0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
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1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
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x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
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n
2
本次课主要内容
(一 )、拉普拉斯变换的定义
(二 )、拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的定义与性质
(三 )、展开定理
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
1,拉普拉斯变换的引入
(一 )、拉普拉斯变换的定义很多常用函数都不满足条件 (1),如,x,sinx,cosx,等傅立叶变换存在的条件为：
(1) f(x)在 (-∞,+∞) 绝对可积；
(2) f(x)在任意有限区间分段光滑。
对不存在傅立叶变换的函数 f(x)采取如下衰减处理：
1
( ),0,0()
0,0
xe f x x
fx
x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
函数 f1(x)的傅立叶变换就可能存在，此时有：
令,s=σ+iλ,则：
()
11 0( ) ( ) ( )
i x i xf f x e d x f x e d x
1 0( ) ( )
sxf s f x e d x
2,拉普拉斯变换的定义积分变换：
0( ) ( )
sxf s f x e d x
称为函数 f(x)的拉普拉斯变换,记为：
[ ( ) ] ( )L f x f s?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
而称为函数 f?(s)的拉普拉斯逆变换，记为：
1( ) ( )
2
i sx
if x f s e dsi
3、拉普拉斯变换存在定理
1 [ ( ) ] ( )L f s f x
存在定理：若函数 f(x)满足如下条件：
(1) 当 x <0时,f(x)=0; 当 x>0时,f(x)在任一有限区间上分段连续；
(2) 当 x +∞ 时，存在常数 M及 β 0≥0,使?
0() xf x M e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
那么，函数 f(x)在半平面 Res>β 0上存在拉普拉斯变换，
且 f?(s) 解析。
证明,(1)
0 ()
sxf x e d x
0()
0
xM e d x
0
0
,M
所以，函数 f(x)在半平面 Res>β 0上存在拉普拉斯变换。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
取 β >β 1>β 0 (β1是任意实常数 )，则有：
(2) 证明 f?(s)解析
0
() sxf x e d xs
0
() sxf x e d xs
10()
0
xM x e d x
2
0()
M
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
说明积分：
0 ()
sxf x e dx
s
0( ) ( )
sxddf s f x e d x
d s d s
在 半平面 Res>β0上一致收敛，所以，可交换积分与微分次序，即：
0 ()
sxd f x e d x
ds
于是得：
0
() ()Mfs
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
所以,f?(s)的导数在半平面 Res>β0上处处存在且有限，因此，
函数 f(x)在半平面 Res>β0上存在拉普拉斯变换，且 f?(s) 解析。
例 1 求函数 f(x)的拉普拉斯变换
1,( 0 )( 1 ),( )
0,( 0 )
tut
t
4、利用定义求函数的拉普拉斯变换
( 2 ),s i n,c o s,(k t k t k 为实常数）
( 3 ),,(atea 为实常数）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
解,(1) 由拉氏变换定义有：
0( ) 1 sxL u t e d t
0
1 ste
s
R e ( ) 0
0
11 sste
ss
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
(2) 由拉氏变换定义有：
0s i n s i n sxL k t k t e d t
012 ikt ikt s te e e dti
( ) ( )
00
1
2
s ik t s ik te d t e d t
i
R e ( ) 0 1 1 1
2
s
i s i k s i k
22
k
sk
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
同理：
0c o s c o s sxL k t k t e d t
22
s
sk
(3) 由拉氏变换定义有：
0
a t a t s xL e e e d t
R e ( ) 1sa
sa
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
注：在求函数 f(x)的拉普拉斯变换时，结果中必须标明像函数的定义域。
(二 )、拉普拉斯变换的基本性质性质 1.（线性定理）
1 2 1 2[ ] [ ]L f f L f L f
1 1 1
1 2 1 2[ ] [ ]L f f L f L f
证明：
1 2 1 20 sxL f f f f e d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
12
s x s xf e d x f e d x
12[ ] [ ]L f L f
例 2 求 L[shax],L[chax],a为任意常数。
解,由拉氏变换定义与线性定理有：
[]2
a x a xee
L s h a x L
[ ] [ ]22
ax axee
LL
221 1 12 as a s a s a
R e R esa?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
同理：
[]2
a x a xee
L c h a x L
22
1 1 1
2
s
s a s a s a
R e R esa?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
性质 2,（延迟定理）
[ ( ) ] [ ( ) ],0sL f x e L f x
证明：
0[ ( ) ] ( )
sxL f x f x e d x
()() suf u e d u?
