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t
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Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
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2
《数学物理方程》
作者,李明奇、田太心购买地点：教材科
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3
参考文献
[1] 梁昆淼，《数学物理方法》，人民教育出版社，
1998
[2] 沈施,,数学物理方法,,同济大学出版社,
2002
[3] 姚瑞正,梁家宝,,数学物理方法,,武汉大学出版社,1992
[4] 谢鸿证,杨枫林,,数学物理方程,,科学出版社,2001
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n
4
[5] 南京工学院数学教研组，《数学物理方程与特殊函数》，人民教育出版社,1983
[6] 孙振绮，《数学物理方程》，机械工业出版社，
2004
[7] 胡嗣柱，倪光炯，《数学物理方法》，复旦大学出版社,1989
[8] 姜尚礼，陈亚浙，《数学物理方程讲义》，高等教育出版社,1996
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5
[9] F.W.拜伦,R.w.富勒，《物理中的数学方法》，
科学出版社,1982
[10] 陈恕行，洪家兴，《偏微分方程近代方法》，
复旦大学出版社,1989
[11] 王元明，管平，《线性偏微分方程引论》，东南大学出版社,2002
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6
课程的背景课程的基本要求常微分方程常用算子积分公式第一章 绪论
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7
物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,需要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。这种关系在数学上称为函数关系。
物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。
牛顿第二定律,F = m a
a— 物体加速度 ;F— 合外力 ;m— 物体质量付里叶热传导定律,
dQ— 热量微元 ;dS— 面积微元 ;κ— 热导率
(,)nd Q u x t d S d t
一、课程背景
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
如果微分方程中涉及单因素 (一个自变量）,这种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素 (多个自变量 ),这时方程中出现的导数是偏导数,相应的方程称为偏微分方程。
0s in2
2
adtd 单摆,? =? (t)
2
2
2
2
2
x
ua
t
u
弦振动,
u=u(x,t )
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x
t
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9
对于 n阶常微分方程的解，通解中带有 n个任意常数，例如一阶常微分方程 y’=f(x)
Cdttfy x
x
0
)(
对偏微分方程
),(
2
yxf
yx
u?
解可以表示为
)()(),(),(
0 0
yvxwddfyxu yy xx
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x
t
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0.5
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0.5
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10
振动与波
稳定过程由于多数偏微分方程是从物理问题中导出的,所以称为数学物理方程 。 我们主要讨论的物理过程分为三类：
输运过程
2
t t x xu a u?
2
t x xu a u?
0x x y y z zu u u+
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x
t
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0
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11
二、课程的基本要求
理解数学物理方程中出现的基本概念
掌握基本理论和基本方法
了解数理方程的来源与有关概念的物理解释
通过习题对定解问题解法进行必要的训练
掌握二阶偏微分方程几种主要的求解方法
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0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
1
n
12
三、常微分方程
1,可分离变量的一阶微分方程 。
( ) ( )f x d x g y d y?
()d y yf
d x x
2,齐次方程基本形式为,
3,一阶线性微分方程基本形式为,
( ) ( )y p x y q x
( ) ( ) 0,f x y y d x g x y x d y例1 求方程 通解
,xyu?令,y d xx d ydu则
,0)()( x yd xduxugyd xuf
,0)()]()([ duugdxxuuguf
,0)]()([ )( duugufu ugxdx
.)]()([ )(||ln Cduugufu ugx通解为解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
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x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
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n
14
例 2 求一曲线，使得在其上任一点 P 处的切线在 y 轴
y
x
P(x,y)
o
解 设点 P的坐标为（ x,y）
所求曲线为 y=f(x),切线上的动点为 (X,Y ),则过点 P
的切线方程为：
,Y y y X x 令X = 0 得
,y y x y0切线与 轴的距离为Y 由题意可得
22y x y x y
上的截距等于原点到点 P的距离,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
1
n
15
0,x?若 方程为
2
1.yyy
xx
,,
y
u y x u y u x u
x
令 则有
21
du dx
xu
分离变量 2 2 2,x u x x u C解得
0
y
ux
x
将 代回上式,得当 时的通解为若 x<0,方程为
2
2 2 21,.yyy y x y C x
xx
其通解为 -
22,y x y C
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
例 3 求微分方程 的通解,yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
解 y yxyydydx c o s s i n2s i nc o s,ta n2s i n yxy
,2s i nt a n yxydydx
Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
Cdy
y
yyy
co s
co ss i n2co s
.c o s2c o s yCy
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
1
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17
4,贝努里方程,
( ) ( ) ny p x y q x y
5,可降阶的二阶微分方程,
(,)y f x y
(,)y f y y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
1
n
18
.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy
,41 2xyxdxdyy
,yz?令,
42 2xz
xdx
dz
,22 Cxxz解得,2
2
4?
