0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容勒让德多项式
(一 )、勒让德方程
(二 )、勒让德方程的幂级数解
(三 )、勒让德多项式
(四 )、勒让德多项式的罗得利克公式 (重点 )
(五 )、勒让德多项式的积分表达式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3

2 2 2
2 2 2
1
0,1
(,,)
x x y y z z
x y z
u u u x y z
u f x y z


考虑球域内拉氏方程定解问题：
在球坐标系下，定解问题为：
(一 )、勒让德方程
2
2
2 2 2 2 2
1
1 1 1
s in 0
s in s in
(,),( 0 1,0,0 2 )r
u u u
r
r r r r r
u f r






采用分离变量求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
(,,) ( ) (,)u r R r Y
2
2
2 2 2
1 1 1 1s in
s in s in
d d R Y Yr
R d r d r Y




分离变量令：
得：
在上面等式中令等式的值为 n(n+1) 得：
2
2
2 2 ( 1 ) 0 ( 1 )
d R d Rr r n n R
d r d r
2
22
11 s i n ( 1 ) 0 ( 2 )
s i n s i n
YY n n Y?



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
(,) ( ) ( )Y再令：
得：
于是得：
注意到：
( 2 ) ( )
2
22
11 s i n ( 1 ) 0
s i n s i n
d d d nn
d d d



2
2
2
11s i n s i n ( 1 ) s i nd d dnn
d d d




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
可得上面等式的值必为 m2(m=0,1,2,….),于是得：
方程 (3)的通解为：
( ) c o s s i nC m D m
2
2
1 s in ( 1 ) 0 ( 4 )
s in s in
d d mnn
dd




2
2
2 0,( 0,1,2,,,) ( 3 )
d mm
d?

对于方程 (4)，可变形为如下形式：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
对于 (5),在作变换：
y并令：
co sx
22
22c o t ( 1 ) 0 ( 5 )s in
d d mnn
dd




当取 m=0时，则可以得到：
2
2
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0 ( 6 )
d y d yx x n n y
d x d x

(6)被称为勒让德方程。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
假定方程形式为：
同时假定 n为实数 (不考虑复数情形 )
(二 )、勒让德方程的幂级数解
2
2
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0 ( 6 )
d y d yx x n n y
d x d x

假定方程有一个级数解形式为,
20 1 2()ck ky x a a x a x a x
0
ck
k
k
ax

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
把假定解代入方程中确定 c与 ak(k=0,1,2,…,.)
代入方程得,
2
00
1 1 1 0k c k ckk
kk
c k c k n n a x c k c k a x



适当整理得：


21
01
2
0
11
,2 1 1 ( 1 ) 0
cc
ck
kk
k
c c a x c c a x
c k c k a c k c k n n a x



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
于是得下列各式：
0( 1 ) 0 *c c a
22 1 1 ( 1 ) 0kkc k c k a c k c k n n a
于是得到：
0 1 *c? 或暂取,,由此得：
0c?
2
( ) ( 1 ) ( 0,1,2,3,.,,,)
( 1 ) ( 2 )kk
k n k na a k
kk?


1( 1 ) 0 * *c c a
10 1 0 * *ca或- 或
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
0,2,4,6,....k?
令
20
( 1 )
2!
nnaa 2
40
( 2) ( 1 ) ( 3 )( 1 )
4!
n n n naa
3
60
( 2 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 5 )( 1 )
6!
n n n n n naa
20
( 2 ) ( 2 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 1 )( 1 )
( 2 ) !
m
m
n n n m n n n maa
m

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
1,3,5,7,.,,,k?
令
31
( 1 ) ( 2 )
3!
nnaa 2
51
( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 )( 1 )
5!
n n n naa
3
71
( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 )( 1 )
6!
n n n n n naa
2 1 1
( 1 ) ( 3 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 2 )( 1 )
( 2 1 ) !
m
m
n n n m n n n maa
m?

