0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
非齐次边界条件定解问题求解本次课主要内容
(一 )、边界条件齐次化方法
(二 )、分离变量法总结
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
(一 )、边界条件齐次化方法
1、一般方法
)(),(
)(),(
)0,0(),,(
00
210
2
2
2
2
2
x
t
u
xu
tuutuu
tLxtxf
x
u
a
t
u
tt
Lxx
讨论如下定解问题边界条件齐次化：
采用未知函数代换法,),(),(),( txWtxVtxu
选择适当的 W(x,t)，使关于 V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
具体过程：
(1)、作代换：
(2)、将代换式代入定解问题中得：
),(),(),( txWtxVtxu
22
0 0 1 2
0 0 0 0
(,),( 0,0 )
( ),( )
( ),( )
tt tt x x x x
x x x L x L
t t t t
V W a V a W f x t x L t
V W u t V W u t
VW
V W x x
tt
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
(3)、选择 W(x,t)，使关于 V(x,t)定解问题边界条件齐次！
由 (2)、只要 W(x,t)满足如下条件即可：
0 1 2( ),( ) *x x LW u t W u t
W(x,t)如何选取？
W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法选择 W(x,t)
令：
)()(),( tBxtAtxW
由 *可得：
)()(,)()(1)( 112 tutBtutuLtA
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
2 1 11(,) ( ) ( ) ( )W x t u t u t x u tL
x
L
uuuVu 12
1
于是得 W(x,t)的一种选择式为：
将下式代入原定解问题中,22
2
122
0
0 1 0 1
(,),(0,0 )
0 * *
( ),( )
x x L
tt
VV
a f x t x L t
tx
VV
V
V x x
t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
x
L
uu
uxx
x
L
uu
uxx
x
L
tutu
tutxftxf
)0()0(
)0()()(
)0()0(
)0()()(
)()(
)(),(),(
12
11
12
11
12
11
其中：
(**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用函数分解法进一步求解！
注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出需要的 W(x,t),具体过程如下：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
(1)、若边界条件为：
作代换,),(),(),( txWtxVtxu
0 1 2( ),( )x x x Lu u t u u t
得 W(x,t)需要满足的条件为：
0 1 2( ),( )x x x LW u t W u t
可令：
)()(),( tBxtAtxW
12(,) ( ) ( )W x t u t u t x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
(2)、若边界条件为：
作代换,),(),(),( txWtxVtxu
0 1 2( ),( )x x x Lu u t u u t
得 W(x,t)需要满足的条件为：
0 1 2( ),( )x x x LW u t W u t
可令：
)()(),( tBxtAtxW
1 2 2(,) ( ) ( ) ( )W x t u t x u t u t L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
(3)、若边界条件为：
作代换,),(),(),( txWtxVtxu
0 1 2( ),( )x x x x Lu u t u u t
得 W(x,t)需要满足的条件为：
0 1 2( ),( )x x x x LW u t W u t
可令：
2(,) ( ) ( )W x t A t x B t x
221
1
( ) ( )(,) ( )
2
u t u tW x t u t x x
L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
例 1,设弦的一端 （ =0） 固定,另一端 （ x=L） 以 sinωt,
作周期振动,这里 ω≠ nπ a/L(n=1,2… )且初值为零 。 试研究弦的自由振动 。
解：依题意，得定解问题
22
2
22
,0,0
( 0,) 0,(,) s i n,
(,0) 0,(,0) 0
t
uu
a x L t
tx
na
u t u L t t
L
u x u x
令,),(),(),( txWtxVtxu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
由边界条件特点，如果设：
(,) s i nxW x t tL
可以保证关于 V(x,t)的定解问题是齐次边界条件，
定解问题如下：
2 2 2
2
22
si n,0,0
( 0,) 0,(,) 0
(,0) 0,(,0)t
V V x
a t x L t
Ltx
V t V L t
x
V x V x
L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
该定解问题继续用函数分解方法可以求出。但是，
是否可以恰当选择 W(x,t)，使关于 V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？
由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化，
可假定：
(,) ( ) s i nW x t X x t
将 u(x,t)=V(x,t)+X(x)sinωt代入定解问题中分析，要使关于 V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件，只需 X(x)满足：
2
2
0
( 0 ) 0,( ) 1
XX
a
X X L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
1
( ) c o s s i nLxXx aa
t
a
L
a
x
txW?
s in
s in
s in
),(?
