0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式习题课
(一 ),Green函数 问题
(二 )、贝塞尔函数问题
(三 )、勒让得多项式问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
(一 ),Green函数 问题
1、三个格林公式第一格林公式：设 u (x,y,z),V (x,y,z)在 S?SV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则：
S V V
u v dS u v dV u v dV
第二格林公式：设 u (x,y,z),V (x,y,z)在 S?SV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则：
SV
u v v u dS u v v u dV
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
设 M0,M是 V中的点,v(M)=1/rMM0,u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：
0 0 0
0
1 1 1 1 1()
44 M M M M M MSV
uu M u d S u d V
r n n r r
第三格林公式：
M0
M
S
V
x
y
z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
例 1、写出稳态场方程洛平问题的解。
要求,(1)掌握三个公式的推导；
(2)稳态场方程洛平问题的解。
解,(1)泊松方程洛平问题为：
(,,),(,,)
(,,),(
(,,),(
x x y y z z S
S
S
u u u u f x y z x y z V
u x y z
u
x y z
n
连续）
连续）
0
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
44SVu M M M d S f M d Vr n r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
拉普拉斯方程洛平问题为：
0,(,,)
(,,),(
(,,),(
x x y y z z S
S
S
u u u u x y z V
u x y z
u
x y z
n
连续）
连续）
0
1 1 1( ) ( ) ( )
4 Su M M M d Sr n r
例 2、求拉普拉斯方程洛平问题的解
0,(,,)
1,0SS
u x y z V
uu
n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
解：由第三格林公式：
0
0
11()
4 MMS
u M d S
nr?
(,,),(,,)
(,,),0SS
u x y z x y z V
uu x y z
n
例 3、求拉普拉斯方程洛平问题的解解：由第三格林公式：
00
0
1 1 1 1( ) (,,)
44 M M M MSVu M d S x y z d Vn r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
2、调和函数要求,(1)掌握概念和性质的证明；
(2 ) 性质的应用 (极值原理 )
( ),
()S
u f M M V
uM?
例 4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。
证明：泊松方程狄氏问题为：
(a ) 解的唯一性证明：
设定解问题有两个解 u1与 u2,则：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
令,U=u1-u2,则：
1
1
( ),
()S
u f M M V
uM?
2
2
( ),
()S
u f M M V
uM?
0,
0S
U M V
U
由极值原理有：,即0U?
12uu?
(b ) 解的稳定性证明：
设在 S上给定了函数 使得,且：,*
1
1
( ),
()S
u f M M V
uM?
2
2
( ),
* ( )S
u f M M V
uM?
*
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
令,U=u1-u2,则：
0,
*S
U M V
U
由极值原理有,即证明了稳定性。
U
3、泊松方程狄氏问题格林函数要求,(1)掌握 狄氏问题格林函数 概念和性质
(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式
(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式例 5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
答,(1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：
(a) 若 G(M,M0)满足：
00
0
0
(,) ( )
,(,) 0 S
S
G M M M M
M M VG M M
则称 G(M,M0)为定义在 VS上的三维狄氏格林函数。
(b) 若 G(M,M0)满足：
00
0
0
(,) ( )
,(,) 0 S
L
G M M M M
M M DG M M
则称 G(M,M0)为定义在 DS上的平面狄氏格林函数。
(2) 物理意义是,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
(a) 物理意义：首先，对于方程 Δ G(M,M0 )=-δ (M-M0)来说，其物理意义是：空间中 M0点处有一电量为 ε (真空中的介电常数）的正点电荷，在 M处产生的电势为 G(M,M0),
其大小为 G(M,M0)=1/4πr；
其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内 M0处有正点电荷 ε和它在边界面上产生的感应电荷在壳内 M处产生的电势的叠加为 G(M,M0),其大小为
G(M,M0)= 1/4πr +v (x,y,z)。
（ b) 物理意义：首先，对于方程 Δ G(M,M0 )=-δ (M-M0)来说，其物理意义是：平面中 M0点处有一电量为 ε (真空中的介电常数）的正点电荷，在 M处产生的电势为 G(M,M0),
其大小为 G(M,M0)=1/2πlnr；
其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内 M0处有正点电荷 ε和它在边界上产生的感应电荷在圈内 M处产生的电势的叠加为 G(M,M0),其大小为
G(M,M0)= 1/4πlnr +v(x,y)。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
例 6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？
答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：
(1) 狄氏格林函数在除去 M=M0点外处处满足拉氏方程。
当 M→M 0时,G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和 1/rMM0相同。
(2) 在边界上格林函数恒等于零。
(3) 在区域 V内，有：
0
0
10 (,)
4 MMG M M r
(4) Green函数具有对称性 (物理上称为互易性 )，即
);();( 1221 MMGMMG?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
例 7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
答：
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M u d S G M M f d V
n
例 8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n
答：
例 9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？
采用什么方法求？
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
答,(1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。
平面上的求法类似。
求三维空间中区域 VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳 S，在 VS内 M0处放置电量为 ε0的正点电荷，由格林函数物理意义,G(M,M0)等于 V内电荷 ε0与感应电荷在 M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：
在 V外找一个 M0关于 S的像点，在该点放置一负电荷，
使它与 ε0在 S上产生的电势叠加为零，则它们在 M处的电势叠加等于 G(M,M0).