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
代入待定解中得：
24
0
35
1
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )
1
2 ! 4 !
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 )
....
3 ! 5 !
n n n n n n
y a x x
n n n n n n
a x x x








由于 a0,a1的任意性,可得方程的两个特解为：
24
10
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )1
2 ! 4 !
n n n n n ny a x x

35
21
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ),...
3 ! 5!
n n n n n ny a x x x

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
(1)、在 a0,a1都不为零的情况下,y1与 y2线性无关 ;
取 c=1时,用同样方法可得特解为 y2,取 c=-1时,
得特解为 y1,两个级数收敛半径为 1。
12y y y
(2)、当 n不是整数时,y1与 y2是无穷级数 ;
(3)、可以证明：在 |x|<1内，两个无穷级数绝对收敛，
而在 x=1,-1时发散。
结论：勒让德方程的通解为：
24
10
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )1
2 ! 4 !
n n n n n ny a x x

35
21
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ),...
3 ! 5!
n n n n n ny a x x x

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
当 n为整数时,y1或 y2便成为多项式。
(三 )、勒让德多项式
(1)、当 n为正偶数时可得：
2
2
1
0
( 2 2 ) !( 1 )
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
n
m n m
n
m
nmyx
m n m n m


(2)、当 n为正奇数时可得：
1
2
2
2
0
( 2 2 ) !( 1 )
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
n
m n m
n
m
nmyx
m n m n m


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
定义：称
2
nM

为 n次第一类勒让德多项式。
2
0
( 2 2 ) !( ) ( 1 )
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
M
m n m
n n
m
nmP x x
m n m n m


例 1、写出 0到 5次勒让德多项式解：
0 ( ) 1Px? 1 ()P x x?
2
2
1( ) ( 3 1 )
2P x x
3
3
1( ) ( 5 3 )
2P x x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
例 2、证明：
42
4
1( ) ( 35 30 3 )
8P x x x
53
5
1( ) ( 6 3 7 0 1 5 )
8P x x x x
2
20
21( 1 ),( ) ( )
33x P x P x
3
31
23( 2 ),( ) ( )
55x P x P x
证：
20
21( 1 ),( ) ( )
33P x P x?
222 1 1( 3 1 )
3 2 3xx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
31
23( 2 ),( ) ( )
55P x P x?
332 1 3( 5 3 )
5 2 5x x x x
(四 )、勒让德多项式的罗得利克公式定理,Pn(x)满足罗得利克公式：
21( ) ( 1 )
2!
n
n
n nn
dP x x
n d x
证明：由二项式定理：
2 2 2
0
( 1 ) !( 1 )
! ( ) !
mn
n n m
m
nxx
m n m


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
所以：
21 ( 1 )
2!
n
n
nn
d x
n d x?
22
0
1 ( 1 ) !
2 ! ! ( ) !
mnn
nm
nn
m
nd x
n m n m d x



2
2
0
1 ( 1 ) ! 2 2 2 2 1 2 1
2 ! ! ( ) !
n
mn
nm
nn
m
nd n m n m n m x
n m n m d x




2
2
0
( 2 2 ) !( 1 )
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
n
m n m
n
m
nm x
m n m n m




()nPx?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
(五 )、勒让德多项式的积分表达式定理,Pn(z)满足：
2
1
! ( 1 )()
2 2 ( )
n
n nnC
nP z d
iz




证明：设,则：2( ) ( 1 ) nf z z
2
2 1 ( 1 )( 1 )
2
n
n
C
zd iz
由于：
()
1
! ( )()
2 ( )
n
nC
nff z d
iz


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
所以：
由罗得利克公式得：
2
2
1
! ( 1 )( 1 )
2 ( )
nn
n
C
dnzd
d z i z




2
2
1
1 1 ( 1 )( 1 )
2 ! 2 2 ( )
nn
n
n n n nC
d zd
n d z i z




2
1
! ( 1 )()
2 2 ( )
n
n nnC
nP z d
iz




特别地，若取 C为圆心为 z=x(≠1,-1)，半径为的圆周，则：
2 1x?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
2
0
1( ) 1 c os n
nP x x x d


如果令 则：c o s ( 0 )x
01( c os ) c os sin c os nnP i d
上式称为拉普拉斯积分，且：
( ) 1,( 1 1 )nP x x
总结：对于勒让得方程：
2
2
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0 ( 6 )
d y d yx x n n y
d x d x

