电子科技大学：数学物理方程：ppt24

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容贝塞尔函数及其性质
(一 )、贝塞尔方程
(二 )、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数
(三 )、贝塞尔函数的母函数及递推公式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
例 设有半径为 R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律


2 2 2
22
2 2 2 2
22
0
,
,
0
t
x y R
u u u
a x y R
t x y
u x y
u






(一 )、贝塞尔方程定解问题为：
采用分离变量法求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
)(),(),,( tTyxVtyxu?
2( ) ( ) 0 ( 1 )T t a T t
(1)、时空变量分离令：
得：
22
22 0 ( 2 )
VV V
xy?


(2)、空间变量分离对 (2)，采用极坐标并考虑边界条件得：
22
2 2 2
11
0,( )
( 3 )
0R
V V V
VR
V?






0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
)()(),( PV
22( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 5 )P P P
令：
得,( ) ( ) 0 ( 4 )
(3)、求固有值问题

( ) ( ) 0
2





固有值为：
2,( 0,1,2,,,,,)n nn
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
),2,1(,s inc o s)(
)(
2
)( 00


nnbna
a
nnn
为常数
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0
( 6 )
( ) 0,( 0 )
P P n P
P R P



固有函数为：
另一个固有值问题为：
为使该分离变量求解能进行下去，需要求解 (6)中常微分方程。在分离变量求解中常常遇到这种方程。
再看一个例子：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波在底半径为 1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初速为 1-ρ 2 。求其传播规律（假设对极角 θ对称）
2
10
2
00
1
( ),( 0,0 1 )
0,
0,1
tt
t t t
u a u u t
uu
uu








定解问题为：
(1)、分离变量
)()( tTRu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
0)()( 2 tTatT?
22 0R R R
22
10
0
(7 )
0,
R R R
RR





(2)、求固有值问题
(7)中方程与 (6)中方程形式相同！
对 (5)中方程，作变换,并记：r
() rF r P
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 8 )r F r r F r r n F r
得到：
定义 1：形如 (8)的常微分方程称为 n阶贝塞尔方程，
n是实数或复数,
(二 )、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数假定方程形式为：
0)( 222
2
2 ynx
dx
dyx
dx
ydx
同时假定,0?n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
假定方程有一个级数解形式为
20 1 2 0( ),0ck ky x a a x a x a x a
0
ck
k
k
ax

把假定解代入方程中确定 c与 ak(k=0,1,2,…,.)
代入方程得,


0
22 0.1.
k
kc
k xanxkckckc
化简后得：
0....1.
2
2
221
1
22
0
22
k
kc
kk
cc xaankcxancxanc
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
于是得下列各式：
0)( 220 nca 01 221 nca
),3,2(,0222 kaankc kk
于是得到：
nc 01?a
暂取,,由此得：
nc?
2 ( 2,3,.,,,)
( 2 )
k
k
aak
k n k

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
01?a由 得：
07531aaaa
0
2 2 ( 2 2 )
aa
n

而
0
6 2 4 6 ( 2 2 ) ( 2 4 ) ( 2 6 )
aa
nnn


0
4 2 4 ( 2 2 ) ( 2 4 )
aa
nn
0
2 ( 1 ) 2 4 6 2 ( 2 2 ) ( 2 4 ) ( 2 2 )
m
m
aa
m n n n m
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
)()2)(1(!2
)1(
2
0
mnnnm
a
m
m


于是得假定解的一般项为：
)()2)(1(!2)1( 2
2
0
mnnnm
xa
m
mn
m

0
1
2 ( 1 )na n
选取,
)1(!2
1)1(
22 mnma mn
m
m
得,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
于是得到 n阶 Bessel方程的一个特解为：
2
1 2
0
( ) ( 1 ),( 0 )2 ! ( 1 )
nm
m
nm
m
xy x n
m n m


