0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
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x
t
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2
本章介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊松方程的三类边值问题。
主要内容第六章 格林函数法
(一 )、格林公式及调和函数性质
(二 )、泊松方程狄氏问题格林函数法
(三 )、几种特殊区域上狄氏问题格林函数
(四 )、三类典型方程的基本解授课时数,8学时
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0
x
t
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1 1.5
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0
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n
3
本次课主要内容
(一 )、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题
(二 )、三个格林公式格林公式及调和函数性质
(三 )、调和函数的概念与性质
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
Laplace方程,
0,(,,)
(,,),(
x x y y z z S
S
u u u u x y z V
u x y z?
连续）
Poisson方程,
1,Dirichlet问题（第一类边值问题）
(一 )、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题
(,,),(,,)
(,,),(
x x y y z z S
S
u u u u f x y z x y z V
u x y z?
连续）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
Laplace方程,
0,(,,)
(,,),(
x x y y z z S
S
u u u u x y z V
u
x y z
n
连续）
Poisson方程,
(,,),(,,)
(,,),(
x x y y z z S
S
u u u u f x y z x y z V
u
x y z
n
连续）
2,Neumann问题（第二类边值问题）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
Lap lace方程,
0,(,,)
(,,),(
(,,),(
x x y y z z S
S
S
u u u u x y z V
u x y z
u
x y z
n
连续）
连续）
Poisson方程,
3,Robin问题（第三类边值问题）
(,,),(,,)
(,,),(
(,,),(
x x y y z z S
S
S
u u u u f x y z x y z V
u x y z
u
x y z
n
连续）
连续）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
c o s,c o s,c o s,
VS
P Q R d V P n x Q n y R n z d S
x y z
借助于三个格林 公式，可以得到拉氏方程与泊松方程的狄氏问题与洛平问题的解的积分表达式。三个格林公式可以借助于高斯公式导出。
(二 )、三个格林公式高斯公式：
设空间区域 V是由分片光滑的闭曲面 S所围成，函数
P,Q,R在 V上具有一阶连续偏导数，则：
或
VS
P Q R d V P d y d z Q d z d x R d x d y
x y z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
设 u(x,y,z),V(x,y,z)在 S?SV上有一阶连续偏导数，它们在
V中有二阶偏导，则：
S V V
u v dS u v dV u v dV
1、第一格林公式证明：
0
SS
u v dS u v n dS
c o s c o s c o s
S
v v vu d S
x y z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
S
v v vu d y d z u d z d x u d x d y
x y z
由高斯公式：
S
v v vu d y d z u d z d x u d x d y
x y z
V
v v vu u u d V
x x y y z z
VV
u vd V u vd V
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
设 u(x,y,z),V(x,y,z)在 S?SV上有一阶连续偏导数，它们在
V中有二阶偏导，则：
SV
u v v u dS u v v u dV
2、第二格林公式证明：由第一格林公式得：
( 1 )
S V V
u v dS u v dV u v dV
( 2)
S V V
v u dS u v dV v ud V
用 (1)-(2)得第二格林公式。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
设 M0,M是 V中的点,v(M)=1/rMM0,u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：
0 0 0
0
1 1 1 1 1()
44 M M M M M MSV
uu M u d S u d V
r n n r r
3、第三格林公式
M0
M
S
V
x
y
z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
证明：
球面：
S?
球心：
0M?
00
11( ) ( )
M M M MVK
u M u M d V
rr
半径：
由高斯公式可得：
00
1 1 ( )
()
M M M MSS
uM
u M d S
n r r n
通过直接计算得：
0
1 0
MMr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
11
SS
u d S u d Sn r r r
002
1 44
S
u d S u u M
0
1 ()
MMVK
u M d Vr
SS?
