0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容平面特殊区域狄氏格林函数
(一 )、上半平面狄氏问题的 Green函数
(二 )、圆域上狄氏问题的 Green函数
(三 )、第一象限上狄氏问题的 Green函数
(四 )、上半圆域上狄氏问题格林函数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
(一 )、上半平面狄氏问题的 Green函数
00
0
,,( 0 )
0y
G x x y y y
G


问题相当于无限长接地 导线上方的电势。
M
M0
M1
x
y
o
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
所以：
分析：问题等价于上半平面 M0处电量为 ε0的正点电荷在 M
处产生的电势，且在 x轴上为 0。由镜像法,格林函数
G(M,M0)等于在 (x0,-y0)处置一电量为 - ε0的点电荷在 M处产生的电势与 M0处电量为 ε0的正点电荷在 M处产生的电势的叠加。
01
0
1 1 1 1(,)
22 M M M M
G M M L n L n
rr

并且有：
GG
ny


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
02 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1[]
2 ( ) ( ) ( ) ( )Ly
G L n L n
ny x x y y x x y y


0
22
00
1
()
y
x x y
即：
例 1、求上半平面上泊松与拉氏方程狄氏解解：由公式,0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n


得泊松方程狄氏解为：
00 22
00
1( ) ( ) (,)
() D
yu M x d x G f x y d
x x y


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
拉氏方程狄氏解为：
例 2、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：
解：由公式：
0
0,0(,0 )
,0
xux
ux


0
0 22
00
1( ) ( )
()
yu M x d x
x x y


0
0 22
00
0
0 22
0
00
1
( ) ( )
()
1
()
y
u M x d x
x x y
y
u d x
x x y





0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
0
0 220
00
1
()
u y d x
x x y?


00 0
2 20
0
0
11
( ) 1
u y d x
xxy
y



00
00 0
2 2 00
0
0
1 ()
( ) 1
y x xu y d
yxxy
y



0
00
0
1 a r c t a n xxu
y?


0
00
0
1 a r c t a n xxu
y?


00
0
a r c ta n2ux y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
0 2 2 2
0
(,),( )
0L
G M M M M D x y R
G


(二 )、圆域上狄氏问题的 Green函数圆域上狄氏问题 Green函数满足的定解问题为分析：圆域上狄氏问题 Green函数 G(M,M0)相当于圆内 M0处放置电量为 ε 0的正点电荷，而圆周接地的电势。
M
M0O M
1
其中,OM r?
11OM r? 00OM r? 0(,)rr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
延长 OM0至 M1,使 r1=R2/r0.
但是：
1
0 1 0
1 1 1 1 1l n l n l n
2 2 2
MM
M M M M M M
r
r r r
在 M0处置 一电荷密度为 ε0的无限长细杆,M1处置一电荷密度为 -ε 0的无限长细杆，两线在 M处产生的平面电势为,
1
00
11l n l n
22
MM
L
MM
r R
rr
所以，格林函数应该为：
1
0 1 0
0
0
1 1 1 1 1 1(,) l n l n l n l n
2 2 2 2
MM
M M M M M M
r RG M M
r r r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
解：
LR
GG
nr


因为：
22
0
22
00
1
2 2 c o s
Rr
R R R r r


例 3、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。
0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n


所以：
LR
GG
nr


22
00 2
2 00
1( ) (,)
2 2 c o sLD
Rru M d S G f x y d
R R R r r


所以，狄氏解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
00
2 2 2 22 2 2 2
0 0 0 0
c o s x x y y
x y x y x y x y


所以：
由于：
00 c osO M O M O M O M
所以，在极坐标系下，有：
0c o s c o s ( )
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( ) (,)
2 2 c o s ( ) D
Rru M d G f r r d r d
R R r r




从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：
在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( )
2 2 c o s ( )
Rru M d
R R r r




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
例 4、求圆域上拉氏方程狄氏解。
(1)、
解法 1:(格林函数法 )
0,1
(1,) ( )
ur
u


( ) c o sa
(2),( ) c o sba
选极坐标系，设圆内 M0(r0,θ0),则：
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( )
2 2 c o s ( )
Rru M d
R R r r




2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r a d
rr




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
令,则：
(a)采用留数计算上面积分 *
0()ize
于是得：
10 1c o s( ) ( )2 zz
令：
1d d z
iz 00 1
11c o s ( ) ( )
22 iiiie e ze z e
00 12
0
00 211
00
1 ()
( 1 ) 12(,)
2 1 ( )
ii
z
ze z ear
u r d z
izr z z r





002 2
0
1 00
( 1 )
4 ( 1 ) ( )
ii
z
ar z e e dz
i r z z r z



002
1 00( 1 ) ( )
ii
z
z e eI d z
r z z r z


1 ()z f z d z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
则：
所以,(1)的解为：
0 0 0 0
0
22
0 0 0 0
2 l i m l i m( 1 ) ( ) ( 1 )
i i i i
z z r
z e e z e ei
r z z r r z z





02 R e ( 0),0 R e ( ),I i s f s f z r
000 2
0
2
00 0
12
1
iii r e ee
i
rr r




00
0
2
0
()2
1
iir e e
i r



0 0 0 0(,) c o su r a r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
利用函数幂级数展开可得：
(b)采用级数展开法计算积分 *
2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r aId
rr