定义 2,n阶第一类 Bessel函数 为：
)0(,)1(!2)1()(
0
2
2

nmnm xxJ
m
mn
mn
m
n
取 c=-n时,用同样方法可得另一特解：
2
20( ) ( 1 ),( 0 )2 ! ( 1 )
nm
m
n nm
m
xJ x n
m n m



2
2( 1 ),( 0 )2 ! ( 1 )
nm
m
nmmn
x n
m n m


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
定义 3：负 n阶第一类 Bessel函数 为：
2
20( ) ( 1 ),( 0 )2 ! ( 1 )
nm
m
n nm
m
xJ x n
m n m



对于正、负 n阶第一类贝塞尔函数，当 n为整数时，称为第一类整数阶贝塞尔函数,n为分数时，称为第一类分数阶贝塞尔函数。



n
n
n
n
x
n
xJ
x
n
xJ
)
2
(
)1(
1)(
0)
2
(
)1(
1)(
由于当 n非整数时有：
所以，正、负非整数 n阶贝塞尔函数是 n阶贝塞尔方程的两个线性无关特解，于是得非整数 n阶贝塞尔方程通解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
)()( xBJxAJy nn
由达朗贝尔判别法：
2
22
1l im l im 0
4 ( )
m
mm
m
a
a m m n

所以，第一类贝塞尔函数的收敛域为：
0 x
第一类贝塞尔函数一般是级数表达式，但一些特殊阶贝塞尔函数有初等函数形式。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
例 1、试证半奇阶 Bessel函数
x
x
xJ s i n2)(
2
1



0 22
1
2
2
1
2
1
)1
2
1
(!2
)1()(
m m
m
m
mm
x
xJ
证明：
12 )12(531)23( m mm?
由于：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
所以：
21
1
02
2 ( 1 ) 2( ) s i n
( 2 1 ) !
m
m
m
J x x xx m x


例 2、求如下贝塞尔方程通解
2
22
2
1( ) 0
4
d y d yx x x y
d x d x
解：这是 1/2阶贝塞尔方程
1
2
2( ) s i nJ x x
x 12
2( ) c o sJ x x
x
12
22s i n c o sy C x C x
xx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
整数阶贝塞尔函数
2()
2( ) ( ) ( 1 )
2 ! ( 1 )
m
nm
n
mn
x
xJx
m m n

性质：对于 n 阶整数阶贝塞尔函数有：
( ) ( 1 ) ( )nnnJ x J x
证明：
令,则m n l
22
0
()
2( ) ( ) ( 1 )
2 ( ) ! !
ln
n n l
n
l
x
xJx
n l l



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
2
0
()
2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )
! ( 1 )
ln
n l n
n
l
x
Jx
l n l


该性质表明：对于 n 阶整数阶贝塞尔函数,Jn(x)与 J-n(x)
是线性相关的，因此，不能由它们直接的线性组合写出对应的方程的通解。但如果定义：
( ) c o s ( )( ) *
sinn n
J x J xY x Li m



可以验证 *为 n阶贝塞尔方程的特解，且可以证明：
00( ),( ) (nnxxLi m Y x Li m J x C 常数）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
定义第二类 Bessel函数为：



0
1
0
2
2
00 1
1
)!(
)
2
()1(2
)
2
)((2)(
m
m
k
mm
km
x
cxLnxJxY

( ) c o s ( )( ) *
sinn n
J x J xY x Li m



利用洛比达法则可得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
5772.0)131211(

L n nnL i mc
n
结论：不论 n是否为整数,Bessel方程的通解都可表示为,
)()( xBYxAJy nn
1
2
0
2
11
0 0 0
2 1 ( 1 ) !
( ) ( ) ( ) ( )
2 ! 2
( 1 ) ( )
1 1 12
()
! ( ) ! 1 1
n
nm
nn
m
m n m
n m m
m k k
x n m x
Y x J x L n c
m
x
m n m k k









0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
1,Bessel函数的母函数（生成函数）
0
2
!
)
2
(
k
k
k
z
x
z
k
x
e?

