0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容勒让德多项式及其应用
(一 )、勒让德多项式的母函数
(二 )、勒让德多项式的递推公式
(三 )、勒让德多项式正交性与展开定理
(四 )、勒让德多项式的应用
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
(一 )、回顾
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0x y x y n n y
1,n阶勒让德方程,
n为实数或复数,
2,n阶勒让德方程的通解
(1)、当 n为一般实数时，通解可表达为：
12y y y
24
10
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )1
2 ! 4 !
n n n n n ny a x x
35
21
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ),...
3 ! 5!
n n n n n ny a x x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
其中：
(2) 当 n是整数时，方程的通解为：
12( ) ( )nny C P x C Q x
2
2
0
( 2 2 ) !
( ) ( 1 )
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
n
m n m
n n
m
nm
P x x
m n m n m
Qn(x)称为第二类勒让得函数，在 [-1,1]上无界。
3、勒让德多项式的罗得利克公式
21( ) ( 1 )
2!
n
n
n nn
dP x x
n d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
4、勒让德多项式的积分表达式
2
1
! ( 1 )()
2 2 ( )
n
n nnC
nP z d
iz
2
0
1( ) 1 c os,1,1n
nP x x x d x
01( c o s ) c o s sin c o s,0nnP i d
(一 )、勒让德多项式的母函数可以证明：
2 0
1(,) ( ),1
12
n
n
n
G x z P x z z
x z z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
为勒让德多项式的母函数称
2
1(,),1,1
12
G x z z x
x z z
例 1、证明：
( 1 ) 1,( 1 ) ( 1 ) nnnPP
证明：在母函数
2 0
1 ( ),1,1
12
n
n
n
P x z z x
x z z
中取 x=1时有：
0
1 ( 1 )
1
n
n
n
Pzz
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
0
1
1
n
n
zz
(1) 1nP?
所以：
取 x=-1时有：
0
1 ( 1 )
1
n
n
n
Pzz
0
1 ( 1 )
1
nn
n
zz
( 1 ) 1 nnP所以：
2 1 2 2
( 2 ) !( 0 ) 0,( 0 ) ( 1 )
! 2 !
n
nn n
nPP
nn
例 2、证明：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
证明：在母函数中取 x=0得：
2
0
1 ( 0 )
1
n
n
n
Pzz
由于：
2
22
0
1 ( 2 ) !( 1 )
1 2 ( ! ) 2
nn
n
n
n z
zn
所以
2 1 2 2
( 2 ) !( 0 ) 0,( 0 ) ( 1 )
! 2 !
n
nn n
nPP
nn
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
( ) ( 1 ) ( )nnnP x P x例 3、证明：
证明：在母函数中用 -x代 x，同时用 -z代 z得：
2 0
1 ( 1 ) ( )
12
nn
n
n
P x z
x z z
所以得,( ) ( 1 ) ( )n
nnP x P x
注：对于 n阶勒让得多项式 Pn(x),n为奇数时是奇函数，
n为偶数时为偶函数。
(二 )、勒让德多项式的递推公式 (重点 )
111,(2 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )n n nn x P x n P x n P x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
12,( ) ( ) ( )n n nP x x P x n P x
113,( ) ( ) ( )n n nn P x x P x P x
三个公式中,n=1,2,3…..
先证明公式 1：由母函数
12 2
0
1 2 ( ) nn
n
x z z P x z
两端对 z求导数得：
3212
1
( ) 1 2 ( ) nn
n
x z x z z n P x z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
进一步得：
12 2 12
1
( ) 1 2 1 2 ( ) nn
n
x z x z z x z z n P x z
21
01
( ) ( ) 1 2 ( )nnnn
nn
x z P x z x z z n P x z
对上式整理比较得：
111,(2 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )n n nn x P x n P x n P x
公式 2的证明：将母函数两端 z求导得：
3212
1
( ) 1 2 ( ) nn
n
x z x z z n P x z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
进一步得：
32 2
1
( ) 1 2 ( ) ( 1 )nn
n
z x z x z z n P x z
将母函数两端 x求导得：
32 2
1
1 2 ( ) nn
n
z x z z P x z
进一步得：
32 2
1
( ) 1 2 ( ) ( ) ( 2 )nn
n
z x z x z z x z P x z
比较 (1)与 (2)得：
12,( ) ( ) ( )n n nP x x P x n P x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
公式 3的证明：由公式 1两端对 x求导得：
11(2 1 ) ( ) (2 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )n n n nn P x n x P x n P x n P x
又由公式 2得：
21 ( ) ( ) ( ) (2 )n n nn P x n x P x n P x
将 (1)-(2)得：
113,( ) ( ) ( )n n nn P x x P x P x
例 4、证明：
111( ) ( ) ( )21n n nP x P x P xn
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
证明：由递推公式 2得：
111( ) ( ) ( )21n n nP x P x P xn
1( ) ( ) ( ) ( 1 )n n nn P x x P x P x
由 (1)+(2)得：
113,( ) ( ) ( )n n nn P x x P x P x
得：
1( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )n n nn P x P x x P x
又由递推公式 3
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
1 2
1 ()nx P x d x
例 5、计算解,(1)当 n=0时：
1 2
1 ()nx P x d x
1
1 0x d x
(2)当 n=1时：
1 2
1 ()nx P x d x
1 2
1
2
3x d x
(3)当 n>1时：由公式 1得：
2
11
( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 2 1 ) ( 2 1 )n n n n n
nnx P x P x P x P x P x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
所以
1 1 12
111 1 1
( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 2 1 ) ( 2 1 )n n n n n
nnx P x d x P x P x d x P x P x d x
0?
