0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容贝塞尔函数的应用
(二 )、贝塞尔函数的应用
(一 )、贝塞尔函数的正交性
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
12 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x
、
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
114 ( ) ( ) 2 ( )n n nJ x J x J x、
回顾：贝塞尔函数的递推公式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
例、计算：
3
0( 1 ),( )x J x dx?
解：注意到：
)())(( 1 xJxxJx nnnn
3
2( 2 ),( )x J x d x
32
00( 1 ),( ) ( ( ) )x J x d x x x J x d x
2 1 ()x d xJ x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
32
11( ) 2 ( )x J x x J x dx
3212( ) 2 ( )x J x x J x C
3
2( 2 ),( )x J x d x
41 2 ()x x J x d x
41 1 ()x d x J x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
41 1 ()x d x J x
3211( ) 4 ( )x J x x J x d x
在递推公式
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
中，令 n=0得：
11( ) ( )J x J x
又在递推公式
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
中，令 n=0得：
又在递推公式
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
10( ) ( )J x J x
原式
3211( ) 4 ( )x J x x J x d x
32
10( ) 4 ( )x J x x J x dx
32
1 0 0( ) 4 ( ) 8 ( )x J x x J x x J x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
321 0 1( ) 4 ( ) 8 ( )x J x x J x x J x C
注：一般说来，对于形如
()p qx J x d x?
的积分，若 p,q为整数,且：
为奇数，则通过递推，最后总可以用 J0(x)与 J1(x)
表示，若为偶数，则结果只能用 表示。
0pq pq?
0 ()J x dx?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
(一 )、贝塞尔函数的正交性
1、贝塞尔函数的正交性定理正交性定理：贝塞尔函数系 ()
1
n
m
nJrR
具有正交性，即：
( ) ( )
2 2 ( ) 2 2 ( )0
11
0,( )
11 ( ) ( ),( )
22
nnR
mk
nn nn
nn mm
mk
r J r J r d r
RR R J R J m k
证明：令：
1 1 1( ),(nF r J a r a? 为参数)
2 2 2( ),(nF r J a r a? 为参数)
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
考虑 n阶贝塞尔方程：
则如下等式成立：
2
0
( ) 0,( 0 )
d d F n
r F rF
d r d r r
F R F
2
21
11( ) 0
d d F nr r F
d r d r r
2
22
22( ) 0
d d F nr r F
d r d r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
两式分别乘以 F2和 F1后相减，并对 r从 0到 R积分后得：
22 121 2 1 2 2 10
0
0*
R
R d F d F
r F F d r r F r F
d r d r
( ) ( )
12,
nn
mk
RR
在 *上式中，取：
则：
( ) ( )12( ) ( ) 0,( ) ( ) 0nnn m n kF R J F R J
所以,( ) ( )
0 0,
nnR
mk
nnr J r J r d r m kRR
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
下面计算当 时，由 *得：
12
()
2
0 0
nR
m
nr J r d rR
12
21
0
12 22
0
12
**
R
R
d F d F
rF rF
d r d r
r F F d r
在 **中，令：
()
12,
n
m
R
为任意参数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
由于
()
( ) ( )1
1 ( ) ( ) 0,( )
n
nn m
n m R n m
dFF R J J
d r R
所以 **化为：
( ) ( )() 2
2 20 ()
2
2
nnn
R m n n m
m
nn n
m
J R J
rJ r J r dr
R
R
当 时，由洛比达法则得：()
2
nm
R
() 2 22 ()0 2nR nmn n mRr J r d r JR
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
又由递推公式和 得：
1( ) ( ) ( )n n nx J x n J x x J x 1( ) ( ) ( )n n nx J x n J x x J x
()( ) 0nnmJ
( ) ( ) ( )11( ) ( ) ( )n n nn m n m n mJ J J
所以得到：
2()
2 2 ( ) 2 2 ( )11
0
11 ( ) ( )
22
nR
nnm nn
n m mrJ r d r R J R JR
由此证明了正交性定理。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
定义：定积分,称为贝塞尔函数 的模。()n
m
nJrR
2()
0
nR
m
nr J r d rR
2、贝塞尔级数展开定理定理：设 在区间 [0,R]上至多有有限个跳跃间断点，则 f(x)在 (0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值。
( ),( )f r f r?
()
1
()
n
m
mn
m
f r A J rR?
()
2 0
2 ()
1
1 ()
2
nR
k
kn
n
nk
A r f r J r d r
R RJ
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
例 5、设 w n (n=1,2,…) 为零阶贝塞尔函数的所有正根,将函数 f (x)=1-x2(0<x<1)展为零阶贝塞尔函数级数形式,
2 ( 0 )0
1
( ) 1 kk
k
f x x A J w x
1 2 ( 0 )
02 ( 0 ) 0
1
2 ( 1 )
kk
k
A x x J w x d xJw
解：由展开定理：
令：,则：(0)ku w x?