0
2 )(
!
)2(1
l
l
l
zx z
l
x
e
(三 )、贝塞尔函数的母函数及递推公式考虑函数 (x为参数 )在 0<|z| <+∞
内罗朗展式
1()2(,) x z zG x z e
所以：
1
()
2
00
2
0
( 1 )
()
! ! 2
( 1 )
[ ( ) ] ( )
( ) ! ! 2
x l
z
k l k lz
kl
l
l n n n
n
n l n
x
ez
kl
x
z J x z
n l l








0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
为 Bessel函数的母函数。
1()
2(,)
x z
zG x z e
定义：称函数如果令：,则：
iiez?
c o s
0
1
( ) 2 ( ) c o si x n n
n
e J x i J x n

当 x为实数时：
02
1
c o s ( c o s ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) c o s 2m m
m
x J x J x m

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
21
0
s i n ( c o s ) 2 ( 1 ) ( ) c o s ( 2 1 )m m
m
x J x m

例 3,用母函数证明：



k
knkn yJxJyxJ )()()(
1( ) e x p ( )
2
n
n
n
xyJ x y z z z



证明：在母函数等式中用 x+y换 x 得：
11e x p ( ) e x p ( )
22
xyz z z z

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
( ) ( )kmkm
km
J x z J y z






k
knkn yJxJyxJ )()()(
( ) ( ) kmkm
km
J x J y z



( ) ( ) nk n k
nk
J x J y z




所以得到：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
2,Bessel函数的积分表达式罗朗展式的系数公式

C n
x
n d
e
i
xJ
,1
)1(
2
2
1)(?

取 C为单位圆
..
sin 1 ( sin )
.
.
11
( ) ( )
22
1
c o s( sin ),( 0,1,2,)
2
ix i n i i x n
nJ x e e ie d e d
i
x n d n










0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
3,Bessel函数的递推公式 (重点 )
12 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x

、
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
114 ( ) ( ) 2 ( )n n nJ x J x J x、
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
22
2
0
[ ( ) ] ( 1 ) 2 ! ( 1 )
nm
nm
n nm
m
d d xx J x
d x d x m n m


证明：因为：
11 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x?
、
21
21
0
1
( 1 )
2 ! ( )
()
nm
nm
nm
m
n
n
x
x
m n m
x J x




所以：
同理可证：
12 ( ) ( )
nn
nnx J x x J x

、
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
13 ( ) ( ) ( )n n nx J x n J x x J x、
14 ( ) ( ) ( )n n nx J x n J x x J x、
将 1与 2相加得：
将 1与 2相减得：
递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过递推公式，总可以把高阶贝塞尔函数化为 0阶与 1阶贝塞尔函数，然后查表计算。
同样道理，可以得到第二类贝塞尔函数递推公式：
11 [ ( ) ] ( )
nn
nn
d x Y x x Y x
dx、
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
12 [ ( ) ] ( )
nn
nn
d x Y x x Y x
dx

、
11
23 ( ) ( ) ( )
n n n
nY x Y x Y x
x、
114 ( ) ( ) 2 ( )n n nY x Y x Y x、
例 4,利用递推公式求,
3322( ) ( )J x J x?与解,在递推公式
11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
中取 n=1/2,得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
3 1 1
2 2 2
1( ) ( ) ( )J x J x J x
x
1 2 2s i n c o sxx
x x x
21 s i n c o sxx
xx?


11
23 ( ) ( ) ( )
n n nJ x J x n J xx、
在递推公式中取 n=-1/2,得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
3 1 1
2 2 2
1( ) ( ) ( )J x J x J x
x
例 5、计算：
dxxJx )(03
1 2 2c o s s i nxx
x x x
21 c o s s i nxx
xx?


解：注意到：
)())(( 1 xJxxJx nnnn
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
32
00( ) ( ( ) )x J x d x x x J x d x
32
11( ) 2 ( )x J x x J x dx
2 1 ()x d xJ x
3212( ) 2 ( )x J x x J x C
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
作业
P164习题 6.6第 1,4,6,7,8题
P164习题 6.7第 1,2题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
Thank You !