0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容贝塞尔函数的性质
(二 )、贝塞尔函数的零点
(一 )、贝塞尔函数的递推公式
(三 )、贝塞尔函数的正交性
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
1、贝塞尔方程
0)( 222
2
2 ynx
dx
dyx
dx
ydx
回顾：
其中 n为实数或复数
2、贝塞尔方程的通解
(1) 如果 n为非整数，则：
)()( xBJxAJy nn
其中 Jn(x)与 J-n(x)称为第一类贝塞尔函数。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
2
2
0
( ) ( 1 ) 2 ! ( 1 )
nm
m
n nm
m
xJx
m n m
( ) c o s ( )( ) *
sinn n
J x J xY x Li m
2
2
0
( ) ( 1 ) 2 ! ( 1 )
nm
m
n nm
m
xJx
m n m
(2) 如果 n为一般实数，则：
)()( xBYxAJy nn
其中,Yn(x)称为第二类贝塞尔函数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
0
1
0
2
2
00 1
1
)!(
)
2
()1(2
)
2
)((2)(
m
m
k
mm
km
x
cxLnxJxY
利用洛比达法则可得：
1
2
0
2
11
0 0 0
2 1 ( 1 ) !
( ) ( ) ( ) ( )
2 ! 2
( 1 ) ( )
1 1 12
()
! ( ) ! 1 1
n
nm
nn
m
m n m
n m m
m k k
x n m x
Y x J x L n c
m
x
m n m k k
5772.0)131211(
L n nnL i mc
n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
3,Bessel函数的母函数（生成函数）
1()
2(,) ( )
x z
nz
n
n
G x z e J x z
由 Bessel函数的母函数，当 x为实数时可得：
c o s
0
1
( ) 2 ( ) c o si x n n
n
e J x i J x n
02
1
c o s ( c o s ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) c o s 2m m
m
x J x J x m
4,Bessel函数的积分表达式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
C n
x
n d
e
i
xJ
,1
)1(
2
2
1)(?
当 n为整数时：
.
.
1( ) c o s ( s in ),( 0,1,2,)
2nJ x x n d n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
12 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x
、
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
114 ( ) ( ) 2 ( )n n nJ x J x J x、
(一 )、贝塞尔函数的递推公式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
22
2
0
[ ( ) ] ( 1 ) 2 ! ( 1 )
nm
nm
n nm
m
d d xx J x
d x d x m n m
证明：因为：
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
21
21
0
1
( 1 )
2 ! ( )
()
nm
nm
nm
m
n
n
x
x
m n m
x J x
所以：
同理可证：
12 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x
、
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
将 1与 2相加得：
将 1与 2相减得：
递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过递推公式，总可以把高阶贝塞尔函数化为 0阶与 1阶贝塞尔函数，然后查表计算。
同样道理，可以得到第二类贝塞尔函数递推公式：
11 [ ( ) ] ( )
nn
nn
d x Y x x Y x
dx、
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
114 ( ) ( ) 2 ( )n n nJ x J x J x、
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
12 [ ( ) ] ( )
nn
nn
d x Y x x Y x
dx
、
11
23 ( ) ( ) ( )
n n n
nY x Y x Y x
x、
114 ( ) ( ) 2 ( )n n nY x Y x Y x、
例 1,利用递推公式求,
3322( ) ( )J x J x?与解,在递推公式
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
中取 n=1/2,得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
3 1 1
2 2 2
1( ) ( ) ( )J x J x J x
x
1 2 2s i n c o sxx
x x x
21 s i n c o sxx
xx?
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
在递推公式中取 n=-1/2,得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
3 1 1
2 2 2
1( ) ( ) ( )J x J x J x
x
例 2、计算：
3
0( 1 ),( )x J x dx?
1 2 2c o s s i nxx
x x x
21 c o s s i nxx
xx?
解：注意到：
)())(( 1 xJxxJx nnnn
3
2( 2 ),( )x J x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
32
00( 1 ),( ) ( ( ) )x J x d x x x J x d x
32
11( ) 2 ( )x J x x J x dx
2 1 ()x d xJ x
3212( ) 2 ( )x J x x J x C
3
2( 2 ),( )x J x d x
41 2 ()x x J x d x
41 1 ()x d x J x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
41 1 ()x d x J x
3211( ) 4 ( )x J x x J x d x
在递推公式
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
中，令 n=0得：
11( ) ( )J x J x
又在递推公式
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
中，令 n=0得：
又在递推公式
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
10( ) ( )J x J x
原式
3211( ) 4 ( )x J x x J x d x
32
10( ) 4 ( )x J x x J x dx
32
1 0 0( ) 4 ( ) 8 ( )x J x x J x x J x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
321 0 1( ) 4 ( ) 8 ( )x J x x J x x J x C
注：一般说来，对于形如
()p qx J x d x?