(2) 采用镜像法例 10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的格林函数表达式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
答,(1)球域
0
0 0 1
1 1 1 1(,)
44
RG M M
r r r r r
2
0
1
00
rRr
rr?
(2)上半空间
01
0
1 1 1(,)
4 M M M MG M M rr?
2 2 22 2 20 0 0 0 0 0
1 1 1
4 ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
(3) 上半平面狄氏问题的 Green函数
01
0
1 1 1 1(,)
22 M M M MG M M L n L nrr
(4) 圆域上狄氏问题的 Green函数
1
0
0
0
11(,) l n l n
22
MM
MM
r RG M M
rr
(5) 第一象限上狄氏问题的 Green函数
0 1 2 3
0
1 1 1 1 1 1 1 1(,) l n l n l n l n
2 2 2 2M M M M M M M MG M M r r r r
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )1 ln
4 ( ) ( ) ( ) ( )
x x y y x x y y
x x y y x x y y?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
例 11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的泊松方程狄氏问题解的积分表达式解,(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
由于泊松方程狄氏问题的解为：
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M d S G M M f d V
n?
在球面上
SS
GG
nr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
在球域上，由于：
0
0 0 1
1 1 1 1(,)
44
RG M M
r r r r r
2222
00 0 1 1
1 1 1 1
44 2 c o s 2 c o s
R
rr r r r r r r r
2 2 42
0 200
2
0 0
1 1 1 1
44 2 c o s
2 c o s
R
r RRr r r r
rr
r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
22
0
3
22 2
00
1
4
2 c os
S
RrG
nR
R r Rr
所以：
所以，球域上狄氏问题的解为：
22
0
0 3
22 2
00
0
1
()
4
2 c o s
(,)
S
V
Rr
u M d S
R
R r R r
G M M fdV
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
(2) 上半空间狄式问题的解
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M d S G M M f d V
n?
泊松方程狄氏问题的解为：
01
00
33
1
4 M M M M
z z z zGG
n z r r?
由于：
0
3
2 22
0 0 0
1
4 ()
z
x x y y z?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
..
0
0 0 0 3
..
22 2 2
0 0 0
0
,1
,,
2
(,,) (,)
V
x y z
u x y z d x d y
x x y y z
f x y z G M M d x d y d z
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
.,0
0 0 0 3..
22 2 2
0 0 0
,1
,,
2
x y z
u x y z d x d y
x x y y z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
(3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
GG
ny
0 22
00
1
()
y
x x y
00 22
00
1( ) ( ) (,)
() D
yu M x d x G f x y d
x x y
所以得：
拉氏方程狄氏解为：
0
0 22
00
1( ) ( )
()
yu M x d x
x x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
例 11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：
解：由公式：
0
0,0(,0 )
,0
xux
ux
0
0 22
00
0
0 22
0
00
1
( ) ( )
()
1
()
y
u M x d x
x x y
y
u d x
x x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
0
0 220
00
1
()
u y d x
x x y?
00 0
2 20
0
0
11
( ) 1
u y d x
xxy
y
00
00 0
2 2 00
0
0
1 ()
( ) 1
y x xu y d
yxxy
y
0
00
0
1 a r c t a n xxu
y?
0
00
0
1 a r c t a n xxu
y?