因为 u<0时,f(u)=0，所以：
( ) ( )
0( ) ( )
s u s uf u e d u f u e d u
所以,[ ( ) ] [ ( ) ],0
sL f x e L f x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
例 3 求 L[xe –β x]
性质 3,（位移定理）设 a为复数，则：
0[ ( ) ] ( ),R e ( )
axL e f x f s a s a
解：由位移定理：
[ ( ) ] ( )xL e f x f s
而：
2
1( ) [ ]f s L x
s
所以：
2
1[]
()
xL e x
s
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
性质 4.(相似定理 )
1[ ( ) ] ( ),( 0 )sL f c x f c
cc
证明：
0[ ( ) ] ( )
sxL f c x f c x e d x
0
1 () s ucf u e d u
c
1 ()sf
cc?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
证明：证明一阶情形：
性质 5.（原象的导数定理）
( ) 1 2 ( 1 )[ ] [ ] ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )n n n n nL f s L f s f s f f
0[ ( ) ] ( )
sxL f x f x e d x
由归纳法可证明一般情形。
0 0( ) ( )
sx sxf x e s f x e dx
[ ( ) ] (0 )s L f x f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
证明：
性质 6.（积分定理）
.
.0
1[ ( ) ] [ ( ) ]xL f d L f x
s
.
.0[ ( ) ] ( )
x f d f x
所以，由微分定理：
.
.0[ ( ( ) ) ] [ ( ) ]
xL f d L f x
..
,0,0[ ( ( ) ) ] [ ( ) ] 0
xxL f d s L f d
即,.
.0
1[ ( ) ] [ ( ) ]xL f d L f x
s
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
证明：证明 n=1的情形：
性质 7.（象的导数定理）
[ ] [ ( ) ]
n
n
n
d L f L x f
ds
0
( ) ( ) sxddf s f x e d xd s d s
0
() sxd f x e d xds
0 ()
sxx f x e d x [ ( ) ]nL x f
由归纳法可证明一般情形。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
性质 8.(像函数的积分定理 )
.
.
()[]
p
fxf s d s L
x
（）
证明：
..
.,0 ()
sx
ppf s ds f x e dx ds
（）
.
0 ()
sx
pf x e ds dx
.
0
() sxfx e d x
x
()[]fxL
x?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
证明：
性质 9.（卷积定理）
1 2 1 2[ ] [ ] [ ]L f f L f F f
卷积定义：
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f d
1 2 1 200[ ] ( ) ( )
sxF f f e f x f d dx
()
210 ( ) ( )
puf d f u e d u?
2100 ( ) ( )
p u pf d f u e e d u
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
12[ ] [ ]L f F f?
性质 10.（ δ 函数的变换 ）
0[ ( ) ] ( ) 1
sxL x x e d x
0
1[ 1 ] 1 sxL e dx
s
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
性质应用举例例 4 求下列函数的拉氏变换解,(1)令,f(t)=tm，则 f (m) (t)=m!，且：
( 1 ),,(mtm 为正整数）
(2 ),s i n,c o s,(,a t a te k t e k t a k 为实常数）
( 3 ),s i n,c o s,(t k t t k t k 为实常数）
( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0mf f f f
由微分定理：
()[ ! ] [ ( ) ]mL m L f t?
1 ( 1 )[ ( ) ] ( 0 ) ( 0 )m m ms L f t s f f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
1 [ ! ]
m Lms?