这是因为可以证明：
1 1 ( ) ( ) 0,,,0,1,2,,,mnP x P x d x m n m n
(三 )、勒让德多项式正交性与展开定理
1、勒让德多项式正交性 (重点 )
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
1 1 ( ) ( ) 0,,,0,1,2,,,mnP x P x d x m n m n
在 [-1,1]上正交。即：
证明：由于 Pm (x)与 P n (x)分别为勒让得方程的解，
所以有：
(1)、勒让德多项式正交性定理：
勒让德多项式序列：
01( ),( ),.,,( ),,,nP x P x P x
2( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 0
mm
d x P x m m P x
dx
2( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 0
nn
d x P x n n P x
dx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
上面两个式子相减得：
进一步得：
2( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 0
n m m n
dP x x P x m m P x P x
dx
2( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 0
m n n m
dP x x P x n n P x P x
dx
22( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )m n n m m nddm m n n P P P x P P x Pd x d x
两边积分得：
1 1 1221 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )m n n m m nddm m n n P P d x P x P d x P x P d xd x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
于是得：
1 12 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )m n m n n mm m n n P P d x x P P P P
即得：
1
1 0mnP P d x
(2)、归一性定理定理：勒让得多项式满足：
1 2
1
2,( 0,1,2,.,,)
21nP d x nn
证明：当 n= 0,1时，易证明结论成立；
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
设 n=m时结论成立，下面证明：
1 2
11
2
2 ( 1 ) 1mP d x m
由递推公式：
111,(2 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )n n nn x P x n P x n P x
取 n=m得：
11( 1 ) ( ) (2 1 ) ( ) ( )m m mm P x m x P x m P x
进一步有：
2 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m m mm P x m x P x P x m P x P x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
两边积分得：
12
21( ) ( ) ( )
2 3 2 3m m m
mmx P x P x P x
又在递推公式中令 n=m+1得：
代入得：
112
1 1( 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( )m mmm P x d x m x P x P x d x
1 2
11
2
2 ( 1 ) 1mP d x m
由归纳法知定理成立。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
称 为 n阶勒让得多项式的模。
由于：
所以，上面定理称为归一性定理。
2
21n?
2
1
1
21 1,( 0,1,2,,,,)
2 n
n P d x n
2、函数的勒让德多项式展开勒让德多项式展开定理：若 ( ) [ 1,1 ]f x C
且,f ‘’(x)在 [-1,1]上分段连续，则：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
在 [-1,1]上可以展开为绝对且一致收敛的级数：
0
( ) ( )nn
n
f x C P x
其中：
1
1
21 ( ) ( )
2nn
nC f x P x d x
例 6、将 f (x)=|x|按勒让得多项式展开,
解,1
1
21 ( ) ( )
2nn
nC f x P x d x
1
1
21 ()
2 n
n x P x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
解：由于 P2n+1(x)为奇函数，所以 C2n+1=0.
1
21
41 ()
2 n
n x P x d x
下面计算 C2n,当 n=0时：
1
0 1
11
22C x dx
当 n≥1时：
1
22 1
41 ( ) ( )
2nn
nC f x P x d x
01
2210
4 1 4 1( ) ( )
22 nn
nn x P x d x x P x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
对于
1
20 ()nx P x d x?