00
0
a r c ta n2ux y
(4) 圆域上狄氏问题的解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
解：
LR
GG
nr
因为：
22
0
22
00
1
2 2 c o s
Rr
R R R r r
例 12、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。
0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n
所以：
LR
GG
nr
22
00 2
2 00
1( ) (,)
2 2 c o sLD
Rru M d S G f x y d
R R R r r
所以，狄氏解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
00
2 2 2 22 2 2 2
0 0 0 0
c o s x x y y
x y x y x y x y
所以：
由于：
00 c osO M O M O M O M
所以，在极坐标系下，有：
0c o s c o s ( )
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( ) (,)
2 2 c o s ( ) D
Rru M d G f r r d r d
R R r r
从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：
在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( )
2 2 c o s ( )
Rru M d
R R r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
例 13、求圆域上拉氏方程狄氏解。
(1)、
解法 1:(格林函数法 )
0,1
(1,) ( )
ur
u
( ) c o sa
(2),( ) c o sba
选极坐标系，设圆内 M0(r0,θ0),则：
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( )
2 2 c o s ( )
Rru M d
R R r r
2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r a d
rr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
利用函数幂级数展开可得：
采用级数展开法计算积分 *
2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r aId
rr
2
0
002
10 0 0
1 1 2 c o s ( )
1 2 c o s ( )
m
m
r rm
rr
所以，得：
2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r aId
rr
2
000
1
1 c o s 1 2 c o s ( )
2
m
m
a r m d
22
0000
1
1 c o s c o s c o s ( )
2
m
m
aa d r m d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
2000
1
c o s c o s ( )m
m
a r m d
22
0 0 0 000
11
c o s c o s c o s c o s s i n s i nmm
mm
aar m m d r m m d
2
00 0c o s c o s c o s
a rd
2
000
1
c o s c o s c o sm
m
a r m m d
00co sar
当 时：( ) c o sba
22
00 2
0 0 0 0
11( ) ( )
2 1 2 c o s ( )
ru M d
rr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
而：
2
2
0
20
0 0 0
2
2
0
20
0 0 0
1
2 1 2 c os( )
1 c os
2 1 2 c os( )
rb
d
rr
r a
d
rr
22
0 2
0 0 0 0
1
2 1 2 c o s ( )
rb d
rr
2
000
1
1 1 2 c o s ( )
2
m
m
b r m d
22
0000
1
1 c o s ( )
2
m
m
bb d r m d
b?
所以，有：
0 0 0 0(,) c o su r b a r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
(,) ( ) ( )uR
1、分离变量：
011 2 RRR
2 RR
R
代入方程得：
整理后可令比值为 λ,
解法 2:(分离变量法 )
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
2
0
0R R R
得两个常微分方程如下：
2、求解固有值问题
2
0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
(1) λ <0时，只有平凡解；
(2) λ =0时，
0 () 常数
(3) λ >0时，令 λ =β 2 得：
s i nc o s ba
结合周期条件,β 只能取正整数。于是得固有值：
2 1,2,)nn（
固有函数为：
c o s s i n ( 1,2 )n n na n b n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
3、求欧拉方程的解
2 0
( 0 )
R R R
R
(1)、对应于 λ 0= 0的解为：
0 ( ) l nR C D
由有限性得,D=0,于是有：
0 ()RC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
(2)、对应于 λ n= n2(n=1,2….)
2( 1 ) 0D D R D R n R
作变换,ρ =et 得：
2
2 nRdt?
2dR
即：
() nnn n nR C D
由有限性得,Dn=0,于是有：
() nnnRC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
4、求定解
( ) ( 0,1,2,)nnnR C n
一般解为：
1
0 s inc o s
2),( n nn
n nbnaau
由边界条件 (1)得：
0
1
c o s c o s s i n2 nn
n
aa a n b n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
所以，比较系数得：
01 0,1,0 ( 1 ),0nna a a n b
(,) c o su r a
所以,(1)的解为：
由边界条件 (2)得：
0
1
c o s c o s s i n2 nn
n
ab a a n b n
所以，比较系数得：
012,1,0 ( 1 ),0nna b a a n b
所以,(2)的解为,(,) c o su r b a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
(5) 第一象限上狄氏问题的 Green函数为：
0 1 2 3
0
1 1 1 1 1 1 1 1(,) l n l n l n l n
2 2 2 2M M M M M M M MG M M r r r r
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )1 ln
4 ( ) ( ) ( ) ( )
x x y y x x y y
x x y y x x y y?
例 13、求第一象限上拉氏方程狄氏解。
解：假定定解问题为：
0 1 0 2
0 ( 0,0 )
( ),( )xy
u x y
u y u x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
40
由于
1,0Lx?
其中：
GG
nx
0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n
L
G dS
n?
12
12
LL
GGd S d S
nn
2,0Ly?