(2) 由于
[]mLt
s i nL k t? 22ksk?
cosL k t
22
s
sk
由位移定理得：
22s in,( )()
at kL e k t R e s a
s a k
22c o s,( )()
at sL e k t R e s a
s a k
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
(3) 由像函数微分性质
c os c osdL t k t L k tds
同理：
22
ds
d s s k
22
2 2 2,( R e 0 )()
sk s
sk
s i nL t k t 2 2 22,( R e 0 )() ks ssk
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
(三 )、展开定理在用拉氏变换求解微分方程时，经常遇到比较复杂的像。用逆变换公式求原像，通常用复变函数论中求围线积分和计算留数的方法。下面介绍一个计算拉氏逆变换的展开定理。
定理：设解析函数 g(s)满足条件：
(1) 在开平面内只有极点为其奇点，且这些极点
s0,s1,… sk…,都分布在半平面 Res≤σ0上；
(2)存在一族以原点为心，以 Rn(limRn=+∞) 为半径的圆周 Cn，在这族圆周 Cn上，有 limg(s)=0;
(3)对任意一个 σ≥σ0+ε,积分：
()ii g s d s
绝对收敛。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
那么,g(s)的原像公式为：
( ) R e ( ),*sx k
k
f x s g s e s
其中,Res[g(s)esx,sk]表示 g(s)esx对应于极点 sk的留数。
关于展开定理中概念说明
1，奇点：导数不存在的点。分为 3类：
(1) 可去奇点：即罗朗展式中没有非零负幂项；
(2) 本性奇点：即罗朗展式中有无穷非零负幂项；
(3) 极点：即罗朗展式中有有穷非零负幂项；
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
2，极点 z0的阶：若则极点 z0的阶为 m。
3,留数公式
0 0
l i m ( ) ( )mzz z z f z 非零常数若 z0为 f(x)的 m阶极点，则：
0
1
00 1
1R e ( ) l i m ( ) ( )
( 1 ) !
m
m
mzz
ds f z z z f z
m d z
展开定理应用举例
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
例 5 求 的逆变换
2()
sfs
ss
11
2[]
sL f s L
ss
（ ）
解因为 f(s)的奇点是两个极点 s1=-α,s2=-β.前者是一阶极点，后者是二阶极点，所以，由展开定理：
2R e s
st
k
k
se s
ss
，
1 []L f s? （）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
222
s t s t
ss
se selim s lim s
ss s s s
22
() ttt ee
课外作业：
1,已知 求
1 [ ( )]L F s?
22 5 5
() 1 1 2ssFs s s s
2,已知 求 1 [ ( )]L F s?
2
22
23()
2 2 2 5
ssFs
s s s s
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
0,0
223
00
3
tt
t
yy
eyyy例 6 求解常微分方程,
3 2[ ],[ 2 ]
3
tL y y L e
s
解,(1)方程两边对自变量 t作拉氏变换：
22[ ] ( 0 ) ( 0 )L y s y s y y s y
[ 3 ] 3 3 (0 ) 3L y s y y s y
变换后得：
2 232
3s y s y y s
(2)求像函数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
2
( 3 ) ( 2) ( 1 )y s s s
(3)求原像函数
1 []y L y
2R e s
3 2 ( 1 )
st
k
k
e s
s s s
,
3
21
2
3
3 2 ( 1 )
22
21
3 2 ( 1 ) 3 2 ( 1 )
st
s
st st
ss
e
lim s
s s s
ee
lim s lim s
s s s s s s
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
1 3 2[ ] 2t t ty L y e e e
例 7 求解积分方程
.
.0( ) s i n ( ) ( )f t a t t f d
解：由卷积定义，将方程写成：
ttfattf s i n)()(
(1)方程两边对自变量 t作拉氏变换：
fppaf ~11~ 22
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
42
~
p
a
p
af
)6()(
3t
tatf
(2)求像函数
(3)求原像函数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
作业
P124习题 5.3第 3,4,5,7,8题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
Thank You !