2
0
002
10 0 0
1 1 2 c o s ( )
1 2 c o s ( )
m
m
r rm
rr



所以，得：
2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r aId
rr




2
000
1
1 c o s 1 2 c o s ( )
2
m
m
a r m d


22
0000
1
1 c o s c o s c o s ( )
2
m
m
aa d r m d




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
2000
1
c o s c o s ( )m
m
a r m d


22
0 0 0 000
11
c o s c o s c o s c o s s i n s i nmm
mm
aar m m d r m m d




2
00 0c o s c o s c o s
a rd

2
000
1
c o s c o s c o sm
m
a r m m d


00co sar
当 时：( ) c o sba
22
00 2
0 0 0 0
11( ) ( )
2 1 2 c o s ( )
ru M d
rr




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
而：
2
2
0
20
0 0 0
2
2
0
20
0 0 0
1
2 1 2 c os( )
1 c os
2 1 2 c os( )
rb
d
rr
r a
d
rr




22
0 2
0 0 0 0
1
2 1 2 c o s ( )
rb d
rr



2
000
1
1 1 2 c o s ( )
2
m
m
b r m d


22
0000
1
1 c o s ( )
2
m
m
bb d r m d




b?
所以，有：
0 0 0 0(,) c o su r b a r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
(,) ( ) ( )uR
1、分离变量：
011 2 RRR
2 RR
R

代入方程得：
整理后可令比值为 λ,
解法 2:(分离变量法 )
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
2
0
0R R R



得两个常微分方程如下：
2、求解固有值问题




2
0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
(1) λ <0时，只有平凡解；
(2) λ =0时，
0 () 常数
(3) λ >0时，令 λ =β 2 得：
s i nc o s ba
结合周期条件,β 只能取正整数。于是得固有值：
2 1,2,)nn（
固有函数为：
c o s s i n ( 1,2 )n n na n b n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
3、求欧拉方程的解
2 0
( 0 )
R R R
R



(1)、对应于 λ 0= 0的解为：
0 ( ) l nR C D
由有限性得,D=0,于是有：
0 ()RC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
(2)、对应于 λ n= n2(n=1,2….)
2( 1 ) 0D D R D R n R
作变换,ρ =et 得：
2
2 nRdt?
2dR
即：
() nnn n nR C D
由有限性得,Dn=0,于是有：
() nnnRC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
4、求定解
( ) ( 0,1,2,)nnnR C n
一般解为：


1
0 s inc o s
2),( n nn
n nbnaau
由边界条件 (1)得：
0
1
c o s c o s s i n2 nn
n
aa a n b n

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
所以，比较系数得：
01 0,1,0 ( 1 ),0nna a a n b
(,) c o su r a
所以,(1)的解为：
由边界条件 (2)得：
0
1
c o s c o s s i n2 nn
n
ab a a n b n

所以，比较系数得：
012,1,0 ( 1 ),0nna b a a n b
所以,(2)的解为,(,) c o su r b a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
(三 )、第一象限上狄氏问题的 Green函数
00
00
,,( 0,0 )
0,0yx
G x x y y x y
GG




由镜像法：可确定 M0的像点 M1,M2,M3.
M
M0
M2(-ε 0)
x
y
o
M3(ε 0)
M1(-ε 0)
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
第一象限上狄氏问题的 Green函数为：
0 1 2 3
0
1 1 1 1 1 1 1 1(,) l n l n l n l n
2 2 2 2M M M M M M M MG M M r r r r
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )1 ln
4 ( ) ( ) ( ) ( )
x x y y x x y y
x x y y x x y y?


例 5、求第一象限上拉氏方程狄氏解。
解：假定定解问题为：
0 1 0 2
0 ( 0,0 )
( ),( )xy
u x y
u y u x



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
由于
1,0Lx?
其中：
GG
nx


0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n


L
G dS
n?


12
12
LL
GGd S d S
nn

2,0Ly?
对于 L1:
对于 L2:
GG
ny


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
00yy
GG
ny

对于 L2:
00
2222
0 0 0 0
2211
44( ) ( )
yy
x x y x x y


00
2222
0 0 0 0
2211
44( ) ( )
yy
x x y x x y
0
22
00
1
()
y
x x y
00xx
GG
ny

0
22
00
1
()
x
y y x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
所以，拉氏解为：
00
0 0 1 200 2222
0 0 0 0
11(,) ( ) ( )
( ) ( )
xyu x y y d y x d x
y y x x x y




(四 )、上半圆域上狄氏问题格林函数格林函数满足的定解问题为：
20
0,
( ) ( ) ( 1 )
0 ( 2 ),0 ( 3 )R
G M M
GG




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
M0
M1
M‘1
M‘0
M
x
y
设想在 放置电量为 ε 0的电荷
0 0 0(,)M
(1)对于 在 放置电量为 -ε 0的电荷，则能够使边界条件 (3)满足，但不能使 (2)满足。
0, 1 0 0(,)M
(2)若要同时使 (2)满足，对于圆周边界来说,M0的对称点为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
在 M1放置电量为 的电荷
0
0
R?
对于 M1的对称点为：0,
10
0
(,)RM
10
0
(,)RM
置电量为 的电荷
0
0
R?
四个电荷的叠加满足边界条件，所以得到格林函数：
00
11
0
00
1 1 1 1
(,) l n l n
22
1 1 1 1
l n l n
22
M M M M
M M M M
G M M
RR




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
作业
P155习题 6.5第 1,2题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
Thank You !