对于 L1:
对于 L2:
GG
ny
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
41
00yy
GG
ny
对于 L2:
00
2222
0 0 0 0
2211
44( ) ( )
yy
x x y x x y
00
2222
0 0 0 0
2211
44( ) ( )
yy
x x y x x y
0
22
00
1
()
y
x x y
00xx
GG
ny
0
22
00
1
()
x
y y x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
42
所以，拉氏解为：
00
0 0 1 200 2222
0 0 0 0
11(,) ( ) ( )
( ) ( )
xyu x y y d y x d x
y y x x x y
例 14、求上半圆域上狄氏问题格林函数格林函数满足的定解问题为：
20
0,
( ) ( ) ( 1 )
0 ( 2 ),0 ( 3 )R
G M M
GG
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
43
M0
M1
M‘1
M‘0
M
x
y
设想在 放置电量为 ε 0的电荷
0 0 0(,)M
(1)对于 在 放置电量为 -ε 0的电荷，则能够使边界条件 (3)满足，但不能使 (2)满足。
0, 1 0 0(,)M
(2)若要同时使 (2)满足，对于圆周边界来说,M0的对称点为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
44
在 M1放置电量为 的电荷
0
0
R?
对于 M1的对称点为：0,
10
0
(,)RM
10
0
(,)RM
置电量为 的电荷
0
0
R?
四个电荷的叠加满足边界条件，所以得到格林函数：
00
11
0
00
1 1 1 1
(,) l n l n
22
1 1 1 1
l n l n
22
M M M M
M M M M
G M M
RR
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
45
4、三种典型方程的基本解问题要求,(1) 知道三种典型方程的基本解的定义、基本解表达式；
(2)能利用基本解求相应的定解问题。
例 16、叙述泊松方程基本解的定义；写出其基本解；
并求出 的一个特解。
0
()Mu
答,(1)方程 的解称为泊松方程的基本解。
(,,)u x y z
(,,)u f x y z
(2) 基本解为,1,0
4Urr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
46
(3) 特解应该为基本解与函数 f的卷积。设 U*为特解，
则有：
3
0
0
0 0 0
()1 ( ) 1* * *
4 4 (,)R
MMU U f d M
r r M M
注：平面泊松方程基本解为：
11l n,02Ur r
例 17、叙述热传导方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：
2
0
,(,0 )
()
t x x
t
u a u x R t
ux
答,(1) 定解问题：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
47
2
0
,(,0 )
()
t x x
t
u a u x R t
ux
的解，称为如下定解问题的基本解。
2
0
,(,0 )
()
t x x
t
u a u x R t
ux
(2) 基本解为：
2
241(,)
2
x
atU x t e
at?
(3) 定解为基本解与初始函数的卷积。设 u为定解，
则有：
2
2
()
41(,) * ( )
2
sx
atu x t U s e d s
at
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
48
注：二维、三维类似。
2
0
( 1 ),( 0,0)
( 0,) 0,(,) 0
0
t x x
t
x
u a u A x l t
l
u t u l t
u
例 18、叙述热传导方程混合问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：
2
00( ) ( )
( 0,) (,) 0
(,0) 0
xx
u
a u x x t t
t
u t u l t
ux
答,(1) 定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
49
的解称为如下定解问题的基本解
2
0
(,),(0,0 )
(0,) 0,(,) 0
0
t x x
t
u a u f x t x l t
u t u l t
u?