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
(1) 当 n不是整数时，方程的通解为：
其中 Qn(x)称为第二类勒让得函数，在 [-1,1]上无界。
12y y y
24
10
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )1
2 ! 4 !
n n n n n ny a x x

35
21
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ),...
3 ! 5!
n n n n n ny a x x x

(2) 当 n是整数时，方程的通解为：
12( ) ( )nny C P x C Q x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
例 3、求证：
( 1 ),( 1 ) 1,( 1 ) ( 1 ) nnnPP
证明,(1),直接验证知，当 n≤2时，结论成立设
2 1 2 2
( 2 ) !( 2 ),( 0 ) 0,( 0 ) ( 1 )
! 2 !
n
nn n
nPP
nn
( 1 ) 1,( 1 )kP k n
由罗得利克公式：
21( ) ( 1 )
2!
n
n
n nn
dP x x
n d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
1
2
1
1 ( 1 )
2!
n
n
nn
dd x
n d x d x


1
21
11
1 ( 1 )
2 ( 1 ) !
n
n
nn
d xx
n d x

12
2 1 2 1
1 1 1 2
11 ( 1 ) ( 1 )
2 ( 1 ) ! 2 ( 1 ) !
nn
nn
n n n n
d n dx x x
n d x n d x





由归纳假设有：
(1) 1nP?
同理可以证明,( 1 ) ( 1 ) n
nP
下面证明 (2)：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
所以：
21( ),( 0 )naP?
1
2 1 2
21
0
( 4 2 2 ) !( 1 )
2 ! ( 2 1 ) ! ( 2 1 2 ) !
n
m n m
n
m
nm x
m n m n m



2 1 1
2 1 2 1
( 4 2 ) ! ( 2 ) !( 1 )
2 ( 2 1 ) ! ( 2 1 ) ! 2 ( 1 ) ! !
nn
nn
nn xx
n n n n




21 ( 0 ) 0nP
2( ),(0 )nbP
22
2
0
( 4 2 ) !( 1 )
2 ! ( 2 ) ! ( 2 2 ) !
n
m n m
n
m
nm x
m n m n m


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
所以：
2
22
( 4 ) ! ( 2 ) !( 1 )
2 ( 2 ) ! ( 2 ) ! 2 ! !
nn
nn
nnx
n n n n
21 2
( 2 ) !( 0 ) ( 1 )
2 ! !
n
n n
nP
nn
例 4、求证：
1
1 ( ) 0,( 1,2,,,)nP x d x n
证明：由罗得利克公式：
21( ) ( 1 )
2!
n
n
n nn
dP x x
n d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
1
1 ()nP x d x
1 2
1
1 ( 1 )
2!
n
n
nn
d x d x
n d x
11
2
11
1 ( 1 )
2!
n
n
nn
ddx
n d x




1
21
11
1 ( 1 )
2!
n
n
nn
d x
n d x

0?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
例 5、求证：当 m<n为整数时，有：
1
1 ( ) 0
m
nx P x d x
证明：由罗得利克公式：
21( ) ( 1 )
2!
n
n
n nn
dP x x
n d x
11
2
11
1 ( 1 )
2!
n
mn
nn
dx d x
n d x




1
1 ()
m
nx P x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
11
12
11 ( 1 )2!
n
mn
nn
md x x d x
n d x

对上式分部积分 m-1次
11
12
11 ( 1 )2!
n
mn
nn
md x x d x
n d x


11
2
1
1
1( 1 ) ( 1 )
2!
nmm
m m n
n n m
dx x dx
n dx





0?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
例 6、求证,( 1 )( 1 )
2n
nnP
证明：由于 Pn(x)为 n阶勒让得方程的特解，所以有：
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0n n nx P x P n n P
当 x=1时有：
2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0nnP n n P
所以 ( 1 )
( 1 ) 2n nnP
注：也可以用罗得利克公式结合莱布尼兹公式证明
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
作业
P210习题 8.1第 1,2,3,4,5题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
Thank You !