的积分，若 p,q为整数,且：
为奇数，则通过递推，最后总可以用 J0(x)与 J1(x)
表示，若为偶数，则结果只能用 表示。
0pq pq?
0 ()J x dx?
例 3、利用递推公式证明：
2 0 0
11,( ) ( ) ( )J x J x J x
x
3 0 02,( ) 3 ( ) 4 ( ) 0J x J x J x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
证明,(1) 在公式
2 0 1( ) ( ) 2 ( ) *J x J x J x
中，令 n=1得：
又令 n=0得：
114 ( ) ( ) 2 ( )n n nJ x J x J x、
1 1 0( ) ( ) 2 ( )J x J x J x
而
11( ) ( )J x J x
所以：
10( ) ( )J x J x 10( ) ( ) * *J x J x
再在公式
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
中，令 n=1得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
将 **,***代入 *中得：
0 1 1
1( ) ( ) ( )J x J x J x
x
00
1 ( ) ( ) * * *J x J x
x
2 0 0
11,( ) ( ) ( )J x J x J x
x
(2) 在公式
114 ( ) ( ) 2 ( )n n nJ x J x J x、
中，令 n=2得：
3 1 2( ) ( ) 2 ( )J x J x J x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
2 0 1( ) ( ) 2 ( )J x J x J x
又令 n=1得：
3 1 2( ) ( ) 2 ( )J x J x J x
00( ) 2 ( )J x J x
2 0 0( ) ( ) 2 ( )J x J x J x
所以：
0 0 0( ) 2 ( ) 2 ( )J x J x J x
3 0 02,( ) 3 ( ) 4 ( ) 0J x J x J x
所以：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
3
22( ) c o s ( ) ( )
24n
nJ x x O x
x
(二 )、贝塞尔函数的零点
1、贝塞尔函数的渐近公式当 n非负且 |x|很大时,贝塞尔函数的渐近公式为：
2、对贝塞尔函数渐近公式的分析
(1)、贝塞尔函数为衰减振荡函数衰减因子为：
2
x?
(2)、贝塞尔函数有无穷多零点
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
3、贝塞尔函数的零点关于贝塞尔函数的零点，有如下结论：
(1),J n (x)有无穷多个单重零点，且在 x轴上关于原点对称；
(3)、若设贝塞尔函数 J n (x)的第 m个正零点为：
则：
(2),J n (x)与 Jn+1(x)的零点彼此相间分布；
()nm?
( ) ( )1l im 2nnmmm
说明 J n (x)几乎是一个 2Π周期函数,
注：贝塞尔函数零点可以查表获取。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
4 2
3 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
01 ( 0 )0
1 1 4 ( )b
n n n
n
bJ d J
b
例 4、设,是零阶贝塞尔函数的第 n个零点。求证：(0)
n?
证明：令 则：( 0 )1
n ub
( 0 )
4
3 ( 0 ) 3
00 ( 0 )00
1 nb
n
n
bJ d u J u d u
b
( 0 )
4
2
1( 0 ) 0
n
n
b u d u J u?