21
22
220
1 ( 1 )
2 ( 2 ) !
n
n
nn
dx x d x
n d x
211
22
2 2 10
1 ( 1 )
2 ( 2 ) !
n
n
nn
dx d x
n d x
2 1 2 11
2 2 1 2 2
02 2 1 2 10
1 ( 1 ) ( 1 )
2 ( 2 ) !
nn
nn
n n n
ddx x x d x
n d x d x
211
22
2 2 10
1 ( 1 )
2 ( 2 ) !
n
n
nn
d x d x
n d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
122
22
2 2 2
0
1 ( 1 )
2 ( 2 ) !
n
n
nn
d x
n d x
22
22
2 2 2
0
1 ( 1 )
2 ( 2 ) !
n
n
nn
x
d x
n d x
对于
2
2 2 2 2
0
( 1 ) ( 2,) ( 1 )
n
n k n k
k
x C n k x?
2 2 2 1 2 2 1
24
( 2,0 ) ( 1 ) ( 2,1 ) ( 1 ),,,( 2,1 ) ( 1 )
( 2,1 ) ( 1 ),,,
n n n n
n n n
C n C n x C n n x
C n n x x
所以：
22
22
2 2 2
0
1 ( 1 )
2 ( 2 ) !
n
n
nn
x
d x
n d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
同理：
1
2
1( 1 ) ( 2,1 ) ( 2 2 ) !
2 ( 2 ) !
n
n C n n nn
1
2
( 2 2 ) ! ( 2 ) !( 1 )
2 ( 2 ) ! ( 1 ) ! ( 1 ) !
n
n
nn
n n n
1
2
( 2 2 ) !( 1 )
2 ( 1 ) ! ( 1 ) !
n
n
n
nn
0
21 ()nx P x d x
1
2
( 2 2 ) !( 1 )
2 ( 1 ) ! ( 1 ) !
n
n
n
nn
所以：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
于是得展开式为：
1
2
( 4 1 ) ( 2 2 ) !( 1 )
2 ( 1 ) ! ( 1 ) !
n
n
nn
nn
01
2 2 210
4 1 4 1( ) ( )
22n n n
nnC x P x d x x P x d x
1
22
1
1 ( 4 1 ) ( 2 2 ) !( 1 ) ( ),( 1 1 )
2 2 ( 1 ) ! ( 1 ) !
n
nn
n
nnx P x x
nn
例 7 计算
1 22
1 ()nx P x d x
解：由于
2
02
12( ) ( )
33x P x P x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
所以：
1 22
1 ()nx P x d x
1
021
12 ( ) ( ) ( )
33 n
P x P x P x d x
2
,0
3
0,0,2
4
,2
15
n
n
n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
例 8、将 f (x)=x2+x3按勒让得多项式展开,
解：显然，展开式具有形式：
23 0 0 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )x x C P x C P x C P x C P x
23
0 1 2 3
3 1 5 3
22
x x xC C x C C
0 1 2 3
1 3 2 2,,,
3 5 3 5C C C C
所以：
23
0 1 2 3
1 3 2 2( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3 5x x P x P x P x P x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
例 9、求球域内的电位分布：在半径为 1的球域内求调和函数 u，使它在球面上满足：
(四 )、勒让德多项式的应用
1 6 c o s 2 2ru
分析：根据边界条件的形式可以断定,u只与 r,θ
有关。
解：定解问题为：
2
22
1
11
si n,( 0 1 )
sin
6 c os 2 2r
uu
rr
r r r r
u
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
(,) ( ) ( )u r R r
2 2 c o tr R r R
R
分离变量令：
令,得：
2
2
2 2 ( 1 ) 0 ( 1 )
d R d Rr r n n R
d r d r
( 1 )nn
c o t ( 1 ) 0 ( 2 )nn
方程 (2)是 n阶勒让得方程。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
令：
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0 ( 3 )x y x y n n y
,c o syx
由问题的物理意义,u(rθ)必须在 [0,Π]上有界，
因此,n必须为整数。
得：
()ny A P x?
又另一个常微分方程 (欧拉方程 )的通解为：
( 1 )() nnn n nR r C r D r
要使 u有界，必须 Dn=0
() nnnR r C r?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
所以，一般解为：
由边界条件得：
0
(,) ( c o s )nnn
n
u r C r P
0
( c o s ) 6 c o s 2 2nn
n
CP
即：
2
0
( ) 1 2 4nn
n
C P x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
得：
2 0 0 1 1 2 21 2 4 ( ) ( ) ( )x C P x C P x C P x
0 1 20,8C C C
所以，定解为：
22(,) 4 3 c o s 1u r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
作业
P213习题 8.2第 1,2,3题
P219习题 8.3第 2,4,5题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
Thank You !