求出 X(x)的解为,
于是
),(),(),( txWtxVtxu将代入原定解问题中得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
1
22
1
s i ns i n)()( )1(2),(
n
n
L
xn
L
atn
anLaLxtV
a
L
a
x
xVxV
LtVtV
x
V
a
t
V
t
s i n
s i n
),0(,0),0(
0),()0,(
2
2
2
2
2
由分离变量得：
原定解问题解为：
11
22
1
( 1 )(,) 2 s i n s i n s i n s i n
( ) ( )
n
n
n a t n x L xu t x a L
L n a L L a a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
2、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与 t无关，则可以令：
可以把关于 V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。
(,) (,) ( )u x t V x t W x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
例 2 求如下定解问题
0
,0
)0,0(,
00
0
2
2
2
2
2
tt
Lxx
t
u
u
Buu
tLxA
x
u
a
t
u
解,令 )(),(),( xWtxVtxu
将其代入定解问题中得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
BWW
AxWa
Lxx,0
0)(
0
2
xLBaALxaAxW 222 22)(
0),(
0
)0,0(,
00
0
2
2
2
2
2
tt
Lxx
t
V
xWV
VV
tLx
x
V
a
t
V可将其分解为：
22
00
00
( ),(0,0 )
0,
( ) 0,0
t t x x
x x x L x L
t t t
V a V a W x A x L t
V W V W B
V W x V
于是得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
1
s i ns i nc o s),(
n
nn xL
nt
L
anDt
L
anCtxV
由分离变量得一般解为：
由初值条件得,
1
s in)(
n
n xL
nCxW?
12
2
2 s i n22 n n xL
nCx
L
B
a
ALx
a
A?
由傅立叶级数展开得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
Ln x d xLnxLBaALxaALC 0 222 s i n222?
nB
na
AL
nna
AL
x d x
L
n
x
L
B
a
A
x d x
L
n
x
La
A L L
c o s
22
s in
2
s in
222
2
332
2
0 022
2
2
1
2
2
2 s i nc o s22),(
n
n xL
nt
L
anCx
L
B
a
ALx
a
Atxu
所以，原定解问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
主要步骤,
1、根据边界的形状选取适当的坐标系 。 原则是使边界条件表达式最简单。若边界是圆、扇形，
柱形，球形，要使用极坐标，柱面坐标和球坐标表示定解问题；
2、若边界非齐次,作函数代换化为齐次边界问题 ；
3、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件，采用函数分解方法将定解问题进行分解。分解后考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。
(二 )、分离变量法总结
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
应用举例
22
2
22
0
00
22
s in c o s,(0,0 )
3,6
4
3 ( 1 ),s in
x x L
tt
uu
a x x x l t
t x l l
uu
xu
ux
l t l
解,令 )(),(),( xWtxVtxu
将其代入定解问题中得：
例 3 求如下定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
2
0
22( ) s i n c o s 0
3,6x x l
a W x x x
ll
WW
2
22
4( ) s i n 3 1
32
lxW x x
a l l
22
2
22
0
00
,( 0,0 )
0
4
3 ( 1 ) ( ),
x x L
tt
VV
a x L t
tx
VV
xV
V W x x
l t l
可将其分解为：
22
00
00
22
( ) s in c o s,( 0,0 )
3,6
4
( ) 3 ( 1 ),s in
tt x x
x x x L x L
t t t
V a V a W x x x x l t
ll
V W V W
x
V W x V x
ll
于是得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
1
(,) c o s s i n s i nnn
n
n a n a nV x t C t D t x
l l l
由分离变量得一般解为：
由初值条件得：
由傅立叶级数展开得：
1
3 ( 1 ) ( ) s inn
n
xnW x C x
ll
1
4s i n c o s
n
n
n a n ax D x
l l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
2
220
2 s in s in
32
l
n
l n nC x x d x
l a l l
2
22
0,4
,4
32
n
l
n
a?