(2) 基本解为：
(3) 定解与基本解的关系为：
2 2 2
02 () 0
00
1
2(,;,) s in s inna ttL
n
nx nxU x t x t e
l l l
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
50
2 2 2
02 () 00
0000
1
2 s i n s i n ( 1 )na tttL L
n
n x xnxe A d x d t
l l l l
2 2 2
2
2
3 3 2
1
2 1 s i nna tl
n
A l n xe
n a l
例 20、叙述波动方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解。
2
2
002 ( ) ( ),(,0 )
(,0 ) 0,(,0 ) 0
xx
t
u a u x x t t x t
t
u x u x
答,(1) 定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
51
的解称为如下定解问题的基本解
(2) 基本解为：
(3) 定解与基本解的关系为：
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
2
2
2 (,),(,,,0 )
(,0 ) 0,(,0 ) 0
xx
t
u a u f x t x y z t
t
u x u x
0 0 0 0
1
21(,;,) s i n ( ) s i n s i n
n
n a n a n xU x t x t t t x
a n l l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
52
例 21、叙述波动方程混合问题基本解的定义；写出其基本解。
答,(1) 定解问题2
2
002 ( ) ( )
( 0,) (,) 0
(,0) (,0) 0
xx
t
u
a u x x t t
t
u t u l t
u x u x
的解为有界 波动方程问题2
2
2
(,)
( 0,) (,) 0
(,0 ) (,0 ) 0
xx
t
u
a u f x t
t
u t u l t
u x u x
的基本解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
53
(2) 基本解为：
(3) 定解与基本解的关系为：
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
0 0 0 0
1
21(,;,) s i n ( ) s i n s i n
n
n a n a n xU x t x t t t x
a n l l l
例 22、用格林函数法求定解问题
2 ( 0,0)
( 0,) (,) 0
(,0) (,0) 0
tt x x
t
u a u x x l t
u t u l t
u x u x
解：对应的基本解为：
0 0 0 0
1
21(,;,) s i n ( ) s i n s i n
n
n a n a n xU x t x t t t x
a n l l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
54
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tlu x t U x t x t f x t d x d t
0 0 0 0 000
1
21 s i n ( ) s i n s i ntl
n
n a n a n xt t x x d x d t
a n l l l
0 0 0 0 000
1
21 s i n ( ) s i n s i ntl
n
n a n a n xt t x x d x d t
a n l l l
31
33
1
2 ( 1 ) 1 c o s s i nn
n
l n t n x
n l l
(二 )、贝塞尔函数问题主要要求,(1) 贝塞尔方程的通解形式；
(2) 贝塞尔函数表达式及其主要性质；
(3) 贝塞尔函数的递推公式及正交定理、函数展开定理。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
55
例 23、写出贝塞尔方程的标准形式和通解形式解,(1) 贝塞尔方程的标准形式为：
(2) 贝塞尔方程的通解形式：
2
2 2 2
2 ( ) 0,( )
d y d yx x x n y n R C
d x d x 或
)()( xBYxAJy nn
00( ),( ) (nnxxLi m Y x Li m J x C 常数）
例 24、写出 n阶第一类贝塞尔函数的级数形式、母函数表达形式。
2
2
0
( ) ( 1 ) 2 ! ( 1 )
nm
m
n nm
m
xJx
m n m
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
56
1()
2 ()
x z
nz
n
n
e J x z
例 25、计算：
1
2
()Jx 1
2
()Jx
例 25、写出贝塞尔函数递推公式，并计算：
3
2
()Jx 3
2
()Jx
例 26、计算：
3 ()J x d x?
3 0
0 ()
x x J x d x?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
57
例 26、证明：
2 0 0
11,( ) ( ) ( )J x J x J x
x
3 0 02,( ) 3 ( ) 4 ( ) 0J x J x J x
例 27、叙述正交性定理与展开定理
(三 )、勒让得多项式问题主要要求,(1) 勒让得方程的通解形式；
(2) 勒让得多项式表达式及其主要性质；
(3)勒让得多项式的递推公式及正交定理、函数展开定理。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
58
例 28、写出 勒让得方程及通解形式；
2
2
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0,( )
d y d yx x n n y n R C
d x d x 或
(1) 当 n不是整数时，方程的通解为：
12y y y
24
10
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )1
2 ! 4 !
n n n n n ny a x x
35
21
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ),...
3 ! 5!
n n n n n ny a x x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
59
其中 Q n (x)称为第二类勒让得函数，在 [-1,1]上无界。
(2) 当 n是整数时，方程的通解为：
12( ) ( )nny C P x C Q x
例 29、写出 勒让得多项式的几种主要表示形式
2
2
0
( 2 2 ) !
( ) ( 1 )
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
n
m n m
n n
m
nm
P x x
m n m n m
21( ) ( 1 )
2!
n
n
n nn
dP x x
n d x
2 0
1 ( ),1,1
12
n
n
n
P x z z x
x z z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
60
例 29、写出 P n (0≤n≤5)的勒让得多项式表达式例 30、证明：
( 1 ) 1,( 1 ) ( 1 ) nnnPP
2 1 2 2
( 2 ) !( 0 ) 0,( 0 ) ( 1 )
! 2 !
n
nn n
nPP
nn
例 31、求证：
1
1 ( ) 0,( 1,2,,,)nP x d x n
例 32、求证：当 m<n为整数时，有：
1
1 ( ) 0
m
nx P x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
61
例 33、写出勒让得多项式的递推公式及正交定理、函数展开定理。
1
1 ()nx P x d x
例 34、计算,1
20 ()nx P x d x?
1 22
1 ()nx P x d x
例 35、计算：
例 36、将 f (x)=x2+x3按勒让得多项式展开,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
62
作业该课件中涉及的例题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
63
Thank You !
