率的加权平均值，权重（ x）等于每一证券初始投资额占投资本金的比例。
－组合中证券的数量的预期收益率证券的投资比例－第投资组合的预期收益率
n
i
中种证券投资价值在组合i
1
i
i
p
n
i
iip
X
X
6- 17
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的期望收益率
案例 1,计算组合的期望收益率证券名称 组合中的股份数 每股初始市价 权重 每股期末期望值 期望收益率
A 100 40 0.2325 46.48 16.2%
B 200 35 0.4070 43.61 24.6%
C 100 62 0.3605 76.14 22.8%
资产组合 1 22%
0,2 3 2 5 1 6,2 % 0,4 0 7 2 4,6 % 0,3 6 0 5 2 2,8 %
22%
p
6- 18
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的期望收益率
权重与卖空
– 组合的权重可以为正值，也可以为负值。负值意味着卖空某种证券。
– 卖空证券与卖出自己拥有的证券并非完全一样
– 卖空通常是指投资者向经纪人（券商）借入一定数量的某种证券事先卖掉，在一定时间后再归还，并支付相应报酬的行为。
A
1
A
AB
x
xx
所 购 买 的 （ 或 卖 空 的 ） 证 券 的 金 额投 资 于 该 资 产 组 合 中 的 自 有 资 金 额
6- 19
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的期望收益率
权重与卖空
– 案例 2,投资者自有资金 1000元，卖空证券 B收入 600元，将
1600元全部用于购买证券 A。假设证券 A的 期望 收益率为 20%，
证券 B的 期望 收益率为 10%。那么，（ 1）组合的权重为多少？
（ 2）则组合的 期望 收益率为多少？
1.6
0.6
1.6 0.2 ( 0.6) 0.1
0.26
A
B
P A A B B
x
x
r x r x r
证明
A 3 2 0 0,2 1 6 0 0
B 6 0 6 0 0 6 6 0
10
2 6 0 1 0 0 0 2 6
买 入 证 券 收 益 为 （ ）
卖 出 证 券 损 失 （ － ）
（ 重 新 购 回 的 成 本,价 格 上 涨 了 ％ ）
整 体 收 益,本 金,收 益 率 ％
6- 20
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合的风险
协方差
– 是衡量两种证券收益在一个共同周期中相互影响的方向和程度。
正的协方差意味着资产收益同向变动
负的协方差意味着资产收益反向变动
– 协方差的大小是无限的，从理论上来说，其变化范围可以从负无穷大到正无穷大。
1
1
(,) [ ( ) ] [ ( ) ]
1
(,) [ ( ) ( ) ]
1
n
A B A B i A i A B i B
i
N
ABA B A B A i B i
i
C o v R R p R E R R E R
C o v R R R R R R
N
6- 21
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合的风险
相关系数
– 根据相关系数的大小，可以判定 A,B两证券收益之间的关联强度。
AB
AB
AB
6- 22
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合的风险
投资组合的方差（风险）
– 要计算投资组合的方差，必须先知道该投资组合中所有证券之间的协方差。例如证券 A,B,C的协方差矩阵如下,A A B A C A
_______________________________________
S e c A B C
_______________________________________
A C ov ( r,r ) C ov ( r,r ) C ov ( r,r )
A B B B C B
A C B C C C
2
A A A A B B
B C ov ( r,r ) C ov ( r,r ) C ov ( r,r )
C C ov ( r,r ) C ov ( r,r ) C ov ( r,r )
_______________________________________
C ov ( r,r ) = σ ( r ) C ov ( r,r ) =C ov ( r,r
A
)
6- 23
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合的风险
投资组合的方差（风险）
– 要计算投资组合的方差，还必须知道该投资组合中每一证券的权重，并对协方差矩阵中的元素进行估计，
按以下方式建立一个新的矩阵：
A B C
________________________________________ ____
x x x
Se c A B C
____
2
A A B A C A
2
B A B B C B
C A C
________________________________________
x A ( r ) C o v ( r,r ) Cov ( r,r )
x B Co v ( r,r ) ( r ) Cov ( r,r )
x C Co v ( r,r )
2
B C C
Cov ( r,r ) ( r )
________________________________________ ____
组合方差的计算方法：
将矩阵中每一个协方差称以其所在行和列的组合权重，然后将所有的乘积加总。
6- 24
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的风险
投资组合的方差（风险）
思考：如何证明证券 A,B的方差？
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 2 (,)
2 (,) 2 (,)
:
( ) ( ) (,)
P A A B B C C A B A B
A C A C B C B C
N N N
P i i i j i j
i i j
ij
r x r x r x r x x C ov r r
x x C ov r r x x C ov r r
n
r x r x x C ov r r
如 果 是 种 股 票
2 2 2 2 2P A B(r ) (r ) (r ) 2 (,)A B A B A Bx x x x C o v r r
6- 25
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资组合的风险
影响投资组合风险的因素
– 投资组合中个别证券风险的大小
– 投资组合中各证券之间的相关系数
– 证券投资比例的大小假定投资组合中各成分证券的标准差及权重一定，
投资组合风险的高低就取决于成分证券间的相关系数。
成份证券相关系数越大，投资组合的相关度高，风险也越大；相反，相关系数小，投资组合的相关度低，风险也就小。
6- 26
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有证券组合数量与资产组合的风险
投资组合具有降低非系统性风险的功能，但风险降低的极限为分散掉全部非系统性风险，而系统性风险是无法通过投资组合加以回避的。
6- 27
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有有效组合与有效边界
有效边界,所有有效组合的集合。在解析几何上，
效率边界为投资组合在各种既定风险水平下，各预期收益率最大的投资组合所连成的轨迹。
有效组合,按主宰法则决定的投资组合。即在同一风险水平下，预期收益率高的投资组合；或在同一收益率水平，风险水平越低的组合。
6- 28
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
pr
_
p?