0
24 s i n s i nl
n
nD x x d x
n a l l
0,4
,4
4
n
l
n
a?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
所以，定解问题的解为：
2
22
4 4 4(,) c o s s in s in
3 2 4
l a l a xV x t t t
a l a l l
原定解问题的解为：
2
22
2
22
4 4 4
(,) c os si n si n
32 4
4
si n 3 1
32
l a l a x
u x t t t
a l a l l
l x x
a l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
0
0
(,) ( 0,0 )
( ),( )
( ),( )
x x y y
x x a
y y y y b
u u f x y x a y b
u g y u h y
u x u x
解,令 (,) (,) (,)u x y V x y W x y
取：
例 4 求如下定解问题
2( ) ( )(,) ( )
2
xxW x y y x y
b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
0
0
(,)
( ),( ) ( * )
0,0
x x y y
x x a
y y y y b
V V F x y
V G y V H y
VV
得定解问题为：
其中：
2
2
2
( ) ( )
(,) (,)
2
( ) ( )
()
( 0 ) ( 0 )
( ) ( ) ( 0 )
2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
xx
F x y f x y y
b
xx
xy
b
G y g y y y
b
aa
H y h y y a y
b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
对于 (*),采用固有函数值法求解可令：
代入 (*)中得：
0
(,) ( ) c o sn
n
nV x y X x y
b
2
0
0
0
c os (,)
( 0) c os ( )
( ) c os ( )
nn
n
n
n
n
n
n n y
X X F x y
bb
ny
X G y
b
ny
X a H y
b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
于是由傅立叶余弦展开公式有：
其中：
00
00
00
( ) ( )
( 0 )
()
X x F x
XG
X a H
0
0
0
0
0
0
1
( ) (,)
1
()
1
()
b
b
b
F x F x d
b
G G d
b
H H d
b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
当 n≠0 时 有：
其中：
2
( ) ( ) ( )
( 0 )
()
n n n
nn
nn
n
X x X x F x
b
XG
X a H
0
0
0
2
( ) (,) c os
2
( ) c os
2
( ) c os
b
n
b
n
b
n
n
F x F x d
bb
n
G G d
bb
n
H H d
bb
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
通过计算，得到微分方程的解为：
00
0 0 00( ) ( )
aHGX x x G x F d
a
和
( ) ( )
1
()
n n n n
nn
n
n
sh x
n n a b
X x G c h x H G c h
nbb
c h a
b
n a n
H G c h sh x
nbb
sh a
b
n
H c h x
b
把它们代入所令一般解表达式即可得定解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
例 5 解环形域内的定解问题,
2222 byxa
0,1
12
222222
22
2
2
2
2
byxayx n
u
u
yx
y
u
x
u
分析：定解问题属于环形域内的泊松方程定解问题，因此，不能直接分离变量求解。但是，通过观察方程特征，很容易发现其泛定方程的特解形式为：
44(,)u x y a x b y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
因此可采用特解化简方法化泊松方程为拉普拉斯方程解：设方程特解形式为,44),( byaxyxV
44V x y得：
又令 (,) (,) (,)u x y V x y W x y
代入定解问题并采用极坐标得：
2
22
4
3
11
( ) 0,( )
(,) (,) (,) 1 c o s 2
4 c o s 2
r b r b
uu
W a r b
W a u a V a a
W u V
b
r r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
1
00 s inc o s
n
nn
n
n
n
n nDnCrBrAL n rBAW
极坐标系下拉氏方程的一般解为：
根据等式特点，可令：
4 00
1
1 c o s 2 c o s s i nnnn n n n
n
a A B L n a A a B a C n D n
由边界条件得：
220 0 2 2(,) ( ) c o s 2W r A B L n r A r B r
3 1 10
1
4 c o s 2 c o s s i nnnn n n n
n
Bb n A b n B a C n D n
b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
1
0
00
0
Ln aBA
b
B
33
22
42
2
2
2
2 bbBbA
aaBaA
所以有：
4 2 20 0 2 21 c o s 2 ( ) c o s 2a A B L n a A a B a
33 0
224 c o s 2 ( 2 2 ) c o s 2
Bb A b B b
b
通过比较系数得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
44
2244
2
44
66
2
0
0
2
2
0
1
ba
baba
B
ba
ba
A
B
A
2c o s221 2
44
2244
2
44
66
4?
r
ba
babar
ba
barWVu
得：
原定解问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
作业
P76— 77习题 3.6第 2,4,5,6题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
Thank You !