又因球面方向指向内侧，与 r方向正好相反，所以：
2
1
S
u d Sr
又由于：
11 0 ( 0 )
SS
uud S d S
r n r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
0
1 1 1 4 ( )
VS
uu d V u d S u M
r n r r n
0
1 1 1 1 1()
44SV
uu M u d S u d V
r n n r r
所以，当 ε→ 0时，得到,
于是得到第三格林公式,
4、泊松方程洛平问题解的积分表达式定理 1：泊松方程洛平问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
的解为：
(,,),(,,)
(,,),(
(,,),(
x x y y z z S
S
S
u u u u f x y z x y z V
u x y z
u
x y z
n
连续）
连续）
0
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
44SVu M M M d S f M d Vr n r r
推论 1：拉氏方程洛平问题
0,(,,)
(,,),(
(,,),(
x x y y z z S
S
S
u u u u x y z V
u x y z
u
x y z
n
连续）
连续）
0
1 1 1( ) ( ) ( )
4 Su M M M d Sr n r
的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
1、定义：如果函数 u(x,y,z)满足,(1) 在 具有二阶连续偏导数； (2)
(三 )、调和函数的概念与性质
VS
0u
称 u为 V上的调和函数。
2、调和函数的性质。
性质 1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有
0
S
u dS
n
证明：第二 Green公式,
SV
vuu v d S u v v u d V
nn
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
1?v取
0,( ) 0,0vuv n
则：
所以,
0
S
u dS
n
推论 2：拉氏牛曼问题
0x x y y z z
S
u u u u
u
n
有解的充分必要条件是,0
S
dS
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
证明：若定解问题有解，因 u为 V上调和函数，由性质 1，
00
SS
u d S d S
n
性质 2 设 u(x,y,z) 是区域 V上的调和函数，则有,
0
1 1 1()
4 S
uu M u d S
r n n r?
证明：由第三格林公式，注意到 u是调和函数，即得：
0
1 1 1()
4 S
uu M u d S
r n n r?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
性质 3,设 u(x,y,z)是区域 V 上的调和函数，则在球心的值等于它在 球面 上的算术平均值，即,
0 2
1( ) ( )
4
RS
u M u M d S
R?
其中 SR是以 M0为球心,R为半径的球面证明,把性质 2用到 SR上有：
0
1 1 1()
4
RS
uu M u d S
r n n r?
1 1 1 1
44
RRSS
u d S u d S
r n n r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
22
1 1 1
4 4 4
R R RS S S
u d S u d S u d S
R n R R
性质 4(极值原理 ) 设 u(x,y,z)是有界闭区域 V内的调和函数，
在 V上连续,若 u(M)≠常数,则 u(M)的最大值和最小值只能在边界面 S上取得。
证明：若不然，设 u在 V内 P0(x0,y0,z0)取得最大值为 M0，
而 u在 S上的最大值为 M*,则,M*<M0
作函数
*
2 2 20
0 0 02(,,) (,,) [ ( ) ( ) ( ) ]8
MMv x y z u x y z x x y y z z
R
其中 P(x,y,z)是 V中点,R是包含 V的球体半径。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
**
* 00
0(,,) 22
M M M Mv x y z M M
但一方面,v(x,y,z)在 V内取最大值时，其海色矩阵：
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
v v v
v v v
v v v
必为负定矩阵，即,(-1)kDk>0,于是得到：
则在 S上有：
又因为 v(x0,y0,z0)=M0,说明 v(x,y,z)必在 V内取最大值。
0,0,0x x y y z zv v v
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
0
2
0
2
*
2
*
0
2
x x y y zz x x y y zz
MM
v v v u u u
R
MM
R
这就产生矛盾！
但另一方面：由 v(x,y,z)的定义可以算出：
由调和函数极值原理，可以推出如下几个结论：
推论 1 设 u为有界闭区域 V 内的调和函数,在闭区域 V
上连续,如果还在边界面 S上为常数 K,则它在内各点的值也等于常数 K。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
证明：由极值原理,u在 V上的最大值最小值都只能在 S上取得，所以,u|V=k.
推论 2 设 u是在有界区域 V上的调和函数,且在闭区域 V上连续,如果还在边界面 S上恒为零,则它在内各点处的值都等于零 。
证明：由推论 1即得证明。
推论 3 设在有界区域 V内的两个调和函数,在闭区域 V
上连续,如果它们还在区域的边界面 S上取相等的值,
则它们在内所取的值也彼此相等 。
证明：设两个函数分别为 u(x,y,z)与 v(x,y,z).作函数：
(,,) (,,) (,,)F x y z u x y z v x y z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
则 F(x,y,z)在边界 S上取值为 0。 由推论 2即可得结论 。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
Thank You !