0
有效边界
MV
可行域
有效组合与有效边界
6- 29
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资者最佳组合点的选择
投资者如何在有效组合中进行选择呢？
– 这取决于他们的投资收益与风险的偏好。
– 投资者的收益与风险偏好可用无差异曲线来描述。
– 所谓无差异是指一个相对较高的收益必然伴随着较高的风险，而一个相对较低的收益却只承受较低的风险，
这对投资者的效用是相等的。
– 将具有相同效用的投资收益与投资风险的组合集合在一起便可以画出一条无差异曲线。
6- 30
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资者最佳组合点的选择
对于不同的投资来说,无差异曲线的斜率是不同的,这取决于投资对收益与风险的态度 。 高度的风险厌恶者无差异曲线的较陡；中等风险厌恶者的无差异曲线倾斜度低于高风险厌恶者；轻微风险厌恶者的无差异曲线的倾斜度更低 。
6- 31
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有投资者最佳组合点的选择无差异曲线与有效边界曲线相切于 A点，
它所表示的投资组合便是最佳的组合。
6- 32
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有有效边界的微分求解法 *
均值 -方差（ Mean-variance）模型是由哈里 ·马克维茨等人于 1952年建立的，其目的是寻找有效边界。
通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。
根据主宰法则这可以转化为一个优化问题，即
（ 1）给定收益的条件下，风险最小化
（ 2）给定风险的条件下，收益最大化
6- 33
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
11
1
1
m in
s,t.,
1
nn
i j ij
ij
n
ii
i
n
i
i
ww
w r c
w
1 1 1
1
12
12
...
= (,,.,,,)
w = (,,.,,,),
n
n n n
T
n
n
c
r r r
w w w
r
若 已 知 资 产 组 合 收 益,方 差 协 方 差 矩 阵 和组 合 各 个 资 产 期 望 收 益 向 量,求 解 组 合 中 资 产 权 重向 量 则 有有效边界的微分求解法 *
6- 34
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子 λ 和 μ 来解决这一优化问题。构造 拉格朗日函数如下
1 1 1 1
L ( ) ( 1 )
n n n n
i j i j i i i
i j i i
w w w r c w
上式左右两边对 wi求导数，令其一阶条件为 0，得到方程组有效边界的微分求解法 *
6- 35
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
11
11
22
12
1
0
0
0
n
jj
j
n
jj
j
n
j nj n
jn
L
wr
w
L
wr
w
L
wr
w
和方程
1
1
1
n
ii
i
n
i
i
w r c
w
有效边界的微分求解法 *
6- 36
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
这样共有 n＋ 2方程，未知数为 wi（ i＝ 1，
2,…,n ）,λ和 μ，共有 n＋ 2个未知量，其解是存在的。
注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。
例：
– 假设三项不相关的资产，其均值分别为 1,2,3，方差都为 1，若要求三项资产构成的组合期望收益为 2，
求解最优的权重。
有效边界的微分求解法 *
6- 37
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
3
1 1 1
11
3
2 2 2
12
3
3 3 3
13
3
1 2 3
1
3
1 2 3
1
0
20
30
2 3 2
1
jj
j
jj
j
jj
j
ii
i
i
i
L
w r w
w
L
w r w
w
L
w r w
w
w r w w w
w w w w
1 0 0
0 1 0
0 0 1
由 于 1= (1,2,3 ),2T c?r
有效边界的微分求解法 *
6- 38
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有
1
2
3
0
1 / 3
1 / 3
1 / 3
1 / 3
w
w
w
由此得到组合的方差为 2 13
有效边界的微分求解法 *
6- 39
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有夏普单指数模式
单指数模式假设
– 所有证券彼此不相关，即协方差为 0
– 证券的收益率与某一个指标间具有相关性
– 典型的单指数模型为市场模型，假定股票在某一给定时期与同一时期股票价格指数的回报率线性相关。
6- 40
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有市场模式下个别证券收益率
按市场模式的假定，
证券的预期收益率由市场收益率决定，可以利用回归分析法来计算某种证券的收益率。
titIiiti rar
6- 41
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有市场模式下个别证券的期望收益率和风险
iIiiIiii
IiiiIiiii
iIiii
rrV
rEErErE
rr
222
)(
)()()()(
系统风险 非系统风险
6- 42
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有市场模式下资产组合收益与风险的确定
n
i
n
i
iiiiIp
n
i
iiI
n
i
ii
Iii
n
i
i
n
i
iip
xbx
XrEaX
rEaXX
1 1
222222
11
11
)(
)(
6- 43
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有以方差测量风险的前提及其检验
以方差测量投资风险的前提
– 投资收益率呈正态分布或近似正态分布是运用计量经济模型，以标准差或方差度量投资风险的基础。
– 只有在其背后的系统是随机的时候，标准差才可以作为离散度的有效度量。
– 如果股票的收益不是正态分布的，用标准差作为相对风险的一个度量，并认为风险与收益正相关，就可能出现错误。
6- 44
中南财经政法大学中国投资研究中心 高等教育出版社 2006 版权所有以方差测量风险的检验
正态性检验
– 许多实证研究表明，投资收益率并不是严格正态分布的。
– 尽管实证检验的结果没有支持收益呈正态分布的假定，但占主流地位的投资理论做出的回应只是发展出替代方差的风险度量新方法。
LPM法：只有收益分布的左尾部分才被用作风险衡量的计算因子，主要用来刻画相对某一目标收益水平之下的收益率分布的特征。
VAR 法：风险资产或组合在一个给定的置信区间
（ Confidence Level）和持有期间 (Holding
Horizon)时，在正常条件下的最大期望损失。