Cxxy即解 y两端除以,得例 4
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
例 5 求微分方程 2 1x y x y满足初始条件
1 0,1 1yy的特解,
,,y y p解 此方程不显含 作代换 2 1x p x p
其通解为
11
12
1d x d xxx
p e e d x C
x
1 1,y由 代入上式11
ln
dy
x
d x x x
21 0 0yC
1 1.C?
得方程特解 21l n l n,2y x x
2 21l n l n2y x x C
1 1 l n,C x
xx
积分
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
.02 的通解求方程 yyy
解,dpyp dy则 ),( ypy设代入原方程得 2 0,dpy p pdy
例 6
0,0y p p当 时,约去 并分离变量得d p d y
py
=,
11,
dy
p C y C y
dx
两边积分并化简得 即 =,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
分离变量得
1
dy
C d x
y
0,0,0
dy
y p y C
dx
当 时 即 也是原方
1
21.0,
Cxy C e C程的解但在通解 中,显然 时
22,0,0.y C C y给出了 又再当 时 包含了
12,0,Cxy y C y C e因此 和 都包含在了通解 中
12,Cxy C e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
( ) ( 1 ) ( 2 )1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nny a x y a x y a x y a x y f x
( ) ( 1 ) ( 2 )1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n nny a x y a x y a x y a x y
( ) ( 1 ) ( 2 )1 2 1 0n n n nny a y a y a y a y
线性微分方程
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
7.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
()y p y q y f x
f (x)的两种类型：
)()( xPexf mx
( ) [ ( ) c o s ( ) s i n ]x lnf x e P x x P x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
* ( ),kx my x e Q x设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性注意 微分方程（ k是重根次数）,
1 ( )x my p y q y e P x、
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
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25
2 ( ) [ ( ) c o s ( ) s i n ]x lnf x e P x x P x x,型利用欧拉公式,的特解形式为
( 1 ) ( 2 )* [ ( ) c o s ( ) s i n ]kx mmy x e R x x R x x
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1(nlm,m a x?
0
1
ik
i
不是根,
是根.
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
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例 7 求微分方程 24 3 c o s 3xy y y x e x 的通解.
4 3 0y y y解 对应齐次方程
12rr? =1,=3,
2,3,2 3ii 不是特征方程的根.
*2 c o s 3 s i n 3xy e a x b x c x d x
* * * 2,,xy y y e将 代入原方程并消去 可得:
312,xxY C e C e齐次方程的通解为
2 4 3 0,rr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
10 10 c os 3 10 6 10 sin 3 c os 3,ax b bc x c x a d x x x
*2 3c os 3 si n 3,
10 50
x xy e x x
1
10 1,10
10 0,0,
10 0,0,
6 10 0,3
.
50
a
a
b bc b
cc
ad
d
解得比较系数可得
* 3 2
12
3c o s 3 sin 3,
1 0 5 0
x x x xy Y y C e C e e x x
通解:
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
例 8 求微分方程3 1 c o s 2y y x x 的一个特解.
解 此方程属 ( ) [ ( ) c os ( ) sin ]x lnf x e P x x P x x 型.
( 0 3 1,( ) 0 ),lnP x x P x=,= 2,
2
1,21 0,.r r i
特征方程的根其特征方程为
2ii 不是特征根,
* c o s 2 sin 2,y a x b x c x d x
*y将 代入原方程并比较系数可得其特解:
* 14c os 2 si n 2,
33y x x x
0.k
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
8.欧拉（ Euler） 方程
( ) 1 ( 1 )11 ()n n n n nnx y p x y p x y p y f x
作变量替换 l n,tx e t x或
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
2
35
9 3,y y y
x x
例 求 的通解
223 5 3,x y y y x解
21 3 5 3,tD D y D y y e
224 5 3 tD y D y y e2
2
2 4 5 3,
td y dy ye
dtdt
2
2 4 5 0
d y dy
y
dtdt
求解对应的齐次方程的的通解.
,l n,tx e t x令
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
9.贝塞尔（ Bessel） 方程
2 2 2( ) 0x y x y x y
10.勒让德方程
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0,[ 1,1 ]x y x y n n y x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
格林（ Green） 公式
(,) (,) [ (,) (,)]xyL
D
p x y d x q x y d y q x y p x y d x d y
斯托克斯（ Strokes） 公式
(,,) (,,) (,,)
L
S
d y d z d zd x d x d y
p x y z d x q x y z d y r x y z d z
x y z
p q r
四、积分公式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
高斯（ Gauss） 公式
(,,) (,,) (,,) ( )x y z
SV
p x y z dy dz q x y z dz dx r x y z dx dy p q r dx dy dz
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
( ) ( )D f x f x
{,,}x y z
2 2 2
2 2 2x y z
五、常用算子
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
g r a d u u
d i v A A
r o t A A
2 u u g r a d u u
( ) u v u v u v
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
Thank You !
