电子科技大学：数学物理方程：ppt5

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
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n
2
二阶线性偏微分方程理论第二章 定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容与 δ 函数
(一 )、二阶线性偏微分方程理论
(二 ),δ函数
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t
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n
3
(一 )、二阶线性偏微分方程理论基本概念
1,线性算子
T为算子，若 T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2,称 T
为线性算子
2,二阶线性偏微分算子
cybxbyayxaxaL 212
2
22
2
122
2
11 2
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x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
1
n
4
于是 二阶线性偏微分方程
fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2
可以简记为：
fLu?
齐次形式为：
0Lu?
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0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
1
n
5
H n3.边界条件算子主要判定方法有,M判别法，柯西一致收敛准则，狄里赫列判别法，阿贝尔判别法。
4.函数项级数的一致收敛定义：对级数
1
()n
n
ux?
若对 0,N
当 n>N时，对任意 (,),x a b
n有S ( x ) - S ( x )
称级数一致收敛于和函数 S(x).
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
原理 1：
(1 )iiL u f i n
11
nn
i i i i
ii
L c u c f


意义：欲求叠加原理
Lu f? 的解，如果
1
n
ii
i
f c f

且求出 (1 )
iL u f i n 的解为,(1 )iu i n
则
1
n
ii
i
cu
为方程 Lu f? 的解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
( 1,2,)iiL u f i
11
i i i i
ii
L c u c f



说明：原理 2是原理 1的有条件推广。条件是算子 L与和号能交换次序。
叠加原理原理 2：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
其中,M表示自变量组,M0为参数组,
0,MMfLu?
设 u(M,M0)满足线性方程 (线性定解条件 )
叠加原理原理 3：
且积分
00( ),
v
U M u M M dM 收敛，
并满足 L中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么 U(M)满足方程 (或定解条件）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
00( ),
v
L U M f M M d M
叠加原理说明：原理 3可以理解为：若
0,MMfLu?
那么,
00( ),
v
L U M f M M d M
00( ),
v
U M u M M dM
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
叠加原理原理 3的证明：
00( ),
v
L U M L u M M dM
00,
v
L u M M d M
00,
v
f M M d M
主要假定了 L与积分号的次序可交换！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
叠加原理定理：非齐次线性方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
例 1 求泊松方程,
的一般解 。
222 1 2 1 2u x y
解,(1)先求出方程的一个特解 u1
由方程的形式可令 u1=ax4+by4,代入方程可得：
441u x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
(2)、求对应齐次方程通解
x
iy


对应齐次方程为：
2 0u
作变换：
则齐次方程化为：
0uu
再作变换：
a
b




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
方程化为：
u f x i y g x i y
0abu?
齐次方程通解为：
原方程通解为：
44()u f x i y g x i y x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
齐次化原理 1
齐次化原理

2
3
2,(,)
0,,tt
L M R t
t
fM
t











0,0
)0,(,,
00
3
2
2
tt t
u
u
tRMMtfLu
t
u
..0,;tu W t M d
如果
(,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
含参变量积分求导法则定理 (,),ff x u
u 在 (,)R a x b u
上连续，而 a(u),b(u)在 [α,β ]上可导，且对任意 u属于 [α,β]，有,( ),( ) )a a u b a b u b
则：
()
()
() ( ( ),) ( ) ( ( ),) ( )bu
au
d u f dx f b u u b u f a u u a u
du u


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
..0,;tu d t M ttt
t d
t
.
0.

00ttu
22,
22,0
,;t
t
tMu d
t t t?




MtfLu
MtfdL
t
,
,
.
0.




证明：首先，
0 0tu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
齐次化原理 2



0
)0,(,,
0
3
tu
tRMMtfLu
t
u



,,
,,,3
Mf
tRML
t
t

..0,;tu W t M d
如果 (,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
例 2、若 V(x,t,τ)是定解问题
2
0
0
0,0,
0.
t x x
x x L
t
h
u a u u
c
uu
u?






..0(,),;tu x t V x t d
是定解问题的解，则：
2
2
0
0
0,0,
0.
t x x
x x L
t
h I R
u a u u
cc
uu
u







的解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
2.
.0
(,,)
t
t
u V I Rd V x t
t t c?




证明：首先，
0 0tu
其次，因 V(x,t,τ)是齐次定解问题的解，因此，不难证明
0 0,0,x x Luu
2
22
0
()tt x x x xh V h I Ru a u u a V V dc t c c
2IR
c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
解的适定性满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。
解的稳定性是指若定解条件有微小变化，
其解也只有微小变化只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
1,定义
δ 函数是指满足下面两个条件的函数
(二 ),δ函数
0
0
0
0,( 1 ),( )
,
xxxx
xx?