( 0 )( 0 )
4
32
1 0 1( 0 ) 02
nn
n
b u J u u J u d u
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
( 0 )
44
( 0 ) 2
11( 0 ) ( 0 ) 02
n
n
nn
bbJ u J u d u
( 0 )
44
( 0 ) 2
10( 0 ) ( 0 ) 02
n
n
nn
bbJ u d J u
( 0 )( 0 )
44
( 0 ) 2
1 0 0 0( 0 ) ( 0 ) 022
nn
n
nn
bbJ u J u u J u d u
( 0 )
44
( 0 )
10( 0 ) ( 0 ) 04
n
n
nn
bbJ u J u du
( 0 )
44
( 0 )
11( 0 ) ( 0 ) 04
n
n
nn
bbJ d u J u
4 2
( 0 ) ( 0 )
1( 0 ) 1 4 ( )nn
n
b J
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
(三 )、贝塞尔函数的正交性
1、贝塞尔函数的正交性定理正交性定理：贝塞尔函数系 ()
1
n
m
nJrR
具有正交性，即：
( ) ( )
2 2 ( ) 2 2 ( )0
11
0,( )
11 ( ) ( ),( )
22
nnR
mk
nn nn
nn mm
mk
r J r J r d r
RR R J R J m k
证明：令：
1 1 1( ),(nF r J a r a? 为参数)
2 2 2( ),(nF r J a r a? 为参数)
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
考虑 n阶贝塞尔方程：
则如下等式成立：
2
0
( ) 0,( 0 )
d d F n
r F rF
d r d r r
F R F
2
21
11( ) 0
d d F nr r F
d r d r r
2
22
22( ) 0
d d F nr r F
d r d r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
两式分别乘以 F2和 F1后相减，并对 r从 0到 R积分后得：
22 121 2 1 2 2 10
0
0*
R
R d F d F
r F F d r r F r F
d r d r
( ) ( )
12,
nn
mk
RR
在 *上式中，取：
则：
( ) ( )12( ) ( ) 0,( ) ( ) 0nnn m n kF R J F R J
所以,( ) ( )
0 0,
nnR
mk
nnr J r J r d r m kRR
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
下面计算当 时，由 *得：
12
()
2
0 0
nR
m
nr J r d rR
12
21
0
12 22
0
12
**
R
R
d F d F
rF rF
d r d r
r F F d r
在 **中，令：
()
12,
n
m
R
为任意参数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
由于
()
( ) ( )1
1 ( ) ( ) 0,( )
n
nn m
n m R n m
dFF R J J
d r R
所以 **化为：
( ) ( )() 2
2 20 ()
2
2
nnn
R m n n m
m
nn n
m
J R J
rJ r J r dr
R
R
当 时，由洛比达法则得：()
2
nm
R
() 2 22 ()0 2nR nmn n mRr J r d r JR
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
又由递推公式和 得：
1( ) ( ) ( )n n nx J x n J x x J x 1( ) ( ) ( )n n nx J x n J x x J x
()( ) 0nnmJ
( ) ( ) ( )11( ) ( ) ( )n n nn m n m n mJ J J
所以得到：
2()
2 2 ( ) 2 2 ( )11
0
11 ( ) ( )
22
nR
nnm nn
n m mrJ r d r R J R JR
由此证明了正交性定理。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
定义：定积分,称为贝塞尔函数 的模。()n
m
nJrR
2()
0
nR
m
nr J r d rR
2、贝塞尔级数展开定理定理：设 在区间 [0,R]上至多有有限个跳跃间断点，则 f(x)在 (0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值。
( ),( )f r f r?
()
1
()
n
m
mn
m
f r A J rR?
()
2 0
2 ()
1
1 ()
2
nR
k
kn
n
nk
A r f r J r d r
R RJ
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
例 5、设 w n (n=1,2,…) 为零阶贝塞尔函数的所有正根,将函数 f (x)=1-x2(0<x<1)展为零阶贝塞尔函数级数形式,
2 ( 0 )0
1
( ) 1 kk
k
f x x A J w x
1 2 ( 0 )
02 ( 0 ) 0
1
2 ( 1 )
kk
k
A x x J w x d xJw
解：由展开定理：
令：,则：(0)ku w x?
( 0 ) 2
0222 ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 )
1
2 ( 1 )kw
k
k kk
uuA J u d u
Jw ww
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
( 0 ) 2
0222 ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 )
1
2 ( 1 )kw
k
k kk
uuA J u d u
Jw ww
( 0 ) 2
0222 0( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
2 ( 1 )kw
k k k
uu J u d u
w J w w
( 0 ) 2
1222 0( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
2 ( 1 )kw
k k k
u d u J u
w J w w
( 0 )
( 0 )22
112 2 22 0( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1 0
2
( 1 ) 2
k
k
w
w
k k k k
uu
u J u J u d u
w J w w w
( 0 )
2
14 2 0( 0 ) ( 0 )
1
4 kw
kk
u J u d u
w J w
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
3( 0 ) ( 0 )1
8
kkw J w
2 ( 0 )
03( 0 ) ( 0 )
1 1
8( ) 1,[ 0,1 ]
k
k kk
f x x J w x x
w J w
所以，展开式为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
作业
P188习题 7.2第 2,3,4,5题
P198习题 7.3第 4,5题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
Thank You !