( 0 ) 2
0222 ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 )
1
2 ( 1 )kw
k
k kk
uuA J u d u
Jw ww
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
( 0 ) 2
0222 ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 )
1
2 ( 1 )kw
k
k kk
uuA J u d u
Jw ww
( 0 ) 2
0222 0( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
2 ( 1 )kw
k k k
uu J u d u
w J w w
( 0 ) 2
1222 0( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
2 ( 1 )kw
k k k
u d u J u
w J w w
( 0 )
( 0 )22
112 2 22 0( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1 0
2
( 1 ) 2
k
k
w
w
k k k k
uu
u J u J u d u
w J w w w
( 0 )
2
14 2 0( 0 ) ( 0 )
1
4 kw
kk
u J u d u
w J w
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
3( 0 ) ( 0 )1
8
kkw J w
2 ( 0 )
03( 0 ) ( 0 )
1 1
8( ) 1,[ 0,1 ]
k
k kk
f x x J w x x
w J w
所以，展开式为：
(二 )、贝塞尔函数的应用例 2 设有半径为 b,高为 h的均匀圆柱体，下底和侧面保持零度，上底温度分布为 r2，求圆柱内的稳定温度温度分布规律解：在 柱坐标下，定解问题为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
2
0
0
1
0,0,0
0,
0,
r r r z z
z z h
R b r
u u u r b z b
r
u u r
uu
采用分离变量法求解
(,) ( ) ( )u r z R r Z z?
(1)、变量分离得：
1RR
Zr
RZ
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
得：
(2)、求固有值问题
22
0
0
0,r b r
r R rR r R
RR
( ) ( ) 0Z z Z z
22
0
0
0,r b r
r R rR r R
RR
这是一个零阶贝塞尔方程问题，其通解为：
1 0 2 0
0
( ) ( ) ( )
0,r b r
R r C J r C Y r
RR
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
2 0C?
注意到：
得：
00l i m ( )x Yx
于是得：
2
( 0 )
( 0 )
0
( 1,2,..,.)
( ) ( )
n
n
n
n
b
n
R r J r
b
另一个常微分方程的解为：
() zzn n nZ z A e B e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
4.一般解为：
( 0 ) ( 0 )
nnzz
bb
nnA e B e
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
0
1
()
nnzz
nbb
nn
n
u A e B e J r
b
由初始条件：
20 0,z z hu u r
0nnAB
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
于是得：
所以，按贝塞尔函数展开定理得：
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
2
0
1
()
nnzz
nbb
nn
n
A e B e J r r
b
( 0 ) ( 0 )
2
0
1
2 ( )nnn
n
A s h h J r r
bb
( 0 ) ( 0 )
3
02 0
2 ( 0 )
1
1
()
()
2
b
nn
n
n
A s h h r J r d r
bbb
J
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
( 0 )
3
0( 0 )
0
22 ( 0 )
1
1
()
()
b
n
n
n
n
A r J r d r
b
s h h b J
b
下面计算：
( 0 )
3
00 ()
b n
nI r J r d rb
( 0 )
4
3
0( 0 ) 0 ()
n
n
b t J t d t?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
( 0 )
4
2
1( 0 ) 0 ()
n
n
b t d tJ t?
( 0 )
( 0 )
4
22
1 0 1( 0 ) 0( ) 2 ( )
n
n
n
b t tJ t t J t d t
( 0 )
4
3( 0 ) ( 0 ) 2
1 2 0( 0 ) ( ) 2 ( )
n
nn
n
b J t J t
4 ( 0 )
3( 0 ) ( 0 ) 2
1( 0 ) ( 0 )
2 ( )() n
nn
nn
Jb J
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
( 0 ) ( 0 )
21 ( 0 )
2( ) ( )
nn
n
JJ
由递推公式得：
所以，
( 0 )
3
00 ()
b n
nI r J r d rb
4
( 0 )
1 2( 0 )
( 0 )
4
( ) 1n
n n
b
J?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
2
2( 0 )
( 0 )
( 0 ) ( 0 )
1
4
1
()
n
n n
nn
b
A
J s h h
b
所以，定解问题的解为：
( 0 ) ( 0 )
0
2
2( 0 )
( 0 )
1 ( 0 ) ( 0 )
1
()
4
(,) 2 1
()
nn
n n
n
nn
J r s h z
bb
u r z b
J s h h
b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
2
10
2
00
1
( ),1,0
0,
0,1
tt r r r
r r r
t t t
u a u u r t
r
uu
u u r
采用分离变量法求解
(,) ( ) ( )u r t R r T t?
(1)、变量分离例 3，求定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
得：
(2)、求固有值问题
22
10
0
0,rr
r R rR r R
RR
2( ) ( ) 0T t a T T
22
10
0
0,rr
r R rR r R
RR
这是一个零阶贝塞尔方程问题，其通解为：
1 0 2 0
10
( ) ( ) ( )
0,rr
R r C J r C Y r
RR
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
2 0C?
注意到：
得：
00l i m ( )x Yx
于是得：
2( 1 )
( 1 )
0
( 1,2,,,,,)
( ) ( )
nn
nn
n
R r J r
另一个常微分方程的解为：
( 1 ) ( 1 )( ) c o s s i nn n n n nT t A a t B a t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
4.一般解为：
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0
1
c o s s i n ( )n n n n n
n
u A a t B a t J r
由初始条件：
0nA?
2000,1t t tu u r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
于是得：
1 2 ( 1 )
02 0( 1 ) ( 1 )
0
1 ( 1 ) ( )
()
nn
nn
B r J r rd r
a J r
( 1 ) ( 1 )03
( 1 ) ( 1 )1
0
41 s in ( )
()
nn
n nn
u a t J r
a J
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
作业
P198习题 7.3第 1,2,3题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
Thank You !
