0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
方程的化简与分类
(一 )、方程化简、特征方程第二章 定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容
(二 )、方程分类
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
一般形式：
fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2
对象,含两个变元的二阶线性偏微方程。
a11,a12,a22,b1,b2,c,f只是关于 x,y的函数；
(一 )、方程化简、特征方程
cu+f=0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐次方程。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
cybxbyayxaxaL 212
2
22
2
122
2
11 2
引入 二阶线性偏微分算子：
fLu?
则上面一般形式方程可简记为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
化简方法讨论


yx
yx
,
,
2
1


总的思路是：通过恰当实可逆变换：
fucububuauaua 121221211 2
这里化简是指局部化简！
将方程化为如下形式：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
具体分析过程


yx
yx
,
,
2
1


假设引入实可逆变换：
fucububuauaua 121221211 2
将原方程变换为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a


那么下面的等式成立。
12,,,b L c b L c c c f f
其中：
xy
xy
Q





0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8





yyxyyxxx
yyxx
yyxx
aaaa
aaaa
aaaa



22121112
2
2212
2
1122
2
2212
2
1111
2
2
注意到如下等式：
如果,
12,,,x y x y
为方程：
22
1 1 1 2 2 220x x y ya a a
的解，那么：
1 1 2 20,0aa
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
22
1 1 1 2 2 22 0 ( 1 )x x y ya a a
所以，变换就转化为如下方程求解问题！
考虑常微分方程：
可以证明如下结论：
2
1 1 1 2 2 22 0 ( 2 )
d y d ya a a
d x d x


(,)xy? 是 (1)的解的充分必要条件是
(,)x y c 确定的 y=y(x)是 (2)的解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
x
y
dy
dx

证明：
将 (3)代入 (1)得：
""?
如果 (,)xy? 是 (1)的解，且设 a11与
y?
不等于 0。
(,)x y c 两边对 x求导得：
(3 )xy dydx
2
1 1 1 2 2 2( ) 2 ( ) 0 ( 4 )y y y y
d y d ya a a
d x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
同理可证。
(4)两边除以
2
1 1 1 2 2 220
d y d ya a a
d x d x


2y?
""?
2
1 1 1 2 2 22 0 ( 2 )
d y d ya a a
d x d x


称方程 (2)为特征方程，即：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
由 (2)得：
令：
2
1 2 1 2 1 1 2 2
11
22
2
a a a ady
d x a

2
1 2 1 1 2 2a a a
情形 1,0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
(2)的两个线性无关通解为：
11(,),(,)x y c x y c
1
2
(,)
(,)
xy
xy




1 2 1 2 12 a u b u b u c u f
作变换：
得到：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14


ts
ts
再作变换
1fhueuduuu sttss
第二标准形
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
0
12(,) (,)x y x y i c
1
2
(,)
(,)
xy
xy




1 1 1 1 1 2 1a u a u b u b u c u f
情形 2：
(2)的两个解为：
作变换：
得到：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
0
(,)x y c
(,)
()
xy
xy



或
2 2 1 2 1a u b u b u c u f
情形 3：
(2)的通解为：
作变换：
得到：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
方程化解方法总结
1、写出特征方程：
2、计算
2
1 1 1 2 2 220
d y d ya a a
d x d x


2
1 2 1 1 2 2a a a
3、作变换
(1)、
0
1
2
(,)
(,)
xy
xy




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
方程化解方法总结
(2)、
0
1
2
(,)
(,)
xy
xy




12(,) (,)x y x y i c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
方程化解方法总结
(3),0
(,)
()
xy
xy



或
(,)x y c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
方程化解方法总结
4、求出变换方程：
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a


12,,,b L c b L c c c f f
其中：
xy
xy
Q





0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
(二）、二阶线性方程分类
21 2 1 1 2 2a a a
0(1) 双曲型
0 抛物型
0
椭圆型
(2)
(3)
说明：分类也指点的邻域内的分类！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
例 1 求方程 的通解02 xxtt uau
解：此方程是双曲型的第二标准形,但我们要求解它可将其化成第一标准形的形式,所以先得由特征方程求特征函数：
02
2


a
dt
dx
adtdx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23


atx
atx
1
1
xy
xy
aQ
a





所以
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a


2
1 1 0
1 0 1 1
a a a
aa


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
2
1 1 0
1 0 1 1
a a a
aa


2
2
02
20
a
a



1 0b L c
2 0,0b L c c f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
可得
0u



1
12
12
ug
u g d f
ff




是原方程的解atxfatxfu
21
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
例 2 化下面方程为标准型
4 5 2 0x x x y y y x yu u u u u
2dy idx
解,2
1 2 1 1 2 2 10a a a
方程属于椭圆型
2yx
x


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
21
10
xy
xy
Q





所以
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a


2 1 1 2 2 1
1 0 2 5 1 0


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
10
01


1 0b L c
2 1,0b L c c f
0u u u可得 标准型：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
例 3 证明二阶线性偏微分经过可逆变换后，
其类型保持不变。
证明：设方程：
fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2
经过可逆变换：


yx
yx
,
,
2
1

化为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
fucububuauaua 121221211 2
因为：
22 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )x y y xa a a a a a
所以：
0 0,0 0,0 0
即变形不改变方程类型。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
作业
P36习题 2.4第 1题的 (1),(3)
第 2题的 (2),(4),(6)
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
Thank You !