0
0
0
1,(,)( 2 ),( )
0,(,)
b
a
x a bx x d x
x a b?


几点说明：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
(1),几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为 1。
(2)、物理意义
x0 x
δ (x-x0)
定义中条件 (1)反映物理量集中在 x0处，该处称为点源；条件 (2)反映物理量有限。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
例 3、两端固定的长为 L的弦，密度为 ρ,初始时刻在 x0处受到冲量 I的作用。求初速度和定解问题。
解,(1)
x0
u(x,t)
xL0
0
0
0
,
0,t t
xx
u
xx?



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
(2) 由动量定理 FΔ t= Δmv得：
0
L
tI u d x
所以有,00
0
0
( ),
0,
tt
I x x x x
u
xx




定解问题为：
2
0
00
00
0
0,0
( ),
0,
0,
tt x x
x x L
t t t
u a u
uu
I
x x x x
uu
xx









0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
例 4、一根长为 L的导热杆，密度为 ρ,比热为 c，初始时刻在 x0处用火焰烧了一下，传杆的热量为 Q。求初始温度分布和定解问题。
解,(1)
x0
u(x,t)
xL0
0
0
0
,
0,t t
xx
u
xx?



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
(2)
0
LQ c u d x
所以有：
00
0
0
( ),
0,
t
Q x x x x
cu
xx




定解问题为：
2
0
00
0
0
0,0
( ),
0,
t x x
x x L
t
u a u
uu
Q
x x x x
cu
xx








0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
例 5、只在 t=0有单位电量通过导线，则电流强度因为
( ) ( )i t t
0
,0
0,0t
tu
t?


为什么？
1,0()
0,0
tqt
t


2,性质
(1)筛选性质：对任意连续函数 φ (x),有：
00( ) ( ) ( )x x x d x x



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
所以，
0xx?证明：由于
(2)δ 函数是偶函数,即：
( ) ( )xx
有
0( ) 0xx
00( ) ( ) ( )x x x d x x



证明：由于对任意连续函数 φ (x),有
( ) ( ) (0 ) ( ) ( )x x d x x x d x


所以，
( ) ( )xx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
δ 函数的导数定义：设定义的算符 δ (n)称为 δ (x)的 n阶导数。
合理性解释：作形式分部积分：
1()f x C?
由
( ) ( )( ) ( ) ( 1 ) ( 0 )n n nx f x d x f


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )x f x d x x f x x f x d x f


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
1,定义
δ 函数是指满足下面两个条件的函数高维 δ函数
0
0
0
0,( 1 ),( )
,
MMMM
MM?


3
0( 2),( ) 1
R
M M dx dy dz
物理解释：表示点源的广义函数。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
例 6、在 M0处放置单位电荷，则电荷体密度为 δ 函数。
三维 δ 函数与一维 δ 函数的关系：
(,,) ( ) ( ) ( )x y z x y z
2,性质
(1)筛选性质：对任意连续函数 f(M),有：
3
00( ) ( ) ( )
R
M M f M dM f M
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
(2)δ 函数是偶函数,即：
( ) ( )MM
00( ) ( )M M M M
例 7、求证：
2
2
s in ( )( ) l im
u
xux
xu

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
分析：需证明等式右端满足 δ 函数两条件。
2
20
s i n ( )l i m [l i m ] l i m
u x u
xu u
xu

又当 x不等于 0时有：
2
22
s in ( ) 10 xu
x u x u

证明：当 x=0时，考虑到：
2
2
s in ( )l im 0
u
xu
xu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
2
20
0,0s i n ( )
l i m
,0x
xxu
xxu?



由于
22
2 2 2
s i n ( ) s i n ( ) ( ) 1x u x ud x d x u
x u x u



2
2
s in ( )l im 1
u
xu dx
xu?



2
2
s in ( )( ) l im
u
xux
xu

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
例 8、求证：
0
1 ()
4 MMr


其中证明：当 M不等于 M0时，直接计算可得：
03,M M R?
2 2 2
0 0 0( ) ( ) ( )r x x y y z z
1 0
4 r?


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
另一方面：
11 ( ) 1
44KS d V d Sr r r



0
1 ()
4 MMr


所以：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
作业
P40习题 2.5第 1,2题
P45习题 2.6第 1,3题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
Thank You !